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1、精品论文一个新混沌系统的同步研究1郭丽峰，褚衍东，江浩，刘开明 兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州（730070） E-mail：glf174564740摘 要:针对一个新三维混沌自治系统,研究了该混沌系统的同步问题.利用线性负反馈法,设 计了实现其同步的一种非线性控制器利用李雅普诺夫稳定性定理,证明了同步误差系统是全局渐近稳定的Matlab 数值仿真结果表明所设计的非线性控制器能有效地实现混沌同步 关键词:新混沌系统；混沌同步；李雅普诺夫稳定性中图分类号:O415.5文献标识码:A0. 引言混沌是非线性动力系统所特有的一种运动形式，它广泛存在于自然界中混沌系统的最 大特点在于它对初始条
2、件极其敏感，系统整体上是稳定的但局部又是不稳定的对于混沌现 象的研究1, 2 是非线性科学领域的热点问题之一，而混沌同步与控制由于在保密通信，激光物理，化学反应，生物医学等领域的巨大应用潜力3, 4 ，引起了人们的广泛关注自从 1990 年 Pecora 和 Carroll 发现混沌信号同步5 以来，混沌系统的同步方法不断涌现，如线性和非 线性反馈控制，模糊控制，驱动响应同步等方法6,7 最近，文献8中提出了一个新三维混沌系统,并深入研究了该系统的非线性动力学性质.本文将研究该三维自治系统的同步问题.基于稳定性理论,设计了一种非线性控制器,实现了 混沌系统的同步.Matlab 数值仿真实验验证
3、了上述同步方法都是有效的1. 新混沌系统的描述文献8提出了一个新三维混沌自治系统,其状态方程如下: x& = a( y x),- 4 - y& = bx + cy xz,(1) z& = x 2 hz,式中 ( x, y, z) R 3 为系统的状态.当选取参数 a = 20 , b = 14 , c = 10.6 , h = 2.8 , ,时,系统(1)处于混沌状态,其时间响应曲线和混沌吸引子分别如图 1(a),(b)所示.4040x,y,z20z 2000-20050t/s10010y 0-10100 x-10(a)(b)图 1 系统(1)的时间响应曲线图(a)和混沌吸引子图(b).1本课
4、题得到国家自然科学基金(50474008)的资助。2. 系统(1)的混沌同步2.1 系统同步化的简单数学描述n现考虑两个 n 维非线性动力系统，X& =f ( X )(a)式中 X= ( x1 , x2 ,L, xn ) RY& = g (Y ) + U, Y = ( y1 , y2 ,L, yn ) R(b)n为系统的状态变量，U 为控制量，通常将系统 (a) 称为驱动系统，系统 (b) 称为响应系统定义误差 E = e(t ) = Y (t ) X (t ) ，则可得误差系统为e& = Y& X&= g (Y ) f ( X ) + U(c)如果系统 (a) 与系统 (b) 同步，那么就意
5、味着 lim e(t)n= 0 ，也就是说误差系统 (c) 在原点是渐近稳定的于是可将系统 (a) 与系统 (b) 同步化问题转化为如下问题：如何选择合适的控 制量U ，使误差系统的零解渐近稳定？2.2 系统(1)的同步控制设系统(1)为驱动系统变换为如下形式,x&1 = a( x2 x1 ),x&2 = bx1 + cx2 x1 x3 ,(2)2x&3 = x1再取如下的系统(2)为响应系统， hx3 . y&1 = a( y2 y1 ) + u1 ,2 y& 2 = by1 + cy2 y1 y3 + u2 ,(3)式中U = (u1 , u2, u3 y& 3 = y1) R 3 定义误
6、差 hy3 + u3 .则误差系统可表示为E = (e1 , e2 , e3 ) = ( y1 x1 , y2 x2 , y3 x3 ) ,e&1 = ae1 + ae2 + u1 ,e&2 = be1 + ce2 y1 y3 + x1 x3 + u2 ,e&3 = x1e1 + y1e1 he3 + u3 .(4)为了使系统(9)与系统(10)同步,我们设计了如下一个非线性控制器：u1 = ae2 ,u2 = be1 2ce2 + y1 y3 x1 x3 ,u3 = x1e2 y1e1(5)于是便有如下结论:定理已知驱动系统(2)和响应系统(3)，若系统(10)中的控制量U = (u1 ,
7、u2 , u3 ) 选取式(5)，则可以实现驱动系统(2)和响应系统(3)的全局同步即对于误差系统(4)，当控制量U = (u1 , u2 , u3 ) 取式(5)时，误差系统(4)的零解渐近稳定证明将式(5)代入系统(4)，原误差系统简化为e&1 = ae1 ,e&2 = ce2 ,e&3 = he3 .再构造李雅普诺夫函数V = 1 (e 2 + e 2 + e 2 ) 0 ，则2123222V& = e&1e1 + e&2 e2 + e&3 e3 = ae1 ce2 he3 .因为 a = 20 0, c = 10.6 0, h = 2.8 ，所以V& 0 ，即V& 负定根据李雅普诺夫稳
8、定性定理，可知在式(4)的作用下，误差系统(4)的零解是渐近稳定的，即 lim e(t )t = 0 ，从而可使驱动系统(2)和响应系统(3)全局同步3. 混沌同步数值仿真下面利用四阶 Runge-Kutta 算法对受控系统(2)进行数值计算,以验证上述分析结果.系统参数固定为 a = 20 , b = 14 , c = 10.6 , h = 2.8,.在 Matlab 上对受控系统(2)进行数值模拟:当控制量选取式(5), 时，数值仿真结果分别如图 2 所示误差系统(4) 的初始值为(e1 (0), e2 (0), e3 (0) = (1,3.5,2) ，由图 2 可以看到，在非线性控制器的
9、作用下，在 1.6s以后， e1 , e2 , e3 全部趋向于零，这表明新混沌系统达到了全局同步控制0.5403e01e22-0.5e3-1-0.51-1.5-10120012-2012(a) e1 随时间 t 变化图(b) e2 随时间 t 变化图(c) e3 随时间 t 变化图图 2 系统的同步误差4. 结语数值计算和稳定性分析都是实现混沌同步的有效方法本文将两者相结合，由系统同步 化的定义出发，基于稳定性理论，设计出一个非线性控制器，实现了新混沌系统的全局同步 控制，方法简单易掌握，而且实现同步的时间短，是实现混沌同步的有效方法。参考文献1周井玲,沈世德,程海正等.五杆机构的混沌运动J
10、.南通工学院学报.2001, 17(4):27-30 2刘宗华.混沌动力学基础及其应用M.北京:高等教育出版社,2006 3黄润生,黄浩.混沌及其应用M.武汉:武汉大学出版社,2005 4C.格里博格,J.A.约克.杨立,刘巨斌等译.混沌对科学和社会的冲击C.长沙:湖南科学技术出版社,20015T L Carrol, L M Pecora. Synchronization in chaotic systems J. Physics Review Letters, 1990, 64(8):821-824 6Bielawski S, Derozier D, Glorieux P. Controll
11、ing unstable periodic orbits by a delayed continuous feedbackJ. Phy Rev E, 1994, 49(7):632-6367Lu J A. Parameter identification and tracking of unified system J.Chin Phys Lett, 2002, 19(5):632-636 8蔡国梁.一个新的混沌系统的动力学分析和混沌控制J.物理学报.2007, 11(2):6230-6237Study of Synchronization in new chaotic SystemGuo L
12、i-feng, Chu Yan-dong, jiang hao, Liu Kai-mingSchool of Mathematics, Physics and Software Engineer, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou(730070)AbstractThis paper presents the chaotic synchronization in a new chaotic system. A kind of nonlinear controllers are designed to realize the synchronization
13、By means of Lyapunov stability theorem, it isproved that the dynamics of the synchronization error is globally and asymptotically stable. Numerical simulations by Matlab are provided to demonstrate the validity of the proposed nonlinear controller for achieving the chaotic synchronization.Key words: new chaotic system; chaotic synchronization; Lyapunov stability作者简介:郭丽峰(1983- )男，汉，兰州交通大学，混沌控制理论。
