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1、,一阶微分方程的解法,第二节,第八章,一、可分离变量微分方程,二、齐次微风方程,三、一阶线性微分方程,四、伯努利方程*（了解）,一、可分离变量微分方程,定义：形如,第八章,或,的方程称为可分离变量方程。,特点：变量x及dx与变量y及dy能分离在方程两端。,分离变量方程的解法:,再两边积分,得,当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,的隐函数 y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解.,同样,当 F(x)=f(x)0,时,由确定的隐函数 x(y)也是的解.,设左右两端的原函数分别为 G(y),F(x),说明由确定,先分离变量：,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,
2、得,即,(C 为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式在分离变量时丢失的解 y=0),例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C=1,(C 为任意常数),故所求特解为,例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C 为任意常数),所求通解:,二、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,定义：,特点：右端能化为以 为内函数的复合函数。,例4.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当
3、 C=0 时,y=0 也是方程的解),(C 为任意常数),三、一阶线性微分方程,定义：形如,称为一阶线性微分方程。,特点：变量 及y 都是“一次”的。,上方程称为一阶线性齐次方程.,上方程称为一阶线性非齐次方程.,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,(使用分离变量法),一阶线性微分方程的解法,例5、若连续函数f(x)满足关系式,讨论:设y=f(x)是解,则,积分,非齐方程通解形式,2.线性非齐次方程,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,设解为,积分得,非齐方程通解,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,对应齐次方程
4、通解与非齐次方程特解之和。,解,例6、,如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,例7、,所求曲线为,*四、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,伯努利,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法:经过变量代换化为线性微分方程.,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利,例8.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,(雅各布第一 伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,
