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1、精品论文基于Hilbert-Huang变换的高斯线性调频信号的时频分析1单佩韦1, 李明1,顾学康21华东师范大学，信息科学与技术学院，上海，（200241）2中国船舶科学研究中心，无锡，（214082）E-mails: midoban43, ming_lihk, xkgu702摘要：基于经验模式分解算法的Hilbert-Huang变换把复杂的数据分解成瞬时频率有意义 的、指定余项误差的固有模态函数，是一种数据驱动的自适应时频分析方法。本文以单分量 信号为例，给出了采样频率与经验模式分解所产生的误差之间的数量表示，说明了提高采样 频率可改善时频分辨率，并就高斯线性调频信号分析了Hilbert-
2、Huang变换的信号时聚性。关键词：Hibert-Huang 变换，采样频率，时频分析一、 引言信号频率分布在整个时间域内的平稳信号被称为全域波。而非平稳信号的主要特征是其 时变性，其频率是瞬变的，这类信号被称为局域波。傅立叶分析为解决全域波问题提供了方 便快捷的方法，而对时变的局域波却显示出很大的局限性。短时傅立叶变换，Wigner-Ville 分布等时频分析方法在不同程度上对非平稳信号的时变性给予了恰当的描述，大大弥补了傅 立叶变换分析方法的不足。但最终仍基于傅立叶分析，归于全域波分析方法的范畴。局域波 分析的典型方法是美国学者 N. E. Huang 提出的 HHT(Hilbert-Hu
3、ang Transform)1。它用经验 模式分解方法 EMD(Empirical Mode Decomposition)，将复杂数据自适应分解成瞬时频率有意 义的、指定余项误差的固有模态函数 IMF(Intrinsic Mode Function)，经过 Hilbert 变换，构成 能量时间频率三维时频分布谱图。与小波分析相比，它是一种无需任何先验知识的自适 应的时频分析方法，其分解基依赖于信号本身，数据的分解有真实的物理意义，且有更高的 时频分辨率。应用局域波分解对信号进行分析时，要对信号进行过采样。在这方面，2研究了采样 频率和分解误差的关系。因为一个信号可分解成多个单频余弦信号之和，我
4、们在本文中就单 频余弦信号做了分析，并建立了采样频率和分解误差的数量关系。以此来说明提高采样频率 可降低分解误差的原则。在非平稳信号的研究过程中，高斯线性调频(Gaussian Linear Frequency Modulation， GLFM)信号常常作为衡量一种时频分析方法是否有效的手段。任何一种时频分布如果对 GLFM信号不能提供好的时频聚集性，那么它便不适合用作非平稳信号分析的工具3。由于 GLFM信号广泛出现在通信、雷达、声呐和地震勘探等系统，亦经常被用于生物医学及故障 诊断领域的时频分析，具有较高研究价值。因此，本文选用高斯线性调频信号进行分析研究。二、 Hilbert-Huang
5、 变换1)Hilbert-Huang 变换(简称 HHT) 是 1998 年由 N. E. Huang 提出的一种自适应的、适用于1 本工作得到国家自然科学基金(项目编号：60573125)和上海重点学科建设项目(项目编号：B411)的部分支持。- 7 -非线性及非平稳信号的新的信号分析方法1。该方法的关键在于“经验模式分解”(EmpiricalMode Decomposition, EMD)。通过经验模式分解，任何复杂的数据集都可以被分解为一组固 有模态函数(Intrinsic Mode Function, IMF)分量，该些 IMF 刻画了信号在每个局部的振荡结构 或频率结构。通过对固有模
6、态函数作 Hilbert 变换，得到“瞬时频率”，作为时间函数，对 信号的结构可作精确的分辨。最终结果表示为能量频率时间的分布，称为 Hilbert 谱。在 Hilbert-Huang 变换中表征信号交变的基本量不是频率，而是瞬时频率(Instantaneous Frequency，简记 IF)。瞬时频率可以通过 Hilbert 变换获得，即先对信号 s(t)作 Hilbert 变换得 解析信号：z(t ) = s(t ) + jH s(t ) = a(t )e j (t ) (1)幅值函数：a(t ) =s2 (t ) + H 2 s(t )(2)相位函数：(t ) = arctan H s
7、(t )s(t ) (3)再对相位函数求导即得瞬时角频率和瞬时频率：(t ) = d (t ) dtf (t ) = 12d (t )(4)dt该变换的先决假设为任一信号都是由若干固有模态信号(Intrinsic Mode Signal，简称 IMS) 或固有模态函数(Intrinsic Mode Function，简称 IMF)组成的，任何时候，一个信号都可以包 含许多固有模态信号，如果固有模态信号之间相互重叠，便形成复合信号。然而构建信号时 间函数的瞬时频率只对固有模态信号才具物理意义。因此对实际信号进行时频分析时，需要 先将信号分解成 IMF 的和。2)经验模式分解为了获得信号的固有模态
8、函数，Hilbert-Huang 变换的创立者又提出了一种经验模态分 解方法(EMD)，EMD 算法步骤可归纳如下：(1) 确定x(t)所有局部极值点；(2) 用三次样条曲线分别对极大、极小值点进行拟合，提取所有极大值点的上包络线和所有 极小值点的下包络线，记为 emax (t ) 和 emin (t ) ；(3) 计算上下包络线的均值；m(t)=( emin (t ) + emax (t ) )/2；(4) 提取细节信号h(t)= x(t ) m(t ) ；为保证迭代筛选出的IMF在幅值和频率上都有足够的物理意义，必须符合某种迭代终止 准则。N. E. Huang给出了迭代停止准则：T 1,
9、k 1 1,k| h(t ) h(t ) |2SD = t =0 (5)T 2| h1, k (t ) |t =0SD为筛选门限值，一般取为0.20.3，当SD小于该门限值时，筛选迭代终止。迭代终止后得到 d1 (t ) = h1,k (t ) 即第一个 IMF，而后对剩余信号 r1 (t ) = x(t ) d1 (t ) 进行次 轮迭代，即 r1 (t ) = d1 (t ) + r2 (t ) ，最终得到 rN (t ) 为一常量或变化足够小时分解停止。最终 x(t)K表示为 x(t)= dk (t ) + rK (t ) 。(6)k =1 i其中 dk (t) 表示第 k 个 IMF，
10、 rK (t) 表示余量信号，一般为简谐振荡信号。 对式(6)中的每个 IMF 分别作 Hilbert 变换后得：nj tn j t dtx(t ) = Rei =1ai (t )ei ( ) = Rei =1a (t )e i ( ) (7)这里省略了残余函数 r，Re 表示取实部。 ai (t ) 为时变幅值，将汇总的 ai (t ) 与 和 t 投射到三维时频图，以 (, t ) 为时频表示的幅度 a 称为 Hilbert 幅值谱，记为 H (, t ) ，简称 Hilbert谱，进一步可定义边际谱：h() = H (, t )dt(8)以上的 EMD 和与之相应的 Hilbert 谱信
11、号分析方法统称为 Hilbert-Huang 变换。三、 采样频率对 EMD 分解的误差影响在傅立叶分析中，根据抽样定理，对于一个带限信号，只要满足采样频率为信号频率上 限的2倍以上，则原信号可由抽样之后的信号完全恢复。文献24中对EMD分解特性进行 了分析，并给出了采样频率与EMD分解误差间的关系。为将采样频率对EMD分解误差进行量化分析，我们选取单一的余弦信号作为对象：x(t ) = cos(2 30t )(9)由于该信号自身满足IMF分解准则，通过EMD分解，原信号产生唯一的IMF分量，即信号本身。为分析采样频率的影响，将信号(9)表示为离散化的信号形式：x fs ,n = x( n +
12、 ) = cos( 2 30 n + 2 )Nfs fs(10)式中 n Z ， fs 为采样频率， 为采样相位，信号频率为30Hz，信号长度为256点。 则EMD分解误差定义为3：f式中 dn =1 x f s , n d f s , nex ( fs , ) = (N )n =1 x f s , nn 为离散信号(10)的第一个IMF分量。s(11)图1所示为对信号(10)的采样频率从120Hz增加到300Hz时，对应的误差变化。0.10.08Error0.060.040.02120Hz180Hz240Hz300Hz0-2.3-2.4 log10(Freq)-2.5图1：分解误差采样频率关
13、系图从图1可看出，当采样频率为信号频率的偶数倍时，分解误差接近0；在其他值时，误差 变化剧烈，于信号频率的奇数倍处出现峰值。随着采样频率的增加，误差随之逐渐变小。因 此，对于单分量信号采样，采样频率应选为信号频率的偶数倍；对多分量信号，应提高采样 频率，以降低EMD分解误差。四、 对高斯线性调频信号的仿真分析由于高斯线性调频信号的典型性，在时频平面中呈现直线型以及其对验证时频分布时聚 性的高研究价值，本文选取高斯线性调频信号进行HHT时频分析。图2为两个高斯线性调频2 2 2 2信号 e(t t0 ) e j 2 (1t + t / 2) 、e(t t0 ) e j 2 (2t + t / 2
14、 ) 的叠加，归一化频率为1 =0.2，2 =0.45，为最高频率和采样频率的比值，为降低EMD分解误差，我们将采样频率设为300Hz。图3为加高 斯白噪声后的结果。1s(t)0-10 50100150 t1s(t)0-10 50 100 150t图 2：高斯线性调频信号 s1 (t )图 3：加白噪声后的信号 s2 (t ) imf5imf4imf3imf2imf1E m piric al M ode Dec om pos tion2100.5Power Spectrum00.10.0500.05Amp00.010.00500.010.0050res.t0 0.1 0.2 0.3 0.40.
15、5Normalized Frequency图 4：实验信号 s1 (t ) 的 IMF图 5：对应 IMF 的频谱图imf4 imf3 imf2imf1Empirical Mode Demcomposition2100.5Power Spectrum00.1Amp0.0500.0500.010.005imf500.010.005000.10.20.30.40.5t Normalized Frequency图 6：实验信号 s2 (t ) 的 IMF图 7：对应 IMF 的功率谱由图 5，图 7 可看出，从信号的 IMF 分量提取出的频率分量与信号归一化频率1 =0.2，res.2 =0.45
16、相对应。Normalized Frequency0.50.40.30.20.10Wigner-Ville distribution0 50100150 t0.5Normalized Frequency0.40.30.20.10Wavelet Transform50100150 t图 8：对信号 s1 (t ) 的 WVD 时频图图 9：对信号 s1 (t ) 的小波变换时频图Normalized Frequency0.5Hilbert-Huang Transform0.40.30.2 0.1050 100 150t图 10：对信号 s1 (t ) 的 HHT 时频图图 8 中的 Wigner-
17、Ville 分布在归一化频率为 0.35 处出现严重的交叉项，图 9 中小波变 换的频率分辨率表现一般，对高斯调频信号的时聚性表现较弱，而 HHT 的时聚性表现良好， 频率分辨率也较高。Normalized Frequency0.4Wigner-Ville distributionNormalized Frequency0.50.4Wavelet Transform0.30.2 0.1 0.30.20.100 50 100150t50100150 t图 11：对信号 s2 (t ) 的 WVD 时频图图 12：对信号 s2 (t ) 的小波变换时频图Normalized Frequency0.
18、50.40.3Hilbert-Huang Transform0.50.40.3Improved Hilbert-Huang Transform0.20.20.10.1Normalized Frequency0 050 100150t50100150 t图 13：对信号 s2 (t ) 的 HHT 时频图图 14：对信号 s2 (t ) 的改进型 HHT 时频图由图 11，WVD 对噪声抗干扰能力较差，在归一化频率 0.1 和 0.25 处出现严重模糊；图12 中小波变换则对噪声呈现极佳的不敏感性，变换后信噪比较高，能较好地分辨频率分量； HHT 在加入高斯白噪声后仍保持较高的时聚性，仅在 0.
19、2 处显现较不明显的噪声痕迹，该 现象通过采用改进型 HHT（图 14）可得到良好改善。五、 总结Hilbert-Huang变换是近年较新的一种时频分析方法，因其是一种纯数据驱动的自适应时 频分析方法，被广泛应用于复杂非平稳信号分析。本文针对采样频率对EMD分解造成的误 差进行了量化，给出了两者间的直观表示，验证了提高采样频率可弱化EMD分解误差带来 的影响。进一步以高斯线性调频信号为例，对HHT的信号时聚性和时频分辨率进行了检验， 比较了Wigner-Ville分布、小波变换和HHT三者间的抗噪性。利用改进型的HHT可更有效提 高对噪声的滤除能力。参考文献1N. E. Huang, Z. S
20、hen, S. R. Long, M. L. Wu, H. H. Shih, Q. Zheng, N.C. Yen, C. C. Tung, and H. H. Liu, The Empirical Mode Decomposition and Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis, Proc. Roy. Soc. London A, vol.454, pp.903C995,19982G. Rilling and P. Flandrin, “On the influence of sampl
21、ing on the Empirical Mode Decomposition,”in Proc. IEEE Int. Conf. on Acoust., Speech and Signal Proc. ICASSP-06, Toulouse (F),20063Zbigniew Leonowicz Tomasz Sikorski：Time-Frequency Analysis of Three Phase Signals Using WignerDistribution“Computational Problems of Electrical Engineering”IEEE-EURASIP
22、Workshop on Nonlinear Signal and Image Processing NSIP-03, Grado (I) 20034G. Rilling, P. Flandrin, and P. Gonalves, “On Empirical Mode Decomposition and its algorithms,”Time-Frequency Analysis of Gaussian Linear Frequency Modulation Signal based on Hilbert-Huang Transform SHAN Pei-Wei1, LI Ming1, Gu
23、 Xue-Kang2(1School of Information Science and Technology, East China Normal University, Shanghai 200241, PR.China)(2China Ship Scientific Research Center, Wuxi, 214082, PR. China)AbstractBased on the Empirical Mode Decomposition algorithm, Hilbert-Huang transform (HHT) is a data-driven and self-adap
24、ting method of energy-time-frequency distribution and is able to compose any complicated data into Intrinsic Mode Functions, which has meaningful instantaneous frequency in physical and limited errors of residues. This paper quantifies and describes the numerical relationship between the errors of E
25、MD and the sampling frequency , using single component cosine signal for example. The result reveals that increasing the sampling frequency will improve the frequency resolution. We also analyze the time-frequency assemble quality of HHT of Gaussian Linear Frequency Modulation signal.Keywords: Hilbert-Huang transform, sampling frequency, time-frequency analysis
