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1、数学物理中的近代分析方法,第三章 加权残值法,3.1 加权残值法的基本概念,设某一具体的工程定解问题：,Luf=0（在域V内）,（3.1.1）,Gug=0（在边界S上）,（3.1.2）,这里，u为待求的未知函数，L和G分别为控制方程（在域V内）和边界条件（在边界S上）的微分算子。f和g分别是域内和边界上的已知项。,3.1 加权残值法的基本概念,一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的试函数：,（3.1.3）,其中Ci为待定系数，vi为试函数项。,将（3.1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确满足，于是就出现了内部
2、残值（Residuals）RV和边界残值RS，即：,3.1 加权残值法的基本概念,为了消除残值，选取内部权函数（Weighted function）WV和边界权函数WS，使得残值RV和RS分别与相应权函数的乘积在域内和边界上的积分为零，即：,据此，我们就可以得到关于待定系数Ci（i=1，2，N）的代数方程组，求得了Ci后，即确定了近似解（3.1.3）。,（3.1.4）,（3.1.5）,（3.1.6）,（3.1.7）,按试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法分为三类：,内部法,边界法,混合法,3.1 加权残值法的基本概念,3.2 加权残值法的基本方法,据权函数的形式分类，主要有以下五种方
3、法：,（1）最小二乘法（Least Square Method）,最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的残值平方积分：,（3.2.1）,最小。为使J（Ci）最小，取极值条件：,3.2 加权残值法的基本方法,（3.2.2）,即可得到最小二乘法的基本方程：,（3.2.3）,可见，最小二乘法就是将权函数取作。式（3.2.3）将给出N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1，2，N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。,（i=1，2，N）,（i=1，2，N）,（2）配点法（Collocation Method）,3.2 加权残值法的基本方法,如果选用狄拉克函数（Dirac De
4、lta Function）作为权函数，即：,（3.2.4）,就得到了配点法。配点法的基本方程为：,（3.2.6）,（i=1，2，N）,（2）配点法（Collocation Method）,3.2 加权残值法的基本方法,对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：,（i=1，2，N）,（3.2.7）,由残值R在N个配点xi（或二维（xi，yi）处为零。得到N个代数方程，从而求得待定系数Ci（i=1，2，N）。配点法是加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。,3.2 加权残值法的基本方法,（3）子域法（Subdomain Method）,如果将待求问题的整个区域V按任意方式划分为N个
5、子域Vi（i=1，2，N），并定义此时的权函数为：,（3.2.8）,于是在每个子域Vi内可列出消除残值的方程为：,（i=1，2，N）,（3.2.9）,3.2 加权残值法的基本方法,（3）子域法（Subdomain Method）,这里，N个子域共有N个方程，联立求解即得待定系数Ci（i=1，2，N）。需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同，也可以不同。若各子域的试函数互不相同时，则必须考虑各子域间的连接条件。,3.2 加权残值法的基本方法,（4）伽辽金法（Galerkin Method）,伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名的方法。,伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，
6、即：,Wi=vi，（i=1，2，N）,（3.2.10）,（i=1，2，N）,（3.2.11）,由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质，不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。,3.2 加权残值法的基本方法,（5）矩量法（Method of Moment）,当权函数选取为xi（i=0，1，N1）时，就得到了矩量法的基本方程为：,（i=0，1，N1）,（3.2.12）,由上式不难求得待定系数Ci（i=1，2，N）。,（1）最小二乘法（Least Square Method）,（2）配点法（Collocation Method）,例2：简支梁的弯曲问题,（3）子域法（Subdomain Method）,（4）伽辽金法（Galerkin Method）,（5）矩量法（Method of Moment）,
