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1、第五节 幂 级 数,2.收敛性:,当 时,收敛；当 时,发散.,例如级数,一 幂级数及其收敛性,定理1(阿贝尔Abel定理),如果级数 在 处收敛,则它在满足不等式 的一切 处绝对收敛；,如果级数 在 处收敛,则它在满足不等式 的一切 处发散.,使得,当 时,等比级数 收敛,收敛,即级数 收敛.,几何意义,收敛区域,发散区域,发散区域,当 时,幂级数发散；,当 与 时,幂级数可能收敛也可能发散；,从而决定了收敛域为以下四个区间之一:,如果 存在,从而级数 绝对收敛.,当 时,级数 发散,定理证毕.,如果,(否则由定理1知将有点 使 收敛),收敛半径,解,例1 求下列幂级数的收敛区间:,故收敛域
2、是,故收敛域是,级数只在 处收敛.,当 即 时,原级数收敛.,例2 求幂级数 的收敛域.,对级数 用比值判别法,当 即 时,原级数发散.,当 级数为,收敛.,故原级数的收敛域为,例3 求幂级数 的收敛域.,当 时,级数 发散,当 时,级数 收敛,原级数的收敛域为,的收敛域为,1.代数运算性质,(1)加（减）法,(其中,设 和 的收敛半径分别为,二 幂级数的运算及其性质,注：相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多.,2.幂级数和函数的性质和求法:,(2)幂级数 的和函数 在收敛区间 内可积,且对 可逐项积分.,幂级数 的和函数 在收敛区间 内连续,在端点收敛,则在单侧连续.,收敛半径不变.,即,收敛半径不变.,即,(3)幂级数 的和函数 在收敛区间 内可导,且对 可逐项求导任意次.,两边积分得,例4 求下列幂级数的和函数.,又 时,收敛.,即,易求得 的收敛域为,两边求导得,易求得 的收敛域为,设,两式相减,得,故,则,例5 求 的和.,例6 求 的收敛域及和函数.,解,易求得 与 的收敛域分别为,收敛域为,设,则,故原级数的和函数为,
