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1、精品论文大集合基于 POD 降阶模型的气动弹性快速预测方法研究陈刚 1，李跃明 1，闫桂荣 1，徐敏 2，曾宪昂 21 西安交通大学强度与振动教育部重点实验室, 西安（710049）2 西北工业大学航天学院，西安（710072）摘要：CFD/CSD 耦合数值模拟是解决复杂气动弹性问题精度最高的方法，但同时也是计 算效率最低的方法。本文研究了气动弹性系统的时域 POD 降阶模型方法，并引入平衡截断 技术进一步降低时域 POD/ROM 的阶数，从而有效克服了时域 POD/ROM 阶数过高的缺点。 以 AGARD445.6 机翼为例，说明了时域 POD/ROM 建模的各个细节，并将其用于气动弹性 动
2、响应及颤振边界的预测。计算结果表明，POD/ROM 具有接近 CFD/CSD 耦合计算的精度， 同时又大大提高了计算效率约 1 到 2 个量级。 关键词：降阶模型；正则正交分解；平衡截断；计算气动弹性1. 引言随着计算气动弹性力学的发展，可以直接在时域预测飞行器任意运动下气动弹性响应， 避免了有理函数逼近所需的频域到时域的变换和不能很好描述非线性响应的不足。但是，直 接利用 CFD/CSD 技术在时域进行系统分析与综合也产生了一些问题。主要是 CFD/CSD 耦 合计算时间耗费太大。特别是对于需要反复迭代修改的多学科优化初步设计阶段，其计算量 更为巨大，很不便于应用。为了解决这个问题，美国在上
3、个世纪 90 年代后期提出了建立非 定常气动力降阶模型 ROM(Reduced order model, ROM)的想法1。ROM 强调建立一个简单的 数学模型，该模型即以较高精度反映气动弹性系统的主要动力学特性, 计算量不太大，又能 够方便地用于多学科优化的初步设计阶段。该思想提出后立刻就得到了学术界和工程界的广 泛关注，成为目前计算气动弹性领域的一个研究热点2。基于正则正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，POD）的 POD/ROM 是目前最 受关注的降阶模型方法。 Lumley3 首先将 POD 方法应用于流体力学中来研究湍流。 Romanowski4
4、和 Dowell5将 POD 应用到时域离散 Euler 方程和频域 Euler 方程中进行二维翼 型的气动弹性降阶，阐述了计算气动弹性力学框架下的 POD/ROM 建模方法。很快 POD/ROM 就被推广到三维机翼6和复杂外形的全机气动弹性分析2,7。随后 POD 方法开始用于非线性 气动弹性例如跨音速壁板的非线性颤振特性8和极限环的预测9。由于计算量、模型阶数和实现难度相对较小，目前研究较多的是频域 POD/ROM。但 是时域 POD/ROM 能够捕捉更多的流场信息，对流场参数变化具有更强的鲁棒性，这在设计 气动弹性系统的主动控制律时具有较强的优势。本文研究时域 POD/ROM 建模方法，
5、并利用 控制理论中的平衡截断（Balanced Truncation, BT）技术对时域 POD/ROM 进行进一步的降 阶，从而克服其相对于频域 POD/ROM 阶数过高的缺点，使之获得与频域 POD/ROM 相当 的性能。- 7 -2. POD 理论POD 方法是要利用 n 维空间 nn 中的一组数据集合xk ,xk n （称之为快照，snapshot）来寻找一个 m （ m L 。取前 r 个特征值和它对应的特征矩阵 来代替 ，把满阶向量 x n1 映射到 r 上就能使模型的阶数降低：rx n1 = r13. 气动弹性系统降阶模型3.1 气动弹性方程的线性化（7）气动弹性系统是由流体动力
6、系统和结构系统两部分组成。流体动力系统用有限体积法离散，结构动力系统用有限元方法离散。流体和结构的控制方程分别如下式所示：(A(u )w),t + F (w, u, v) = 0（8）Mv ,t +f int (u , v ) =f ext (u , w )（9）其中： u 和 v 分别表示结构的位移和速度矢量； A 为流体网格单元的体积矩阵； w 是流体的守恒型变量；F 是非线性的数值通量函数；M 是质量矩阵；f int 表示结构内力；f ext是作用于结构上的气动载荷 , t 表示变量对时间的偏导数。 方程（8）是一个非线性方程，首先要对它进行线性化，以便求解进行降阶操作所需要的变量协方差
7、阵。对于气动弹性系统，一般选取结构变形为零的定常状态作为操作点。将控制方程（8）在该点处做一阶泰勒展开得：A0 w,t + Hw + (E + C )v + Gu = 0F（10）H =0wG = Fu(w0 , u0 , v0 )(w0 , u0 , v0 )A（11）E =w0uC = F (w , u , v )v000变量 w ， w,t ， u ， v 此时表示的是扰动量； A0 ， w0 ， w,t (w0 ) ， u0 ， v0 表示操作点处的变量值。若 CFD 系统中共有 n 个网格，那么对于二维和三维 Euler 方程，系统（10）的阶数分别为 J = 4 n 和 J = 5
8、 n 。对一般的 CFD 系统，其自由度 J 在104 以上。对 CFD这样的大型系统求偏导数是一个非常繁杂的工作，尤其是矩阵 H ，它是一个 J J 的大型矩阵。该矩阵具有很强的稀疏性，这就使得对它的求解和存储得到了很大的简化。把方程（9）和（10）联立起来就能建立线化的气动弹性方程：w0 A1H A1 (E + C) A1G w0u v& = 1 V 2 M 1P M 1C M 1K v （12）& 2u& 20S I 0 1式中：V P =f ext ， K= K f ext(u0 , w0 ) 。若结构模态取 s 阶，那么三维线2wSu化气动弹性系统的自由度总共为 J = 5 n +
9、2 s （二维情况为 4 n + 2 s ）。3.2 气动弹性系统的时域 POD/ROM线性化的流体动力学模型（10）可以写成一个线性系统状态空间方程的形式：w& = Aw + By（13）F = Pw其中： A = A1 H ， B = A1 (E + CG )， y = vuT 。POD 降阶方法的关键在于00POD 快照如何得到。POD 快照可以由方程（13）求时域和频域响应得到。在时域内，由于 CFD 系统时间推进求解受稳定性条件的限制，需要采用隐式方法求解该方程，以获得相对 大的时间步长。对方程（13）做中心差分离散如下：wn+1 wn= A wn+1+ wn+ By n+1 / 2
10、（14）t 2整理得： I At w= I + At wB ty（15）2 n+1 n +2 n+1 / 2对于给定的激励，求解方程（15）就可以得到系统的时域响应，从而构成快照矩阵。在 实际气动弹性应用中，需要充分利用结构输入作为激励，并且这个激励的频谱最好能够覆盖 我们所需要的特征频率。本文对每一阶模态位移和速度都采用 dirac 三角脉冲函数进行激励。若结构模态为 s 阶，每一个激励得到的快照向量为 m 个，那么快照矩阵的维数为 2s m 。设 CFD 系统快照矩阵为W 。由于W 为实矩阵，则 POD 核为 R = WW T 。采用第 2 节描述的方法求得一个 r （ r n ）维的正交
11、子空间 r作为流场的模态。那么将方程（13）映射到 r上便得到了流体系统的降阶模型：w&= T A w+ T Byr rrr rr（16）F = Pr wr把方程（16）代入方程（12）中就能得到降阶的气动弹性系统：w T A1 H T A1 (E + C ) T A1G w & rr0rr0r0r v& = 1 V 2 M 1 P M 1C M 1 K v （17） u& 20IS 0 u 降阶系统（17）的阶数为 2s + r ，这个阶数比原系统（12）要小得多。因此可以通过求解它的特征值来分析其稳定性，也可以通过时域推进来观察其响应，这比 CFD/CSD 耦合计算方法要方便、快速，特别适
12、合于需要大量计算的气动弹性稳定性及动响应分析。3.3 POD-BT/ROM相对于频域 POD/ROM 来说，时域 POD/ROM 的一个主要的缺点就是阶数较高。频域 POD 在求快照矩阵时只需选择系统特征频率附近的激励，仅仅覆盖所关心的几个频带就可 以。因此所产生的快照矩阵相对较小，因而 ROM 的阶数也相对较小，通常几十阶就可以很 准确的描述气动弹性系统的主要特征。而时域 POD/ROM 的激励需要激起系统全部频谱范围 的响应，因此其快照矩阵包含系统更多信息，从而求得的 ROM 具有对流动参数的变化具有 较强的鲁棒性。但也因此导致了时域 ROM 模型阶数相对较高，通常要几百阶才能准确描述 系
13、统特征。本文引入控制系统建模常用的平衡截断降阶方法10，对时域 POD/ROM 做进一 步降阶，可以得到精度及阶数同频域 POD/ROM 相当的 PODBT/ROM。4. 算例仿真研究4.1 AGARD 445.6 机翼以 AGRAD 445.6 机翼为例，通过与 CFD/CSD 耦合求解器计算结果进行比较，验证 本文所发展的时域 POD/ROM 求解器在预测气动弹性响应上的高精度和高效性。气动网格采用 O-H 型网格，网格数为 60 42 19 ，如图 1 所示。流场自由度总数为 239400 ，结构模态取前四阶，则气动弹性系统的总阶数为 239408 。选取计算马赫数 0.678，首先将控
14、制方程线性化。为验证线化模型的可靠性，给一阶模态一个强迫振 动1 = 0.001sin(2 55.3 t )，线化方程所求得的前四阶模态的广义力与 CFD 计算比较如图2 所示，从图中可见线性模型和 CFD 计算的结果吻合得很好。因此可以利用全阶线性化模型代替非线性的 CFD 计算来评价 POD/ROM 的精度。0.0020.0010.0015A11A210.0010LinearizedGAFCFD Computation0.0000.0005GAF-0.0010.0000-0.002-0.0005-0.0030.000.010.020.030.04-0.00100.00 0.01 0.020
15、.030.040.00030.00020.0001Time(s)A310.00040.0002Time(s)A41GAF0.0000GAF0.0000-0.0001-0.0002-0.0002-0.00030.000.010.020.030.04Time(s)-0.00040.00 0.01 0.020.03 0.04Time(s)图 1 AGARD445.6 机翼表面网格图 2 一阶模态正弦运动的广义气动力响应比较Fig.1 Surface grid of AGARD wingFig.2 General aerodynamics (CFD vs. Linearization model)4.
16、2 POD/ROM 预测的结构响应在马赫数为 Ma=0.678，V*=0.4074 和 Ma=0.901，V * = 0 .38 73 状态下运用时域 POD 方 法对 AGARD445.6 机翼进行降阶。利用(15)式求解 Snapshot 时推进的物理时间步长为5.29 105 s ，每一阶模态的快照数取 200。采用（13）式构建好不同阶数的 POD/ROM 模型后，就可以利用 ROM 对系统的结构响应进行预测，前两阶模态的响应如图 3 所示。从仿真结果中可以看出，300 阶以上的降阶模型可以很好地表达系统特性。在计算时间上，利用 CFD/CSD 耦合求解器来模拟一个状态的响应在 P4
17、3.0G 的 PC 机上要大约 6 个小时。而采用 POD/ROM 来求解响应则只需要不到 2 分钟。加上构造 POD/ROM 所花的时间，其计算效率 也提高了一到二个量级以上。更为重要的是，对于同一个马赫数，POD/ROM 构建好并予以 确认后，就可以快速求解该马赫数下不同动压和不同结构运动下的非定常气动力，大大方便 了系统设计与分析。0.0010 300 POD/ROM0.006 FullLinearized0.00080.00060.00040.000210.0000-0.0002-0.0004-0.0006-0.0008-0.0010full order0.0030.000-0.003
18、300POD/ROM150POD/ROM250POD/ROM0.00 0.05 0.10 0.150.200.00030.00020.000120.0000-0.0001-0.00020.00 0.05 0.10 0.150.20Time (s)-0.0060.00 0.05 0.10 0.150.200.25 0.300.00080.000410.0000-0.0004-0.00080.00 0.05 0.10 0.150.20 0.25 0.30Time(s)图 3 ROM 预测的结构响应与全阶模型的比较Fig.3 General structure displacements (POD/
19、ROM vs. Full order linearization model)4.3 颤振边界预测在给定马赫数下气弹系统的 POD/ROM 建立起来以后，通过改变动压，可以得到一系列系统矩阵。对降阶模型的系统矩阵进行特征值分析，就可以对系统进行稳定性的定量分析， 从而可以快速预测系统在该马赫数下的颤振速度及颤振频率。在不同的马赫数下采用 POD/ROM 就可以快速预测气动弹性系统的颤振边界。图 4 为 POD/ROM 预测的 AGARD445.6 机翼的颤振速度和颤振频率与 CFD/CSD 耦合计算结果的比较，可以看出降阶模型的 预测结果与 CFD/CSD 耦合计算结果十分接近。这充分说明了所
20、建立的 POD/ROM 具有接近CFD/CSD 耦合计算的精度。POD/ROM 求一个马赫数下的颤振速度，只要几分钟；而采用 CFD/CSD 耦合计算方法即使在准确猜测到颤振速度的情况下，也要好几个小时。而通常需 要经过数个状态的试算才能较准确确定颤振速度和颤振频率。因此 POD/ROM 在颤振边界预测这种需要大量试算的气动弹性分析问题上计算效率显得更加明显。图 4 AGARD 445.6 机翼的颤振边界比较（POD/ROM vs. CFD/CSD）Fig.4 Flutter boundary of AGARD wing（POD/ROM vs. CFD/CSD）4.4 POD-BT/ROM30
21、0 阶的 POD/ROM 模型虽然比全阶系统的约 24 万阶低了很多，对于控制系统设计来 说，其阶数仍然较高。采用 102 量级阶数的系统设计出的主动控制律很难应用于工程实际。 为了得到实用的便于控制系统设计的低阶模型，本文对时域 POD/ROM 方法采用平衡截断方 法进一步降阶。在 Ma=0.901 时，首先利用时域 POD/ROM 求解器得到一个阶数为 600 阶的 模型，然后采用平衡截断降阶方法可以得到 40 阶的 POD-BT/ROM。40 阶 POD-BT/ROM 和600 阶 POD/ROM 预测的机翼前两阶模态的广义位移响应结果的比较如图 5 所示。从图中可 以看出 40 阶的
22、POD-BT/ROM 模型可以获得 600 阶 POD/ROM 的模型精度，从而使得时域 POD 模型可以应用于实际控制系统的设计，有效克服了时域 POD/ROM 阶数过高的缺点。0.00150.00100.000510.0000-0.0005-0.0010-0.00150.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.3040B T/R O M600P O D /R O M0.00030.00020.000120.0000-0.0001-0.0002-0.00030.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30Tim e(s)图 5 40 阶 BT/ROMvs
23、.600 阶 POD/ROM(Ma=0.901，V = 0.3873 ) Fig.5 40-order BTvs.600-order POD(Ma=0.901，V = 0.3873 )5. 结束语本文研究了时域 POD/ROM 的建模方法，并将平衡截断法引入 POD/ROM 的构建。以 AGARD445.6 三维机翼为例进行了数值计算，计算结果表明：气动弹性系统的 POD/ROM 具 有接近 CFD/CSD 耦合计算的高精度，能够用于气弹系统的稳定性分析和高精度响应快速预 测；同耦合数值模拟方法相比，POD/ROM 可以大大提高气动弹性分析的计算效率（约为 10102）；平衡截断技术获得的几十
24、阶 POD-BT/ROM 与几百阶时域 POD/ROM 具有相近的精度， 有效克服了时域 POD/ROM 阶数过高的缺点，从而可以获得与频域 POD/ROM 相近的性能。参考文献1 Lucia, D. J., Beran, P. S., and Silva, W. A.Reduced-Order Modeling: New Approaches for ComputationalPhysicsJ. Progress in Aerospace Sciences, 2004, 40(1):51-117.2 陈刚弹性飞行器耦合动力学与主动控制方法研究R西安交通大学博士后出站报告，2008.7.3 L
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30、eng Xianang21 MOE Key Laboratory for Strength & Vibration, Xian Jiaotong University, Xian（710049）2 College of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xian (710072)AbstractCFD/CSD coupled numerical simulation is the most accurate method in aeroelasticty but it is also withthe lowest comp
31、utation efficiency. A reduced order model (ROM) based on proper orthogonal decomposition (POD) for aeroelastic system was investigated in this paper. In order to further reduce the higher order of time-domain POD/ROM relative to frequency-domain POD/ROM, the balanced truncation method in control the
32、ory was introduced. The detail of the construction of time-domain POD/ROM was demonstrated with AGARD 445.6 wing and then the ROM was used to predict the aeroelastic dynamic response and flutter boundary. The numerical results show that the POD/ROM nearly has the same accuracy as the CFD/CSD coupled method while improves the computation efficiency with tens to hundreds times.Keywords: reduced order model, proper orthogonal decomposition, balanced truncation, computational aeroelasticiy
