具有通信时延和输入时延的二阶多自主体.doc

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1、精品论文具有通信时延和输入时延的二阶多自主体系统的一致性戴萍萍，刘成林5（江南大学自动化研究所，轻工过程先进控制教育部重点实验室，江苏 无锡 214122） 摘要：针对同时具有通信时延和输入时延的二阶多自主体系统的一致性问题，采用了异步耦 合算法。通过构造 Lyapunov-Krasovskii 函数，分别得到了具有时不变输入时延的二阶多自 主体系统在时不变和时变通信时延作用下时延相关的一致性条件，该条件以线性矩阵不等式（LMI）表示。仿真结果验证了结论的正确性。10关键词：控制理论与控制工程，一致性；二阶多自主体系统；通信时延；输入时延；线性矩 阵不等式中图分类号：TP242Consensu

2、s Problem of Second-order Multi-agent Systems15with Communication Delay and Input DelayDAI Pingping, LIU Chenglin(Key Laboratory of Advanced Process Control for Light Industry (Ministry of Education),Institute of Automation, Jiangnan University, JiangSu WuXi 214122)Abstract: In this paper, asynchron

3、ously-coupled algorithm is used to solve the consensus problem20of second-order multi-agent systems with communication delay and input delay. By constructingLyapunov-Krasovskii functional can reach relatively consensus conditions of second-ordersystems depend on invariant input delays with constant

4、and time-varying communication delays, then in the forms of linear matrix inequality (LMI). Simulation illustrates the correctness of the results.25Keywords: Control theory and control engineering; Consensus problem; Second-order Multi-agentSystems; Communication Delay; Input Delay; Linear Matrix In

5、equality0引言随着计算机技术、通信技术和控制技术的快速发展，多自主体系统协调控制得到了深入30研究，并在很多工程领域得到了广泛应用，如自动化高速公路、无线传感器网络等、卫星姿 势协调控制、机器人协作1。一致性问题作为多自主体之间实现协调及合作的关键，要求 自主体通过相互间的信息传输最终达到状态一致。在多自主体系统的一致性问题研究中，自主体之间进行信息交换不可避免地存在通信时 延，另外自主体本身由于性能问题在接受和处理信息时需要一定的输入时延。利用不同的分35析方法，一阶多自主体系统在通信时延和输入时延作用下的一致性问题得到了深入研究，并 取得了广泛研究成果2-9。然而，具有通信时延和输

6、入时延的二阶多自主体系统的一致性分 析存在困难，研究结果相对较少。利用频域分析法，文10利用 Nyquist 判据和小增益定理 分析了通信时延和相同输入时延均不变的二阶多自主体系统在有向连接拓扑下的一致性收 敛问题；文11得到了具有相同通信时延的二阶多自主体系统的一致性充要条件和最大允许40时延表达式；文12分析了具有不同通信时延和不同输入时延的二阶多自主体系统的一致性基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金(20090093120006) 作者简介：戴萍萍，（1989-），女，硕士生，主要研究方向：多自主体系统一致性问题。 通信联系人：刘成林，（1981-），男，副教授，主要研究方向：多自主

7、体系统协调控制。E-mail:liucl- 12 -问题。通过构造 Lyapunov 泛函，文13与14考察在切换拓扑下时变通信时延的二阶多自主体一致性问题，并得到一致性条件；文15研究得到了二阶多自主体系统在不同通信时延作 用下的一致性条件；针对二阶多自主体系统存在不对称时延约束，文16得出可行性一致性 条件；文17分析了在离散时间下二阶多自主体具有时变时延且拓扑切换的一致性问题，并45给出一致性条件。本文研究了同时具有通信时延和输入时延的二阶自主体系统的一致性问题。根据 Lyapunov 稳定性原理，通过构造 Lyapunov-Krasovskii 函数，首先，得到二阶多自主体系统 在时不

8、变输入时延和时不变通信时延作用下的时延相关的一致性条件，以线性矩阵不等式（LMI）表示；其次，得到二阶多自主体系统在时不变输入时延和时变通信时延作用下时延50相关的一致性条件，该条件也以 LMI 表示。利用 Matlab 软件中的 LMI 工具箱，可以根据LMI 确定时延上界。1图论基础多自主体之间的信息交换形成的拓扑，可分为有向拓扑和无向拓扑，本文多自主体系统为一般有向拓扑，由有向图11 G(V , E, A) 表示，V = v , v , v 为非空节点的集合，节12n55点指标集为 = 1, 2, n 。边集 E V V ，从节点i 到节点 j 的有向边 eij = (i, j) E 。

9、nn A = aij R为加权邻接矩阵，若邻接矩阵 A 中的邻接元素 aij 是非负的，即 aij 0 eij E ，且 aii = 0, i 。 Ni = j V : (i, j) E 代表节点 i 的邻居节点集。若存在一条从节点 i 到节点 j 的路径，则称节点 j 从节点 i 可达；若一个节点从有向图中的任意其他节点都可达，则称该节点全局可达。n60在有向图G 中，定义节点i 的输出度为：degout (i) = j =1 aij 。D 的对角元素依次为对k应节点的输出度则定义 D 为有向图G 的度矩阵。2问题描述具有 n 个自主体的二阶系统： x i (t ) = vi (t ),v

10、i (t ) = ui (t ), i = 1, 2, n,（1）65其中， xi (t) R 和 vi (t) R 分别表示各自主体的位置和速度，ui (t) R 为控制输入。本文 考察各自主体具有时不变输入时延 0 ，且各自主体之间也存在时变通信时延 (t) 0 。n针对通信时延，采用异步耦合一致性算法：i2 i ijjiu (t) = k v (t ) + 1diaj =1( x (t (t) ) x (t )（2）其中， k1 0, k2 0 为控制增益， aij 0, j Ni为邻接矩阵 A 的邻接元素， 70di = degout (i) 0, i 表示每个自主体都能接收来自其它自

11、主体的信息。控制算法（2）要求每个自主体至少有一个邻居。在控制算法（2）作用下，二阶多自主体系统（1）的闭环形式为 x i (t) = vi (t),kndv (t) = k v (t ) + 1a ( x (t (t) ) x (t ), i = 1, 2, n,（3） i2 ii j =1ijji将上述闭环系统描述为矩阵形式： x (t) = v(t)75v (t) = k v(t ) + k D1 A( x(t (t) ) Dx(t )21TT其中， x(t) = x1 (t ), x2 (t ), xn (t )图 G 的连接矩阵和度矩阵。， v(t) = v1 (t), v2 (t)

12、, vn (t)， A 、 D 分别为有向定义 xi = xi x1 ， vi = vi v1 ， i = 2, 3, n ，则有 x (t) = EFv (t)v (t ) = k EFv (t ) + k ED1 AFx (t (t) ) k EFx (t )（4）21123n23n80其中，x (t) = x , x , x T，v (t) = v , v , v T， E = 1n1In1 ，F =0T n1 In 1 ，1n1n1n1为 1的 n 1维列向量， 0T 为 n 1维行向量， I为 n 1维单位矩阵。式（4）可改写为y (t) = H1 y(t) + H 2 y(t )

13、+ H3 y(t (t) )（5）其 中 ，yT (t) = x (t )v (t)T， H = 0I n1 ， H = 00 ，100 2k I k I 00 1 n 1 2n1 85H3 = k ED1 A0 。因此，多自主体系统（3）渐近收敛一致等价于系统（6）渐近稳定。 13一致性判据3.1时不变通信时延本节考察自主体之间的通信时延为时不变的情况，即y (t) = H1 y(t) + H 2 y(t ) + H3 y(t )90假设 1： 0 h, h 0, 0, t 0 。（6）定理 1：多自主体系统（6）的连接拓扑G 具有全局可达节点，且各节点的输出度均大于零，则存在适当的 h 0

14、, 0 ，多自主体系统（6）渐近收敛一致，且允许的时延上界可以通过求解以下 LMI 得到： M110M13M14 M = *M 220M 24 0 为 分段连 续函数 ，则对 任意的可 微向量 函数 x(t) : h, ) n 和任意的正定矩阵 M nn ，有下列不等式成立：( tx T (s)ds ) M ( tx (s)ds ) htx T (s)Mx (s)ds, t 0t (t ) 接下来，给出定理 1 的证明。t (t )t h对系统（6）构造 Lyapunov-Krasovskii 函数：V (t) = V1 (t ) + V2 (t) + V3 (t)1V (t) = yT (t

15、)Py(t),110V (t) = tt yT (s)Q y(s)ds + yT (s)Q y(s)ds + t tyT (s)Q y(s)ds + yT (s)Q y(s)ds,2t 1t 2t 3t 40tV (t) = ty T (s)R y (s)dsd + ty T (s)R y (s)dsd + y T (s) R y (s)dsd3t +1 t +2 t + 3对 Lyapunov-Krasovskii 函数求导得：13V (t) y (t )Py(t) + y(t) Py (t) + y(t)(Q1 + Q4 ) y(t) + y(t )Q2 y(t ) TTTTyT (t )

16、(Q Q ) y(t ) yT(t )(Q2 + Q3 + Q4 ) y(t ) + y Tt(t)R1 y (t) y (s) R1 y (s)ds + hy (t) R2 y (t) t y (s) R2 y (s)ds +T y Tt t (t)R3 y (t) y (s) R3 y (s)dst 由引理 1 得：V (t) y (t )Py(t ) + yt (t )Py (t) + y(t )(Q1 + Q4 ) y(t) + y(t )Q2 y(t ) TTTT13112yT (t )(Q Q ) y(t ) yT(t )(Q2 + Q3 + Q4 ) y(t ) +115 y T

17、 (t)R y (t) ( y T (t) y T (t ) ) R ( y (t) y (t ) ) + hy T (t)R y (t) 23( y T (t ) y T (t ) R( y (t ) y (t ) ) + y T (t)R y (t) 3( y T (t ) y T (t ) R ( y (t ) y (t ) )定义 T (t ) =yT (t), yT (t ) , yT (t ), yT (t ) ，得：V (t) T (t)M (t ) 其中， M 与（7）式相同。因此，若(7)式成立，则系统(6)渐近稳定，多自主体系统(3)渐近 收敛一致，证毕。1201253.2

18、时变通信时延本节考察具有时变通信时延的系统（5），首先给出如下假定：假设 2 0 (t) h, 0 (t) d 0, 0, t 0 ；定理 2：若 (t) 和 满足假设 2，多自主体系统（5）的连接拓扑G 具有全局可达节点，且各节点的输出度均大于零，则对任意的 0 d 0, 0 ，多自主体系统（5）渐近收敛一致，且允许的时延上界 可以通过求解以下 LMI 得到： M11M12M13M14 M = *M 220M 24 0, 0, t 0 ，即d 1 或未知。则构造如下 Lyapunov-Krasovskii 函数：V (t ) = yT0t(t )Py(t ) + y Tt(s) R1 y (

19、s)dsd + y T(s)R2 y (s)dsd + htT t +0 t T h t +y (s) R3 y (s)dsd + y (s)R4 y (s)dsd h t + ht +150因多自主体系统(3)的连接拓扑G 具有全局可达节点，且各节点的输出度均大于零，则存在适当的 h 0, 0 , 多自主体系统(3)渐近收敛一致，且允许的时延上界 可以通过求解以下矩阵不等式得到： M 110M 13M 14 M = *M 220 M 24 0(9) *M 33M 34 1 *M 44 155M= PH + H T P + H T ( R + R + R ) H + hH T ( R + R

20、) H R1 (h + ) R411 1 1 1 1 3 4 1 1 2 4 113 2 1 1 3 4 2 1 2 4 2R1M = PH + H T ( R + R + R ) H + hH T ( R + R )H + 1T T 111R1M 14 = PH 3 + H1 ( R1 + R3 + R4 ) H 3 + hH1 ( R2 + R4 )H 3 + (h + ) R433 2 1 3 4 2 2 2 4 2M 22 = R3 ，M 24 = 32M = H T (R + R + R ) H + hH T (R + R ) H 1 R h1 RT T 1160M 34 = H 2

21、 (R1 + R3 + R4 ) H 3 + hH 2 ( R2 + R4 )H 3 + h R2T T 11 1M 44 = H 3 (R1 + R3 + R4 )H 3 + hH 3 (R2 + R4 ) H 3 h R2 其中， P, R j j = 1, 2, 3,4 为适当维数的对称正定矩阵。4数值仿真R3 (h + ) R4165假设多自主体系统包含 5 个节点，连接拓扑如图 1 所示。各节点之间连接的权值分别为a12 = 0.05 ， a15 = 0.15 ， a23 = 0.2 ，a35 = 0.2 ， a43 = 0.08 ， a45 = 0.12 ， a52 = 0.2 ，

22、节点的输出度均大于零，全局可达点为2, 3, 5 。各节点的位置和速度的初始状态随机。在一致性算法（2）中，假设控制增益为： k1 = 0.1 和 k2 = 1 。170图 1 二阶自主体系统连接拓扑 GFig.1 Interconnection topology G of second order agents-systerm（1）在通信时延时不变情况下，取 = 10 。利用 Matlab 中的线性矩阵不等式工具箱，由条 件（7）可得输入时延上界为 0.8131 。选择输入时延 = 0.8 ，闭环系统(3)将渐近收敛一致。 lim xi (t) = 0.133 ， lim vi (t ) =

23、 0 ， i = 1, 2, 3, 4, 5仿真结果如图 2 所示。t 8642xi0-2-4-6-8t 4321vi0-1-2-3-41750 20 40 60 80100t/s0 20 40 60 80 100t/s图 2 定常系统各自主体的位置和速度Fig.2 Positions and speed of agents when is constant180（2）在通信时延时不变情况下，当 d 1 时，假设通信时延为 (t ) = 10 sin(0.05t ) ，由条 件（8）可得输入时延上界 0.5133 。输入时延 = 0.4 ，则闭环系统(3)将渐近收敛一致。lim xi (t)

24、= 0.913 ， lim vi (t ) = 0 ，i = 1, 2, 3, 4, 5仿真结果如图 3 所示。t 8642xi0-2-4-6-80 2040t t/s60 801004321vi0-1-2-3-40 2040t/s60 80 100图 3 d 1 系统各自主体的位置和速度185Fig.3 Positions and speed of agents whend 1（3）当 d 1 时，假设通信时延 (t ) = 6 sin(2t ) ，由条件（9）得输入时延上界 0.4915 。取 输 入 时 延 = 0.2， 则 闭 环 系 统 (3) 将 渐 近 收 敛 一 致 。lim

25、xi (t) = 0.05 , lim vi (t ) = 0 , i = 1, 2, 3, 4, 5仿真结果如图 4 所示。t 8642xi0-2-4-6-8t 432vi10-1-2-3-40 2040t/s60 801000 2040t/s60 80 100190图 4 d 1 系统各自主体的位置和速度5结论Fig.4 Positions and speed of agents whend 1195200本文考察了同时具有通信时延和输入时延的二阶多自主体系统在固定拓扑下的静态一 致性问题。构造 Lyapunov-Krasovskii 泛函，首先给出了二阶多自主体系统在时不变输入时 延和通

26、信时延作用下时延相关的一致性条件。此外，分别得到了具有时不变输入时延和时变 通信时延的二阶多自主体系统在通信时延导数小于 1 和导数未知或大于 1 情况下的一致性条 件。本文所得一致性条件与输入时延和通信时延都相关，其都以线性矩阵不等式（LMI）表 示。参考文献 (References)2052102152202251 Olfati-Saber R, Fax J A, and Murray R M. Consensus and cooperation in networked multi-agent systems. Proceedings of the IEEE, 2007, 95(1):

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28、trol, 2008, 53(9): 2122-2128.4 梁有明，刘成林. 具有通信时延和输入时延的一阶多自主体的一致性J. 信息与控制，2012，41(1)：14-21.5 Peng Lin, Kaiyu Qin, Hongmei Zhao, et al. A new approach to average consensus problems with multiple time-delay and jointly-connected topologies J. Journal of Franklin Institute, 2012, 349, 293-304.6 Qin Zhen HUANG. Consensus Analysis of Multi-agent Discrete-time Systems J. Acta Automatica Sinica,2012, 38(7): 1127-1133.7 Y