GreenNaghdi 理论研究 PART1深水波1.doc

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1、精品论文大集合Green-Naghdi 理论研究 PART1.深水波1赵彬彬，段文洋 哈尔滨工程大学船舶工程学院，哈尔滨 (150001) Email：zhaobin2_1984; duanwy2004摘要：全非线性波浪的模拟对于深水工程有着重要意义。Green-Naghdi 理论，简称 G-N 理论，是一种新的水波理论，非常适合全非线性水波的研究。国内关于 G-N 理论的研究还 很少。本文给出了深水 G-N 理论的控制方程，将 Webster 和 Kim 提出的二维深水 LevelG-N 理论发展到 Level，并给出了深水 LevelG-N 理论和 LevelG-N 理论的线性解析解。此

2、外，本文利用非线性造波边界条件考察了使用线性造波边界条件对波浪场的影响。并对单色 波和不规则波进行模拟，得到很好的效果。关键词：深水波；Green-Naghdi；全非线性；Level；Level中图分类号：O351.引言非线性波浪的模拟对于深水工程结构载荷的求解是至关重要的。经典的 Stokes 波浪理 论1，它是基于将波浪场速度势摄动展开的波浪理论。Fenton2给出了 Stokes 五阶波的波面 升高和圆频率。然而，高阶 Stokes 波浪理论只能近似满足自由面边界条件。Chaplin3的流 函数理论也能用来描述深水中的全非线性波浪，但是流函数理论只能处理二维问题，也不能 用来模拟不规则波

3、。1974 年，Green 和 Naghdi4发表了“On the theory of water waves”，提出了一种新的水波 理论，人们称之为 G-N 理论。G-N 理论引入了对流体质点沿水深方向速度变化的一个假设。 将这个速度假设代入自由面边界条件，底部边界条件，质量守恒方程和动量守恒方程，通过 消元得到一个耦合的偏微分方程组。对这个偏微分方程组可以利用 Thomas 算法5进行求解。在 G-N 理论中，自由面边界条件是准确满足的，因此 G-N 理论更适合描述全非线性的 波浪。另外，G-N 理论也能描述不规则波。G-N 理论最初只应用到浅水问题，后来 Webster和 Kim6将 G

4、-N 理论应用到深水中，但是却并未给出深水 G-N 理论的控制方程。 本文给出了二维深水 G-N 理论的控制方程,并发展了深水 LevelG-N 理论，推导出深水 LevelG-N 理论和 LevelG-N 理论的线性解析解，并利用基于流函数理论的非线性造波边界条件来考查使用线性造波边界对波浪场的影响。另外，本文对基于 ITTC 波浪谱的不 规则波进行数值模拟，证实了深水 G-N 理论模拟非线性不规则波的可行性。2.深水 G-N 理论控制方程本文只讨论二维问题，我们引入坐标系 Oxz ， Oz 轴是竖直向上的， Ox 轴是水平的， 对应于未受扰动的自由水面。流场中，处于 ( x, z) 位置处

5、的流体质点在 t 时刻的水平速度和垂直速度分别为 u( x, z, t ), w( x, z, t ) 。自由水面为 z = ( x, t ) ，水底面为 z = ( x) 。G-N 理论引入下面这个速度近似，1本课题得到国家自然科学基金（项目编号：10572041, 50779008）和 111 计划（项目编号：B07019）的资 助。- 9 -Ku( x, z, t) = un ( x, t)n ( z)n=0Kw( x, z, t ) = wn ( x, t )n ( z)n=0(1)n ( z) 的形式可以是多项式，也可以是双曲函数，也可以是其它的组合形式。Demirbilek和 We

6、bster5对 ( z) 的形式进行了讨论。一般情况下，处理浅水问题时， ( z) 的形式取为：nn ( z) = z nn(2)处理深水问题时， n ( z) 的形式取为( )az nn z= e z(3)其中， a 是常数，取值范围是 0.5k a 2.0k ， k 是波数。随着 K 的增加，G-N 理论的复杂程度也越来越大。根据 K 取值的不同，将 G-N 理论分为不同的级别。处理深水问题时， K = 0 、 K = 1 、 K = 2 的情况，分别称作 Level、Level、LevelG-N 理论。将(1)式和(3)式代入底部、自由面运动学边界条件，再代入质量守恒方程和动量守恒方 程

7、，最终可以得到深水 G-N 理论的控制方程。本文认为深水水深是无穷，即水底面为 z = ( x) = 。由(1)式和(3)式易知，底部运动学边界条件恒成立。自由面运动学边界条件为：nnKK连续性方程为：eazn=0wn = ,t+ eazn=0un , x(4)其中，uK , x + awK = 0un, x + awn + (n + 1)wn+1 = 0n = 0,1,L, K 1 。(5) (6)动量守恒方程为：K K um,t H (2, m + n) + um, xur H (3, m + r + n) m=0 K Kr =0 + um wr ( aH (3, m + r + n) +

8、 mH (3, m + r + n 1) m=0 r =0 n= Pn, x + p , x(7)K K wm,t H (2, m + n) + wm, xur H (3, m + r + n) m=0 K Kr =0 n+ wm wr ( aH (3, m + r + n) + mH (3, m + r + n 1) m=0 r =0 = P gH (1, n) p n式中， n = 0,1,L, K 。H (m, n) = emaz z n dz ， P = peaz z n dz ， P = p(eaz z n )dz 。nn 是水的密度， p 表示自由表面的压力，不考虑表面张力情况下，

9、一般取为零。(4)式-(7)式中，下角标 , t 表示关于 t 微分，下角标 , x 表示关于 x 微分。3.边界条件3.1 线性造波边界条件Webster 和 Kim6给出了深水 LevelG-N 理论的最终控制方程，假设波高 、速度系数 u0 , u1 , u2 L 都是一阶小量，将控制方程中二阶及二阶以上的项抛弃的话，最终能够得到一个线性方程组，进一步假设波高 、速度系数 u0 , u1 , u2 L 都是余弦变化，因此可以得到深水 LevelG-N 理论的线性解析解：2 g (a3 + 3ak 2 )2u ( x, t ) = 0 cos(k ( x ct )0c(a6 + 15a4

10、k 2 + 15a2 k 4 + k 6 )4a3 g (a4 6a2 k 2 + 5k 4 )u ( x, t ) = 0 cos(k ( x ct )1c(a6 + 15a4 k 2 + 15a2 k 4 + k 6 )(8)4a4 g (a2 k 2 )2u ( x, t ) = 0 cos(k ( x ct )2c(a6 + 15a4 k 2 + 15a2 k 4 + k 6 )42 24c2 =2ag (3a+ 10a k+ 3k )a6 + 15a4 k 2 + 15a2 k 4 + k 6用类似的方法，我们也可以得到深水 LevelG-N 理论的最终控制方程。将其线性化后，可以得

11、到深水 LevelG-N 理论的线性解析解，如下：32a2 gk 2 (a3 + k 2 )2u ( x, t ) = 0 cos(k ( x ct)0c(a8 + 28a6 k 2 + 70a4 k 4 + 28a2 k 6 + k 8 )8a3 g (a6 a4 k 2 + 7a2 k 4 + 5k 4 )u ( x, t ) = 0 cos(k ( x ct )1c(a8 + 28a6 k 2 + 70a4 k 4 + 28a2 k 6 + k 8 )8a4 g (a2 3k 2 )(a2 k 2 )2u ( x, t ) = 0 cos(k ( x ct )(9)2c(a8 + 28a

12、6 k 2 + 70a4 k 4 + 28a2 k 6 + k 8 )8a5 g (a2 k 2 )3u ( x, t ) = 0 cos(k ( x ct )3c(a8 + 28a6 k 2 + 70a4 k 4 + 28a2 k 6 + k 8 )64 22 46c2 =8ag (a+ 7a k+ 7a k+ k )a8 + 28a6 k 2 + 70a4 k 4 + 28a2 k 6 + k 8对于式(8)和(9)，如果取 a = k ，则u( x, z, t) =2 un( x, t )ekz z n =0 gekz cos(k ( x ct )n=0= 0gk ekz kzccos(

13、k ( x ct )c2 = g k= 0ecos(k ( x ct )可以发现此时深水 LevelG-N 理论和深水 LevelG-N 理论的线性解析解和 Stokes 线性波浪理论的解析解是完全一致的。利用 G-N 理论的线性解析解就可以得到线性造波边界 条件。3.2 非线性造波边界条件本文利用基于流函数理论的非线性造波边界条件考察线性造波边界条件对波浪场的影 响。用流函数理论可以得到深水中全非线性波浪的波高和任意位置处流体质点的水平速度。 首先，在一个周期内均匀选取 101 个时刻对应的竖直剖面，每个剖面上均匀选取 101 个点， 这些点的水平速度可以先利用流函数理论求出，根据深水 G-

14、N 理论的速度假设，利用最小 二乘法对某竖直剖面上流体质点的水平速度变化进行拟合，可以得到该剖面处的 u0 , u1 , u2 。 同样的方法，可以得到其他剖面处的 u0 , u1 , u2 ，这样就得到一个周期内 u0 , u1 , u2 的变化。从 而能够借助流函数理论给出准确的造波边界条件。3.3 辐射边界条件本文采用 Sommerfeld 线性辐射边界条件5，即：c + = 0 ， c u0 + u0 = 0 ， c u1 + u1 = 0 ， c u2 + u2 = 0xtxtxtxtc 表示波速。这样的辐射边界条件并不是完全准确的，因此数值模拟的流域应该足够长， 以减小使用线性辐射

15、边界条件所带来的误差。4.数值计算与讨论4.1 数值方法二维深水 G-N 理论的控制方程，即式(4)-(7)。通过消元可以得到关于 , u0 , u1 L 的一个偏微分方程组。写成矩阵的形式，即：v&v&v&vA + B, x + C, xx = gv&v&v&v, xA 、 B 和 C 表示矩阵， gv 、 、和, xx表示向量， 上面的点表示关于时间 t 微分，v&T = , u&0 , u&1 ,Lv&T, x = , x , u&0, x , u&1, x ,Lv&T, xx = , xx , u&0, xx , u&1, xx ,L本文利用有限差分法进行求解，在空间域 x 方向上进行

16、离散，空间步长取为 dx ，可以离散出 nx 个点，i 点处的坐标为 xi = (i 1)dx ，其中，i = 1, 2,L nx 。同时对时间也进行离散，时间步长为 dt ,则 j 时刻的时间为 t j =j dt 。空间步长 dx 的选取使用 = 100dx ，时间步长的选取使用 dt = dx / c ，其中 和 c 分别表示波长和波速。这样的方程可以使用 Thomas 算法5并配合适当的边界条件进行求解。4.2 单色波的模拟本文在时域内模拟一个深水单色波，周期是 15s，流域的长度为 4000m，波高是 20m。由于深水的非线性度用波高与波长之比衡量，因此，该深水单色波对应的非线性度是

17、 0.057。本文采用深水 LevelG-N 理论和 LevelG-N 理论对这个单色波进行模拟，造波边界 条件采用非线性造波边界条件。同时，为了比较非线性造波边界和线性造波边界的优劣，也 对深水 LevelG-N 理论施加线性造波边界条件的情况进行了计算。本文数值模拟中取a = k 。数值模拟的结果见图 1。Level (线性边界)20 Level Level Awave elevation (m)109流函数理论Level (线性边界)Level Level wave elevation (m)0 C D 0B-10-90 1000200030004000x (m)0 400 800x (

18、m)100(a) 240s 时整个流场的快照图(b) 240s 时流场最前面的三个波长100流函数理论Level (线性边界)Level 0 Level 流函数理论Level (线性边界)Level z (m)0 Level z (m)-100-100-200-200-3000 24horizontal velocity (m/s)-300-3 -2 -1 0horizontal velocity (m/s)(c) 240s 时波峰 A 处竖直剖面上质点的水平速度(d) 240s 时波谷 B 处竖直剖面上质点的水平速度1000流函数理论Level (线性边界)Level Level 100z

19、(m)0流函数理论Level (线性边界)Level Level z (m)-100-100-200-200-3000 1 2 34vertical velocity (m/s)-300-4 -3 -2 -1 0vertical velocity (m/s)(e) 240s 时波节点 C 处竖直剖面上质点的垂直速度(f) 240s 时波节点 D 处竖直剖面上质点的垂直速度 图 1 单色波的模拟（波高=20m）从图 1(a)中已经能够很明显的看出非线性波尖峰坦谷的特征。并且三种方法的模拟结果 在波面的描述上基本一致。然而，从图 1(b)可以看出与流函数理论的数值解相比，同样施加 非线性造波边界条

20、件，LevelG-N 理论的结果最好，LevelG-N 理论的结果最差；同样使 用深水 LevelG-N 理论，施加线性造波边界条件的模拟结果不如施加非线性造波边界条件 的好。从图 1(c)、(d)、(e)和(f)中知道，在模拟水下质点水平速度和竖直速度沿水深方向变化 的问题上，三种方法的结果与流函数的结果也相当接近。与流函数理论的数值解相比，仍以 施加非线性造波边界条件的 LevelG-N 理论的数值结果最好。并且应该注意到：(e)图和(f)图是对称的，因为它们分别表示对称的两个竖直剖面上流体质点的竖直速度沿水深的变化情况。4.3 不规则波的模拟从单色波的模拟可以看出，LevelG-N 理论

21、的模拟结果比 LevelG-N 理论的结果更加 准确，因此本文模拟不规则波时都选用 LevelG-N 理论。另外，相对于使用非线性造波边 界条件来讲，利用线性造波边界条件对波浪场的影响并不大。因此，利用线性造波边界条件 叠加来模拟不规则波应该是可行的。本文使用第 11 届 ITTC 建议的单参数标准波能谱，其 表达式为：BA 4S ( ) = 5 e其中， A = 8.10 103 g 2 ， B = 3.11 /(H有义波高选 4m。数值模拟结果见图 2。1/ 31/ 3)2 ， H是有义波高。44Level 3 线性解析解 3Level 线性解析解wave elevation (m)wav

22、e elevation (m)2 21 10 0-1 -1-2 -2-30 100 200 300 400 500600x (m)-30 100 200 300 400 500600x (m)(a) 140s 时的波形图（b）175s 时的波形图 图 2 不规则波的模拟从图 2 可以看出，使用 Stokes 波浪理论的线性解析解叠加模拟不规则波的结果，和使用 线性造波边界条件叠加配合全非线性的 G-N 理论的模拟结果是不同的，相比之下，G-N 理 论表现出明显的非线性特征。5.结论本文基于深水 G-N 理论编写了波浪模拟程序，通过对单色波和不规则波的数值模拟， 得到以下主要结论：1. Leve

23、lG-N 理论和 LevelG-N 理论都能很好的模拟深水单色波的流体质点运动速 度，客观上也说明了深水 G-N 理论关于流体质点沿水深方向的速度假设是正确的。2. 无论是在描述波面问题上，还是在描述水下质点沿竖直方向速度变化上，同是利用 非线性造波边界条件，深水 LevelG-N 理论的结果比 LevelG-N 理论的结果更精确。建 议使用深水 LevelG-N 理论。3. 利用深水 LevelG-N 理论进行单色波模拟时，利用非线性造波边界条件的结果比利 用线性造波边界条件的结果更接近于流函数理论的解，因此，模拟单色波时建议使用非线性 造波边界条件。4. 使用深水 LevelG-N 理论并

24、配合线性造波边界条件模拟非线性的不规则波是可行的。6.致谢本文工作是作者与 Webster 教授讨论后受到启发而开始进行的，并且得到了 Webster 教 授的热情指导与帮助，在此深表谢意。参考文献1 Stokes, G. G. On the Theory of Oscillatory WavesJ. Transaction Cambridge Philosophical Society, 1847,8:441-445.2 Fenton, J. D. A Fifth-order Stokes Theory for Steady WaveJ. Jour. Waterway Port Coasta

25、l and Ocean Eng,1985, 111(2):216-234.3 Chaplin, J.R. Development of Stream Function Wave TheoryJ. Coastal Engineering, 1980, 3:179-205.4 Green, A. E., Laws, N., and Naghdi, P. M. On the Theory of Water WavesJ. Proc. Roy. Soc. London, 1974,338:43-55.5 Demirbilek, Z., Webster, W. C. Application of the

26、 Green-Naghdi Theory of Fluid Sheets to Shallow-Water Waves. Report 1. Model formulationR. US Army Wat. Exp. Sta., Coastal Engng. Res. Cntr. Tech Rep. No. CERC-92-11, Vicksburg, MS, 1992, 45 p.6 William C. Webster, DO-Young Kim. The Dispersion of Large-Amplitude Gravity Waves in Deep WaterJ. Pro. 18

27、th Symp. On Naval Hydrodynamics. 1990, 397-415.7 Demirbilek, Z. and Webster, W. C. Users Manual and Examples for GNWAVER. US Army Wat. Exp. Sta.,Coastal Engr. Res. Cnjtr. Tech Rep. No. CERC-92-13, Vicksburg, MS, 1992, 55 p. 8 邹志利. 水波理论及其应用M. 北京: 科学出版社, 2005.Research on the Green-Naghdi TheoryPart 1.

28、 Deep WaterWavesZhao Binbin, Duan WenyangCollege of Shipbuilding Engineering, HEU, Harbin ,China （150001）AbstractThe simulation of fully nonlinear water waves is important for deep water offshore engineering. TheGreen-Naghdi Theory, called G-N Theory for short, is a new water wave theory. Its very s

29、uitable for fully nonlinear water waves. Research on G-N Theory is rarely in China. The governing equations fordeep water G-N Theory is derived in this paper. The LevelG-N theory used by Webster and Kim isdeveloped to Level. The linear analytical solution for Level and Level is given. In addition, thenonlinear wave maker condition is presented for the first time. The monochromatic wave and irregular wave are simulated.Keywords: deep water waves; Green-Naghdi; fully nonlinear; Level; Level作者简介：赵彬彬，男，1984 年生，博士研究生，主要研究方向是非线性波浪数值模拟； 段文洋，男，1967 年生，教授，博导，主要研究方向是船舶水动力计算，强非线性自由表 面流数值模拟。