基于向量式有限元的斜拉索振动控制研究.doc

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1、精品论文基于向量式有限元的斜拉索振动控制研究倪秋斌1，段元锋1，高博青1，应祖光2，徐赵东3（1. 浙江大学建筑工程学院，杭州 310058；52. 浙江大学航天航空学院，杭州 310058；3. 东南大学土木工程学院，南京 210096）摘要：在拉索的锚固端附近安装阻尼器可为斜拉索提供附加阻尼，减小斜拉索的横向振动。阻尼器的设计参数决定了阻尼器能为斜拉索提供的附加阻尼比的大小。向量式有限元是进行结构行为分析的一种新方法。10文章采用向量式有限元法，建立斜拉索的数学模型，通过给空间点增加附加作用力来模拟阻尼器对斜拉索 的作用，根据所求得的拉索响应识别系统阻尼比，从而分析了阻尼器的粘滞阻尼系数、

2、阻尼器内刚度、阻 尼器运动部分质量、阻尼器支撑刚度，及斜拉索垂度对附加阻尼比的影响；并将分析结果与统一公式进行 了对比。表明：采用向量式有限元法模拟斜拉索的振动控制具有很好的准确性，阻尼器参数及拉索垂度对附加阻尼比有明显影响，系统存在最优阻尼比。15关键词：斜拉索；阻尼器；模态阻尼比；向量式有限元；振动控制中图分类号：TU 311.4Vibration Control of Stay Cables by Vector Form IntrinsicFinite Element (VFIFE) Method20NI Qiubin1, DUAN Yuanfeng1, GAO Boqing1, Yin

3、g Zuguang2, Xu Zhaodong3(1. College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University, Hangzhou 310058;2. School of Aeronautics and Astronautics, Zhejiang University, Hangzhou 310058;3. School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096)Abstract: Transversely attached damper

4、near the cable/deck anchorage provides supplemental25damping to the stay cable, thus reducing the transverse vibration of the stay cable. The supplemental damping of the system is influenced by the parameters of the cable and the damper. Vector FormIntrinsic Finite Element (VFIFE) is a new method fo

5、r analyzing the behavior of the structure. In thispaper, the mathematic model of a stay cable is established using VFIFE. The effect of the damper is simulated by adding external force to the mass point of the cable. The influence of the above mentioned30parameters such as damper coefficient, damper

6、 stiffness, damper mass, stiffness of damper support, and cable sag to the supplemental damping is studied. The numerical result is compared with the analyticalresult. It is found that applying VFIFE to the simulation of the vibration control of the stay cable could achieves high computation accurac

7、y, and that the parameters of the damper have obvious influence on the supplemental damping, and the optimal supplemental damping exists.35Key words: stay cable; damper; modal damping; VFIFE; vibration control0引言随着斜拉桥跨度的不断增大，作为斜拉桥中主要受力构件之一的斜拉索也越来越长。由 于斜拉索质量轻，柔度大，阻尼小，在风的激励下，会发生强烈的振动，其中最为剧烈的是 风雨振动1,2。

8、桥梁工程中常采用附加机械阻尼器、气动措施和辅助索等方法来控制斜拉索40的振动，其中外加机械阻尼器法最为常用3,4。在斜拉索下部锚固端附近安装外加阻尼器能 够为斜拉索提供附加阻尼比，从而有效控制斜拉索的振动。现有阻尼器设计方法均是通过评 价拉索-阻尼器系统的模态阻尼比进行阻尼器的参数优化5。Pacheco 和 Fujino6运用迦疗金 法，计算了附加理想线性阻尼器的张紧弦的模态阻尼比，得到了通用的阻尼器设计曲线。基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金新教师课题（20090101120058）；国家自然科学基金项目（51178426，90915008，50908202）作者简介：倪秋斌 (198

9、8-),男，硕士研究生，主要研究方向：结构工程通信联系人：段元锋（1977-），男，副教授，主要研究方向：结构健康监测与振动控制；桥梁工程. E-mail:ceyfduan- 14 -Krenk7运用复模态分析方法，在阻尼器安装位置距离斜拉索下部锚固端很近的情况下，采45用数学近似，得到了阻尼器通用优化设计曲线的近似数学解析式。Main8对安装阻尼器后斜 拉索振动频率的变化进行分析，得到了阻尼器通用优化设计曲线的近似数学解析表达式。 Duan9,10考虑了阻尼器内刚度，阻尼器支撑刚度，阻尼器运动部分质量，及斜拉索垂度等因 素，运用复模态法得到了考虑因素更全面、适用范围更为广泛的阻尼器通用优化设

10、计曲线， 并采用数学近似，得到了模态阻尼比的统一公式。50向量式有限元法是一种进行结构行为分析的新方法。它将结构离散为一系列空间点，通 过空间点的运动状态（位置，速度，加速度）来描述结构的运动状态，结构空间点在内力和 外力作用下发生运动11-14。通过求解空间点的运动轨迹来获得结构的变形运动，将结构运动 变形问题转变为空间点的运动问题。本文采用向量式有限元方法，建立斜拉索的数学模型， 通过给空间点增加附加作用力来模拟阻尼器对斜拉索的作用，求得了拉索的运动响应，识别55系统阻尼比，据此，分析了阻尼器粘滞阻尼系数、阻尼器内刚度、阻尼器运动部分质量、阻 尼器支撑刚度及斜拉索垂度对附加阻尼比的影响；并

11、将分析结果与统一公式结果进行了对 比。结果表明，采用向量式有限元法模拟斜拉索的振动控制具有很好的准确性，阻尼器参数 及拉索垂度对附加阻尼比有明显影响，系统存在最优阻尼比。1斜拉索-阻尼器系统k2Olxk1 OyxfMFIke ceksxd60图 1 斜拉索-阻尼器系统Fig.1 Cable-damper system图 1 为一斜拉索-阻尼器模型，l、m 和 EA 分别为拉索两锚固端间距、拉索倾角、拉 索单位长度的质量及拉索的轴向刚度；M 为阻尼器运动部分质量；ke 为阻尼器内刚度；ce65线性粘滞阻尼系数；FI 为磁变阻尼力；ks 为阻尼器支撑刚度。阻尼器安装在距离下部锚固端xd 的位置，拉

12、索两端与刚度为 k1 和 k2 的线性弹簧相连。对于浅索，可忽略重力对拉索轴向 力的影响，拉索轴向拉力为常数 T0。拉索的垂度 f 和垂度参数 215可按式(1)和式(2)计算：mgl 2 cos qf = (1)8T01 1 1 1 T 3= + 0 (2)1 2l2 EA k l k l (mgl cos q)270cD T 0 mIh = Fe定义一组无量纲参数9：线性阻尼系数 hc =，磁变阻尼力 I，阻尼器内刚T0 m 度 uk= ke l T0，阻尼器支撑刚度 us= ks l T0m，阻尼器运动部分质量 rM ( n=w0 ) l2T0D，为阻尼器上下两n部分相对运动速度的幅值，

13、 w0 为不考虑拉索垂度的振动圆频率，可按式(3)计算：w0 = npT0 , n = 1 , 2 , 3 . . .(3)n l m当阻尼器安装位置离下部锚固端很近时，斜拉索-阻尼器系统前几阶模态的附加阻尼比75为9,10：xdnpW 2 (h + h )xn =xdh,l 2 c I lxd 12 Wx,l (4)1 + U+ U + npW(h + h )V2l k , m, sk , m h,l2c I m, s l 其中 Uk,m,s、Uk,m 和 Vm,s 为包含阻尼器参数 uk、us 和 m 的耦合影响因子，可按式(5)、式(6)、 式(7)计算：Uk , m, s= uk 1-

14、 rmxd (5)us l 80U= u - r xd(6)k ,m( k m )l 1 V=1 - rxd + xd xd(7)m, s u m l l l s 2W 2 、W,为考虑了拉索垂度与倾角影响的阻尼系数和附加阻尼比修正因子，对于实际工h lx,l 程中的斜拉索，通常垂度参数 210，此时可按式(8)和式(9)近似计算9,10：1 + 0.035l2W= n = 1, l2 10(8)h,l21n 1, l2 10()1 + 0.11l2 1 + 0.035l2 22 85W =x,l n = 1, l2 10(9)1 n 1, l2 10以上即为考虑了各参数影响的斜拉索-阻尼器系

15、统附加阻尼比的近似计算公式。2向量式有限元的基本概念2.1 结构的空间点描述向量式有限元中，结构被离散为一系列空间点，因此，该方法也被称作为有限质点法9016,17。空间点之间通过结构单元（梁单元，杆单元等）相连接，结构的状态完全通过空间点 的状态来描述，空间点的状态包括空间点的数量，空间点的质量，空间点位置、速度、加速 度，以及空间点的受力状态等。空间点的数目会直接影响向量式有限元求解结构行为时的精度，更多的空间点能够更为 精确地描述结构的状态。空间轴力杆件结构中任意两节点之间的单元性质（单元截面，材料95参数等）沿单元轴为一常数，通常将空间点设在节点所在的位置。 空间点描述中，结构单元不具

16、备质量，结构的质量完全集中于空间点。对于空间轴力杆件结构，可将轴力杆件的质量平均分配到两端的空间点。100105结构的运动变形状态通过空间点的运动状态来模拟。结构中任意一个单元的位置、速度及加速度可利用单元上空间点的位置、速度和加速度，通过函数插值来描述；单元的变形可 利用空间点之间相对位置的变化，通过函数插值来描述。空间点上的作用力包括作用内力和作用外力。作用内力来自于相连空间点，它反映的是 结构内部的受力状态。在得到了单元上空间点的作用内力之后，利用内力插值函数，可得到 单元的内力状态。作用外力包括直接作用在空间点上的外力和间接作用在空间点上的外力， 后者是指作用在单元上的外力经过等效之后

17、作用在空间点上的力。图 2 中，矩形平面桁架采用四个空间点描述，桁架的质量全部集中于空间点，桁架的运 动变形可由四个空间点的位置确定，桁架上的外作用力和杆件内力由空间点上的作用外力和 作用内力描述。空间点作用外力空间点外作用力空间点作用内力1102.2 途径单元图 2 平面桁架的空间点描述Fig.2 Description of the plane truss using space points115120125130空间点在外力和内力的作用下发生运动，向量式有限元求解结构在外界作用下的反应时 程。假设整个分析时间的历程为 t0 t tf，向量式有限元利用一系列时间点 t0, t1, ta,

18、 tb, tf 将总时间划分为一定数量的时间段。如果在时间段 ta t tb 内空间点的运动满足标准的控制 方程，则该时间段称为途径单元11,14。在途径单元内，结构空间点的数目、质量、位移限制 条件以及结构单元的力学性质不变，外界作用保持连续变化；在两个途径单元之间，上述参 数可以发生变化。在分析过程中，通过改变两个途径单元之间上述参数的值，可以考虑结构 的不连续行为，如结构因构件破坏而引起的结构形式的变化，结构构件之间的碰撞，以及冲 击荷载的作用等。在结构分析中，当某个单元的位置发生很大变化时，在求解单元相对于初始形态时的变 形时将遇到困难。向量式有限元利用途径单元，将单元的整个变形运动划

19、分为若干个变形运 动之和，在每个途径单元内，单元只发生有限位移和小变形。因此在求解单元变形时，以途 径单元初始时刻时的构型为参考，能够解决上述问题。2.3 虚拟逆向运动对于同时具有刚体位移和变形位移的结构单元，需要从整体位移中分离出构件的纯变 形，然后计算单元的内力。向量式有限元采用虚拟逆向运动法来得到纯变形。在一个途径单 元内，t 时刻的单元构型经过虚拟的逆向平移和逆向转动，到达一个虚拟的位置，通过比较 虚拟构型和参考构型的变形，得到单元的纯变形11,14。图 3 中 1-2、1a-2a 分别为单元在 t、ta 时刻的位置，1d-2d 为单元经过虚拟运动之后到达的位置，-u1 和- 为逆向平

20、移和逆向转动分 量。通过比较 1a-2a、1d-2d 之间的形状差异，得到单元的纯变形，计算出在虚拟位置处的单 元内力；再经过正向运动，单元回到 1-2 位置，得到实际位置处的单元内力。21(-u )11(-u )2(-q)d2ad1 ,1a图 3 单元的逆向运动135Fig.3 Fictitious reverse motion of the element3空间轴力杆件结构的向量式有限元求解3.1 空间点的运动方程空间轴力杆件结构中，空间点在途径单元内的运动满足标准控制方程，如下：M 0 0 x F f f = d 2 x x dx 0M0 y = F + f + f (10)dt 2y

21、y dy00M z Fzf z fdz式中，x=x, y, zT 为空间点 P 的位置向量，F=Fx Fy FzT 为空间点 P 上的外力向量，包括直M00 140接作用力和间接作用力，f=fxfyfzT 为空间点 P 上的内力向量， 0 M0 为空间点 P 的质量矩阵，M 可按下式计算0 0 MnM = mP + mii =1(11)式中，mp 为连接点自身质量，n 为与空间点 P 相连的单元的数量，mi 为单元分配给空间点 的质量，通常为单元质量的一半，结构的阻尼力满足下式： fdx x 145f = f = -z M =d y (12)d dy dt 式中 为阻尼系数。x = 1n h2

22、3.2 运动方程的求解fdz z向量式有限元采用显式时间积分求解空间点的运动方程11,14，根据中央差分法18，加速 度可表示成如下：150( xn +1 - 2 xn + xn -1 )(13)将式(13)代入运动方程(10)得位移的迭代公式：h2xn +1 = C1M( Fn + fn ) + 2C1 xn - C2 xn -1(14)式中 xn-1 、 xn 、 xn+1 分别为空间点在 (n-1)h 、 nh 、 (n+1)h 时 刻 的 位 置 向 量 ，C = 1 1 + 1 zh ,C = C 1 - 1 zh 1 2 2 1 2 。在途径单元初始时刻，即 n=0 时，式(14)

23、改变为： 155x = x+ h 1-1 zh 2 + f(15)x + h F00 21 0 2 M0 3.3 空间点内力求解在分析计算时，若把每个时间步 tn-1 t tn 看作一个途径单元，在得到 tn 时的空间点位 置之后，可根据下式，得到单元内力：- ( f1) = ( f2 )= ( 2 )+1De e (16)IJ IJIJnn fn -1AEn - n160其中，f1IJ 和 f2IJ 为单元 IJ 两个节点 I、J 处的节点力向量，f2IJ 为单元的轴力，En-1 为 tn-1 时刻 材料的切线弹性模量， De 为途径单元内的轴向应变增量，按下式计算：De = ln - ln

24、 -1000l0l = x - x ,JIn -1n -1n -1l = x J - x I(17)l = x J - x I ,e = 1 ( x J - x I )lnnnnnnn式中，l0、ln-1、ln 分别为 t0、tn-1、tn 时刻单元的长度，en 为 tn 时刻单元的方向向量。 将各单元节点力反向作用在空间点上，再进行集合，即得到了空间点 P 上的内力向量：165fn = -IJIJf1 or 2(18)170175180上式中，IJ 代表与空间点 P 相连的所有单元，当 P 位于 IJ 的起点时，下标取 1，位于终点 时，下标为 2。3.4 程序计算步骤向量式有限元在进行结构

25、分析时的主要步骤如下： 据式(14)或式(15)，由前两步空间点的位置向量 xn-1、xn 得到下一步的位置向量 xn+1； 根据 xn+1，利用式(16)和式(17)，得到该位置处各空间点上作用的内力； 更新位置向量 xn-1、xn，重复步骤和，直到完成分析。 向量式有限元的分析程序中，主要由空间点位置计算和内力计算两个循环构成，对于不同形式的结构单元，不同之处只在于内力计算部分，其余步骤均相同。4斜拉索-阻尼器系统的仿真模拟图 1 中，拉索支座间距 l=18.750 m，倾角 =12.5，拉索抗拉刚度 EA=0.911106 N，单 位长度质量 =0.76 kg/m，拉索初始长度 l0=1

26、8.724 m，k1、k2 均为无穷大。阻尼器安装位置 xd=0.02l，不考虑阻尼器磁变阻尼力，粘滞阻尼力为线性阻尼力。4.1 拉索的找形忽略拉索的抗弯刚度与拉索自身阻尼，采用 151 个等间距的空间点模拟拉索的形态，空 间点编号从上端锚固点向下递增，空间点之间利用平面杆单元相连接。将拉索悬挂于两端支 座，在重力作用下拉索将发生位移与变形，采用向量式有限元法对拉索进行找形分析，找形 结果如图 4。yx31 241854.2 空索前三阶模态振动图 4 拉索模型Fig.4 Model of the cable148151190195在 2 号空间点上施加一幅值为 100 N 的简谐横向力，对拉索

27、进行频率由小到大的扫频激 振。经模拟，拉索分别在 1.4 Hz、2.5 Hz 和 3.8 Hz 处达到前三阶共振。根据考虑斜拉索垂度 的自振频率计算公式9,10得到的前三阶自振频率分别为 1.41 Hz、2.44 Hz 和 3.66 Hz，可见两 者结果符合较好。4.3 拉索的振动与衰减模拟按上述得到的三阶共振频率分别对拉索进行激振，当位移达到规定幅值时，移除外界激 励，同时在 148 号空间点处添加阻尼器作用力，在阻尼力的作用下，拉索的振动将逐渐衰减。 记录下振动衰减时程，采用数字椭圆滤波器和 Hilbert 变换19对衰减信号进行处理，得到系 统的模态阻尼比。5斜拉索-阻尼器系统参数对模态

28、阻尼比的影响5.1 阻尼器阻尼系数的影响uu为简明起见，假设 uk , us , rm 均为 0。当拉索振动达到规定幅值时，对空间点 148 施加阻200尼力，同时撤去激振力，其中阻尼力 Fd= -C， 为空间点 148 的速度。图 5 为前三阶模态附加阻尼比与阻尼系数之间的关系图。由图可见，系统存在最优阻尼系数和最优阻尼比，并且三阶模态的最优阻尼系数各不相同，VFIFE 模拟值与模态阻尼比统 一公式值符合较好。归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.4nd0.3统一公式值 VFIFE模拟值0.20.100 0.2 0.4 0.6 0.8 1归一化阻尼系数 (k = 1/p h nxc/

29、l)d205（a）一阶归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.8nd0.6统一公式值 VFIFE模拟值0.40.200 0.5 1 1.5 2归一化阻尼系数 (k = 1/p h nxc/l)d（b）二阶归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.8nd0.6统一公式值 VFIFE模拟值0.40.200 0.5 1 1.5 2 2.5归一化阻尼系数 (k = 1/p h nxc/l)d210（c）三阶图 5 前三阶模态阻尼比随阻尼系数的变化规律Fig.5 Relationship between the modal damping and the damper coefficient5

30、.2 阻尼器内刚度的影响u - kuu假设 us , rm 为 0，阻尼系数 C=161.3 Ns/m。阻尼力 Fd = -C，u、 为空间点 148215的位移和速度，模拟方法与上述相同。得到前三阶模态附加阻尼比与阻尼器内刚度的关系， 如图 6。归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.2nd0.15统一公式值 VFIFE模拟值0.10.0500 0.5 1 1.5 2 2.5归一化阻尼器刚度 (ukx / l)d（a）一阶归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.5nd0.4统一公式值 VFIFE模拟值0.30.20.100 0.5 1 1.5 2 2.5归一化阻尼器刚度 (ukx

31、 / l)d220（b）二阶归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.60.5nd0.40.30.20.10统一公式值 VFIFE模拟值0 0.5 1 1.5 2 2.5归一化阻尼器刚度 (ukx / l)d225（c）三阶图 6 前三阶模态阻尼比随阻尼器内刚度的变化规律Fig.6 Relationship between the modal damping and the damper stiffness由上图可见，阻尼器内刚度的增大将降低系统所获得的模态阻尼比，随着阻尼器内刚度的变大，内刚度对模态阻尼比的影响将逐渐变小。5.3 阻尼器运动部分质量的影响假设 uk , us 为 0，阻尼

32、系数 C=161.3 Ns/m。当拉索振动达到规定幅值时，对空间点 148施加阻尼力 Fdu= -C，撤去激振力，同时将阻尼器质量添加给空间点 148。230图 7 为前三阶模态附加阻尼比与阻尼器运动部分质量的关系，由图可见，阻尼器运动部 分的质量将增加系统所能获得的附加阻尼比，运动部分质量对一阶模态阻尼比影响较小，对 二阶、三阶模态影响较大。归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.4nd0.3统一公式值 VFIFE模拟值0.20.100 0.02 0.04 0.06 0.08归一化阻尼器质量 (g xm d（a）一阶/ l)归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.8nd0.7统一

33、公式值 VFIFE模拟值0.60.50.40 0.1 0.2 0.3235归一化阻尼器质量 (g xm d（b）二阶/ l)归一化附加阻尼比 (x / (x / l)1.2nd1统一公式值 VFIFE模拟值0.80.60.40 0.2 0.4 0.6 0.8归一化阻尼器质量 (g xm d（c）三阶/ l)240图 7 前三阶模态阻尼比随阻尼器运动部分质量的变化规律Fig.7 Relationship between the modal damping and the damper mass5.4 阻尼器支撑刚度的影响假设 uk , rm 为 0，阻尼系数 C=161.3 Ns/m。此时阻尼器

34、模型如图 8 所示。fKCfu245图 8 考虑支撑刚度的阻尼器模型Fig.8 The damper model including the support stiffnessf f阻尼力与阻尼器位移满足式(19)20：250+ = (19)uK C采用四阶 Runge-Kutta 法求解式(19)，将阻尼力代人空间点 148 的内力计算中。图 9 为前三阶模态附加阻尼比与阻尼器支撑刚度的关系图。阻尼器支撑刚度的减小将降 低系统所获得的阻尼比，其中对一阶模态的影响小于二阶、三阶模态的影响。随着支撑刚度 的逐渐减小，支撑刚度对阻尼比的影响将逐渐变小。归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.

35、4nd0.3统一公式值 VFIFE模拟值0.20.100 1 2 3 4 5归一化阻尼器支撑刚度 (1 / (u xs d/ l)（a）一阶归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.5nd0.4统一公式值 VFIFE模拟值0.30.20.100 1 2 3 4 5归一化阻尼器支撑刚度 (1 / (u xs d/ l)255（b）二阶归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.8nd0.6统一公式值 VFIFE模拟值0.40.200 1 2 3 4 5归一化阻尼器支撑刚度 (1 / (u xs d/ l)260（c）三阶图 9 前三阶模态阻尼比随阻尼器支撑刚度的变化规律Fig.9 Rela

36、tionship between the modal damping and the support stiffness5.5 拉索垂度的影响假设 uk , us , rm 为 0，阻尼系数 C=161.3 Ns/m。图 10 为拉索垂度取不同值时，各阶模态123附加阻尼比的模拟值与阻尼系数的关系图。其中 l2 = 6.578 ，l2 = 4.413 ，l2 = 3.298 。由图可知，拉索垂度对一阶模态附加阻尼比有较大影响，垂度的增大将降低系统所获得的附加阻尼比，最优阻尼系数随着垂度的增大而减小。而对二阶、三阶模态影响则很小。归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.4nd0.3垂度1

37、垂度2 垂度30.20.100 0.2 0.4 0.6 0.8 1265归一化阻尼系数 (k = 1/p h nxc（a）一阶/l)d归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.8nd0.6垂度1 垂度2 垂度30.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1归一化阻尼系数 (k = 1/p h nxc/l)d（b）二阶归一化附加阻尼比 (x / (x / l)0.8nd0.6垂度1 垂度2 垂度30.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1归一化阻尼系数 (k = 1/p h nxc/l)d270（c）三阶图 10 前三阶模态阻尼比随拉索垂度的变化规律Fig.10 Relationship between the modal damping and the sag of the cable2752802852902953003053103153206结论工程应用中，通常采用外加机械阻尼器来进行斜拉索的振动控制。向量式有限元是研究 结构物的运动与变形的一种新方法，本文基于该方法，建立了拉索-阻尼器模型，研究了拉 索-阻尼器系统中参数对系统附加模