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1、数学课程标准中的十个核心概念,刘 燚,十个核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识,一种感悟：数感。一种思想：模型思想。两种观念：空间观念、数据分析观念。三种能力：运算能力、推理能力、几何直观。三种意识：符号意识、应用意识、创新意识。,依据应用的领域不同又可以分为三个层次：,第一层：主要体现在某一内容领域的核心概念。数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分析观念主要体现在统计与概率领域；第二层：体现在不同内容领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想；第三层：超越课程内容，
2、整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。,一、数感,“感”人们对特定事物或经历所产生的感想与体悟。数感:主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。“感”：是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分“悟”：是主体自身的，是通过大脑思维而产生的感悟：是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分,如何培养数感,提供有助于培养学生数感的情境、有利于发展学生数感的评价方式。例如：到操场上去走走、跑跑、测测、量量，让学生感受50 米
3、、100 米、400 米的距离；到学校食堂去看看、称称、掂掂各种蔬菜、水果的重量，感受100 克、1 千克、10 千克的实际重量等。获得数感的启蒙 培养学生的“亲数学”行为,联系生活实际培养数感,比如：学习10 以内数的认识中，在认识“1”时，先请学生说出现实生活中用“1”表达的事物。学生例举出：1 本书、1 只小鸟、1 棵树、1 根小棒、1 个国家、1 粒葡萄、1 串葡萄、1 捆小棒随后引导学生数出几粒葡萄是一串？几根小棒是一捆？帮助学生理解“1”可以表示1 个个体（1根小棒），也可以表示这类个体的1 个集合（1 捆小棒）；可以表示很大的物体（1个国家），也可以表示很小的物体（1粒葡萄）。继
4、而渗透了“1”中有多，多中有“1”的思想。又比如：认识“0”时，启发学生自己说出在日常生活中在哪些地方见过“0”，学生的积极性一下高涨了起来，“在体育比赛的比分上见过”；“在温度表上见过”；“电话上有0”；“我的格尺上有0”使学生直观体会“0”。除了表示没有以外，在温度表上、方向图上表示分界点；在尺上表示起点；在日历上表示日期；在电话、车牌上与其他数字一起成号码。这些都是学生身边的事，学生很容理解和接受。这样，在生活中体会了数的含义，在现实中初步地建立了数感，在表达与交流中形成数感。,二、符号意识,符号感:能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所达标的数量关系和变化规
5、律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。符号意识:主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。,三、空间观念,空间观念：是指对物体及其几何图形的形状、大小、位置关系及其变化建立起来的一种感知和认识，空间想象是建立空间观念的重要途径要求：建立起空间物体与图形之间的联系 想象出物体的方位和相互之间的位置关系 描述图形的运动和变化 依据语言的描述画出图形,四、数据分析观念,数据分析观念：是学生在有关数据的活动过程中建立起来的对数据的某
6、种“领悟”、由数据去做出推测的意识、以及对于其独特的思维方法和应用价值的体会和认识要求过程性要求：让学生经历调查研究，收集、处理数据的过程，通过数据分析做出判断，并体会数据中蕴涵着信息方法性要求：了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的数据分析方法体验性要求：通过数据分析体验随机性,课程实施中应该关注的问题,（1）尽可能为学生提供素材多样化的，包括收集、整理、描述、分析数据全过程的典型活动，使学生逐步积累数据分析的数学活动经验；（2）把数据分析的活动过程与统计知识的学习（如中位数、众数、加权平均数、方差、频数和频数分布等概念的理解）有机地结合起来，使学生真正体会到数据中
7、所蕴含信息的意义，这样才能逐步建立起“用数据说话”的理性分析的意识和观念；,“随机”具有两层涵义：一、对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；二、只要有足够的数据就可能从中发现规律。,（3）要注意方法的引导。学生数据分析的方法涉及如何收集数据和如何处理数据的方法，前者指数据的调查、获取，后者指数据的整理、描述与分析。教学中应鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地从数据中提取有用的数据，并且能够根据问题的背景选择合适的方法，而不是脱离问题背景，单纯地强调一些概念、方法的掌握。,（4）使学生能通过数据分析来体验随机性。,推理能力,一、明确推理在数学学习中的重要意义标准指出：“推理是数学的基本思
8、维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”它对教学的启示是，不仅要引导学生认识到推理是数学的重要基础之一，它与人们的生活息息相关，更重要的是要逐步培养学生运用推理进行思维的方式,二、突出合情推理与演绎推理并重指出在数学思维和问题解决的过程中，两种推理功能不同，相辅相成合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论,反思传统教学,人们往往把推理看成是一种严格的、通过充足的理由去证明和计算现成结论的逻辑思维形式，学生很少经历探索结论、提出猜想的活动过程经过多年的课改这种情况有所改变，但也出现了另一方面的担忧，即在有些老师的课堂上将合情推理得到的结论不加说明地作为普遍性结论使用，对学生也
9、产生了一定误导推理能力的培养要根据不同学段学生的实际情况，通过为学生提供观察、实验、猜测、计算、推理、验证、证明等多样化的活动，引导学生多经历“猜想证明（或验证）”的问题探索过程这样一条主线的凸显，有利于在课程实施层面形成推理能力培养的有效载体,三、推理能力的培养“应贯穿于整个数学学习过程中”,（1）它应贯穿于整个数学课程的学习内容中，即不仅是图形与几何，数与代数、统计与概率及综合实践等，都是培养推理能力的课程内容,（2）它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程。概念教学、命题教学、解决问题教学。,（3）它也应贯穿于整个数学学习的环节，如预习、复习、课堂教学、自我练习、测验考试,应用意识,含义包括
10、两方面：“由数学看现实，由现实想数学”的意识和习惯。一方面“有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题”这里指的是一种主动“用”数学的意识，其指向是“数学知识现实化”另一方面“认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决”这里指的是对现实中的现象主动进行数学“抽象”的意识，其目标指向是“现实问题数学化”此外，还要特别注意通过综合与实践活动，来培养学生运用数学解决实际问题的能力正如标准指出的，“综合实践活动是培养应用意识很好的载体”,几何直观,合理性与必要性：首先，就数学而言，直观与抽象从来都是它发展的两翼在很
11、多数学家的研究生涯中，借助直观做出重大发现的事例比比皆是数学的发展过程也表明，再抽象的数学结论总能找到相对直观的表征和解释，运用直观手段本身就是数学研究的重要方式。,其次，就数学课程而言，恰当地运用几何直观，不仅能更好地建立起数和形之间的联系、促进相互的转化，提高综合运用知识的能力，而且能给学习带来极大的好处。希尔伯特：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果”,第三、就义务教育学生心理发展特征来看，借助直观图形支撑数学的抽象思维，逐步发展学生的数学素养是符合学生认知规律的,标准言简意赅地指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析
12、问题”,两件事：即针对较抽象的数学对象的“图形表示”和“图形分析”,运算能力,运算不仅是学习的重要内容，也是解决数学问题的基本方式，在这一点上，它和推理共同构成了数学的重要基础，也必然成为数学学习者应该培养的最基本的数学素养,标准指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”运算能力的基本特征：正确、有据、合理、简洁。,“算”与“思”的结合,模型思想,在义务教育阶段提出模型思想主要有如下理由：第一，模型思想是一种基本的数学思想此次标准修订，由数学“双基”发展成数学“四基”，提出“模型思想”是对“四基”之一的
13、“数学基本思想”做出的呼应。第二，模型思想及相应的建模活动与很多课程目标点密切相关（如数感、符号意识、几何直观、发现、提出问题能力、数学的联系、数学应用意识、改善数学学习方式等），提出模型思想能很好地支撑这些课程目标的实现。,第四，培养学生的模型思想对义务教育阶段学生来说是可行的，通过建立数学模型解决现实问题的活动过程步骤性强，且问题的难易、要求的高低完全可以根据内容和学生的实际来确定此外还要看到，数学建模已是高中数学课程的学习内容，提出模型思想亦能更好与高中课程衔接,第三，模型思想本身就渗透于各课程内容领域之中，突出模型思想有利于更好理解、掌握所学内容如数与代数中的代数式及方程、几何中的图形
14、、统计中的统计图或表格，综合实践活动中表示问题的数量关系式等，都可以结合具体实际问题从模型的角度去阐释其特定的意义；,数学化过程,标准从义务教育数学课程的实际情况出发，将数学建模的过程简化为这样3 个环节：首先，是“从现实生活或具体情境中抽象数学题”这说明发现和提出问题是数学建模的起点然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模式抽象，得到模型这是建模最重要的一个环节最后，通过模型去“求出结果并讨论结果的意义”,创新意识,“创新”意识：即表现为一种主动去探索、发现的心理倾向、一种积极的态度，培养这种意识在义务教育数学课堂教学中不仅是完全可行的，而且它对学生的知识、技能的学习也会起到良好的促进作用,如何落在实处？标准对其进行了“写实”：“学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法”,教师应紧紧抓住“数学问题”、“学会思考”、“猜想、验证”这几个点，做足教学中的“文章”，创新意识培养的目标就有可能得到落实,
