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1、二阶微分方程的,习题课(二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第十二章,一、两类二阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,2.二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,练习题:P327 题 2;3(6),(7);4(2)；8,解答提示,P327 题2 求以,为通解的微分方程.,提示:由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P327 题3 求下列微分方程的通解,提示:(6)令,则方程变为,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若(7)中非齐次项改为,提示:,原方
2、程通解为,特解设法有何变化?,P327 题4(2)求解,提示:令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时正负号如何确定?,P327 题8 设函数,在 r 0,内满足拉普拉斯方程,二阶可导,且,试将方程化为以 r 为自变,量的常微分方程,并求 f(r).,提示:,利用对称性,即,(欧拉方程),原方程可化为,解初值问题:,则原方程化为,通解:,利用初始条件得特解:,特征根:,例1.求微分方程,提示:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解.,设特解:,代入方程定 A,B,得,得,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解:,定解问题的
3、解:,例2.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,思考:设,提示:对积分换元,则有,解初值问题:,答案:,的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,(1)试将 xx(y)所满足的微分方程,变换为 yy(x)所满足的微分方程;,(2)求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解:,上式两端对 x 求导,得:,(1)由反函数的导数公式知,(03考研),代入原微分方程得,(2)方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,二、微分方程的应用,1.建立数学模型 列微分方程问题,建立微分方程(共性),利用物理规律,利用几何关
4、系,确定定解条件(个性),初始条件,边界条件,可能还要衔接条件,2.解微分方程问题,3.分析解所包含的实际意义,例4.,解:,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球,引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为 m,地球质量为 M,卫星,的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得:,(G 为引力系数),则有初值问题:,又设卫星的初速度,代入原方程,得,两边积分得,利用初始条件,得,因此,注意到,为使,因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即,代入即得,这说明第二宇宙速度为,求质点的运动规,例5.,上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比(比例系数,提示:,两
5、边对 s 求导得:,牛顿第二定律,为 k),开方如何定+?,已知一质量为 m 的质点作直线运动,作用在质点,例6.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子 8 m,另一端离钉子 12 m,如不计钉子对链条所产生的摩擦,力,求链条滑下来所需的时间.,解:建立坐标系如图.,设在时刻 t,链条较长一段,下垂 x m,又设链条线密度为常数,此时链条受力,由牛顿第二定律,得,由初始条件得,故定解问题的解为,解得,当 x=20 m 时,(s),微分方程通解:,思考:若摩擦力为链条 1 m 长的重量,定解问题的,数学模型是什么?,摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为,不考虑摩擦力时的数学模型为,此时链
6、条滑下来所需时间为,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测,要求,需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函,数关系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为 m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正,比,比例系数为 k(k 0),试建立 y 与 v 所满足的微分,方程,并求出函数关系式 y=y(v).(95考研),提示:建立坐标系如图.,质量 m体积 B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,注意:,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,质量 m体积 B,得,备用题,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解.,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1.设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,故,再积分得通解,复习:一阶线性微分方程通解公式,2.,(1)验证函数,满足微分方程,(2)利用(1)的结果求幂级数,的和.,解:(1),(02考研),所以,(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,代入初始条件可得,故所求级数的和,
