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1、精品论文大集合基于小波变换的图像去噪方法曾诚，黄朝兵武汉理工大学信息工程学院，武汉（430070）E-mail：happyzorro摘要：随着网络及计算机在人们生活中的日益普及，图像、音频等多种形式的多媒体文件 极大地丰富了人们的生活。同时人们对于图像的画质要求也在不断提高，于是图像处理就提 到了研究的日程上来。小波变换因其自身所具有的诸多优良特性，越来越多地被应用于图像 去噪领域。其中，小波阈值去噪算法因为原理及实现简单，应用性能良好，近年来受到了国 内外学者的广泛关注。本文讨论基于小波变换的图像去噪方法和实现过程，提出一种新的阈 值函数，该函数具有较其他阈值函数的优越性。同时，该函数克服了
2、硬阈值函数不连续的缺 点，这也体现了新阈值函数的灵活性。实验仿真表明了新阈值函数的可行性和优越性。 关键词：图像去噪，阈值，峰值信噪比中图分类号：TP3911. 引言数字图像处理的发展开始于 20 世纪 60 年代初期，至今已有 40 多年研究历史，其经典 的图像处理方法(算法)有很多。由各种图像传感器得到的数字图像中，一般都含有各种噪声。 这些噪声的形成机理十分复杂，难以用一个统一的数学模型进行描述。但一般可以分为高斯 噪声和非高斯噪声两种类型，非高斯噪声模型研究的分类为 Middleton 模型、多变量模型及 Su 噪声模型、乘性噪声模型和信号相关噪声模型。在大多数图像中都含有这两种噪声，
3、或 以其中的一种噪声为主。当噪声比较严重时，对后续的图像分割、识别、理解等将产生重大 的影响，甚至得到错误的结果，因此必须首先对图像进行滤波去噪处理1。图像去噪作为信号处理和现代通信的重要组成部分,与人们的关系日益密切。近年来, 采 用小波变换进行图像去噪处理已表现出良好的工程应用前景。小波变换的低熵性、多分辨率、 去相关性和选基灵活性等特点, 为它成功应用于该领域提供了天然优势。它具有多分辨率的 特点, 可以方便地从混有强噪声的信号中提取原始信号, 被誉为分析信号的显微镜。2. 基于小波变换的图像去噪方法一般地，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表 现为高频信
4、号。所以去噪过程主要进行以下处理：首先对原始信号进行小波分解，则噪声部 分通常包含在高频系数中；然后对小波分解的高频系数以门限阈值等形式进行处理，去除噪 声，保留信号细节；最后再对信号重构即可达到去噪的目的。对信号去噪实质上是抑制信号 中的无用部分，恢复信号中有用部分的过程2-3。设一个含噪声的一维信号的模型可以表示成如下形式：s(i)=f(i)+e(i)，i=0，1，n-1 其中，f(i)为真实信号，e(i)为噪声，s(i)为含噪声的信号。小波能够去噪主要由于小波变换具 有如下特点：（1）低熵性：小波系数的稀疏分布，使图像处理后的熵降低。（2）多分辨特性：由于采用了多分辨的方法，所以可以非常
5、好地刻画信号的非平稳性， 如突变和断点等，可以在不同分辨率下根据信号和噪声的分布来去除噪声。（3）去相关性：小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域-7-比时域更利于去噪。（4）基函数选择更灵活：小波变换可以灵活选择基函数，也可以根据信号特点和去噪 要求选择多带小波、小波包等，对不同的场合，可以选择不同的小波基函数。小波分析进行图像信号去噪主要有3个步骤： (1) 图像信号的小波分解 应当选择合适的小波和恰当的分解层次（记为N），然后对待分析的图像信号进行N层分解计算。(2) 对分解后的高频系数进行阈值量化 对于分解的每一层，选择一个恰当的阈值，并对该层高频系数按照阈值函数
6、进行处理。 (3) 小波的重构图像信号 根据小波分解后的第N层近似（低频系数）和经过阈值处理后的各层细节（高频系数）来计算图像信号的小波重构。3. 基于小波变换的阈值去噪算法3.1 小波阈值去噪算法小波变换能将信号的能量集中到少数小波系数上，而白噪声在任何正交基上的变换仍然 是白噪声，并且有着相同的幅度。相对而言，信号的小波系数值必然大于那些能量分散且幅 值较小的噪声的小波系数值。选择一个合适的阈值，对小波系数进行阈值处理，就可以达到 去除噪声而保留有用信号的目的。1994年，D.L.Donoho和I.M.Johnstone 在小波变换的基础上提出了小波阈值去噪的概念 4，此后该方法在去噪方面
7、得到了广泛的应用。阈值函数关系着重构信号的连续性和精度， 对小波去噪的效果有很大影响。目前，阈值的选择主要分硬阈值和软阈值两种处理方式。其 中，软阈值处理是将信号的绝对值与阈值进行比较，当数据的绝对值小于或等于阈值时，令 其为零；大于阈值的数据点则向零收缩，变为该点值与阈值之差。而硬阈值处理是将信号的 绝对值与阈值进行比较，小于或等于阈值的点变为零，大于阈值的点不变。但硬阈值函数的 不连续性使去噪后的信号仍然含有明显的噪声；采用软阈值方法虽然连续性好，但估计小波 系数与含噪信号的小波系数之间存在恒定的偏差，当噪声信号很不规则时显得过于光滑。$Donoho提出的小波阈值去噪方法的基本思想是当 w
8、 j ,k 小于某个临界阈值时，认为这时$的小波系数主要是由噪声引起的，予以舍弃。当 w j ,k 大于这个临界阈值时，认为这时的小$波系数主要是由信号引起，那么就把这一部分的 w j ,k 直接保留下来（硬阈值方法），或者按某一个固定量向零收缩（软阈值方法），然后用新的小波系数进行小波重构得到去噪后的 信号。此方法可通过以下三个步骤实现：$ 先对含噪声信号 f (t ) 做小波变换,得到一组小波分解系数 w j ,k ；$ 通过对分解得到的小波系数 w j ,k 进行阈值处理,得出估计小波系数 w j ,k ,使得$w j ,k - u j ,k 尽可能的小( u j ,k 为不含噪声信号的
9、小波变换系数)；$ 利用估计小波系数 w j ,k 进行小波重构,得到估计信号 f (t ) ,即为去噪之后的信号。硬阈值函数为：W j,k , W j,k W j,k软阈值函数为：= 0,W j,k (1) sgn( W j,k )( W j,k ), W j,k =W j,k 0, W j,k 0sgn(n) =1, n0(3)硬阈值函数和软阈值函数是较常见两种小波系数估计方法，但是它们都具有各自的缺点。硬阈值算法是将绝对值大于阈值的小波系数不加任何处理给予保留，而将绝对值小于阈 值的小波系数变成零。这种算法的阈值函数虽然会有较好的去噪效果，但由于其阈值函数是 不连续的，会在含有丰富边缘图
10、像中会产生许多“人为的”噪声点，从而导致图像出现振铃、 伪 GibbS 效应等视觉失真现象。软阈值算法是在处理绝对值大于阈值的小波系数不是完全保留而是作收缩处理，即减小 这些系数。由于软阈值函数是一个连续函数，它对小波系数的处理要相对平滑一些，较好地克服了硬阈值算法中数学上不易处理和在含有丰富边缘图像中会产生许多“人为的”噪声这两个缺点。而这种算法减小绝对值大的小波系数，造成了一定的高频信息损失，其结果导致 了图像的边缘模糊，势必也会给重构信号带来不可避免的误差。3.2 阈值函数的改进上述两种函数（软阈值和硬阈值函数）虽然在实际中得到了广泛的应用，但是本身存在 着缺点。硬阈值函数在阈值点处是不
11、连续的，对软阈值函数来说，原系数和分解得到的小波 系数总存在着恒定的偏差，这将影响重构的精度。同时这两种函数不能表达出分解后系数的 能量分布，所以在具体的应用中不便于进行预处理，从而限制了它的进一步应用。因此，寻 找一种新的阈值函数，使它既能实现阈值函数的功能，又具有高阶导数，同时可以体现出分 解后系数的能量分布，将是我们的目标。崔华5等人构造了一种不同的阈值函数用来对信号进行去噪处理。通过对阈值函数的分 析，并且利用指数函数高阶可导的特点，我们提出一种新的阈值函数如下： sgn( x) x , x exp(m( x ) f ( x) = 0,x 时有高阶导函数。当 m=0 时，该式可以看作是
12、 软阈值函数，当 m 时可以看作硬阈值函数。所以，该函数是现有软、硬阈值函数的一种推广，通过调整参数，可以克服硬阈值函数不连续和软阈值函数有偏差的缺点，同时具有能量自适应性。该函数不仅在小波域内是连续的，而且在| x | 时有高阶导函数。考察函数： f ( x) = sgn( x) x exp(m( x ) x 当 x0 时，f ( x) =exp(m(| x | ) = 1 ，此时有 limf ( x)= 1 。xxx exp(m( x )x+ xx +f ( x)exp(m(| x | )f ( x)当 x0 时，= 1 +xxx exp(m( x )，此时有 limx+ x= 1 。同时
13、， lim( f ( x) x) = lim(sgn( x)() = 0xxexp(m(| x | )当 x 增大时， f ( x) 不断逼近 x ,即是说 f ( x) 是以 y=x 为渐近线的,这就克服了软阈值函数中小波系数估计和原系数之间的具有固定偏差的缺点。同时，当阈值很小时，新阈值函数 的效果和硬阈值函数相当，但更加灵活。考察正数 m 的取值对阈值函数的影响：lim f ( x) =mlim sgn( x)( x m+exp(m( x ) = xlim f ( x) = limsgn( x) x = sgn( x)( x )m0m0exp(m( x )以上两式说明，当 m 取值很小时
14、，新阈值函数趋同于软阈值函数；当 m 取值很大时， 新阈值函数趋近于硬阈值函数。因此，通过调节 m 取值可以改变新阈值函数的趋向，也体 现了新阈值函数的灵活性。3.3 实验结果及分析下面在 Matlab 的环境下分别用硬阈值、软阈值、新阈值这 3 种阈值函数对图象进行去 噪处理。原图像为 512512 的标准灰度图像 Lena，显示于图 1，加噪声之后的图像为图 2， 处理后的图像为图 3-图 5。对图 1 加入方差为 1025 的高斯白噪声，得到含噪图像，选用小 波基 sym4 小波，对含噪图像进行小波分解，分解层数为 4。阈值的选择采用的是 Donoho的统一阈值： = 比较。2 ln N
15、 。表 1 是新阈值函数与原有软、硬阈值函数去噪结果的 PNSR图 1 原图 Lena图 2 含噪声图像图 3 硬阈值去噪噪结果图图 4 软阈值去噪结果图图 5 新阈值函数去噪结果图根据处理后的数据，分析结果如表 1 显示：表 1 各种方法的峰值信噪比（PSNR）Lena = 10 = 15 = 20 = 25PSNRPSNRPSNRPSNR加噪图象25.4623.8422.1420.38硬阈值函数29.2327.8426.7925.65软阈值函数28.3627.6126.6323.62新阈值函数30.4628.3227.5726.32从图 3 到图 5 可以看出硬阈值方法处理后的图像仍保留了
16、明显的噪声信号，软阈值方法处理后的图像画面柔合,但边缘模糊,特别是在噪声方差较大时已很不清晰，而新阈值函数的 方法达到了较好的视觉效果。同时从表 1 看出，新阈值函数的去噪效果比硬阈值和软阈值具有明显的优势。在相同的 噪声方差下，可以看到新阈值函数求得的 PSNR 值要大于硬函数和软函数的值，说明使用了新阈值函数，得到的噪声变小，达到我们通过改进阈值函数去噪的目的。而随着噪声方差的降低，新阈值函数的 PSNR 值明显变大，改进的效果越明显。4总结本文主要讨论基于小波的图像去噪技术，介绍了一些基本小波图像去噪算法，提出了一 种新阈值函数算法，实验仿真表明，本文构造的新阈值函数有很好的去噪效果，新
17、阈值函数 是软、硬阈值函数的改进，综合了二者在去噪方面的优点，改正了二者去噪过程中存在的缺 陷。参考文献1胡昌华，张军波，夏军，张伟基于 MATLAB 的系统分析与设计小波分析M西安：西安电子科技 大学出版社，20042刘贵忠，邸双亮小波分析及其应用M西安:西安电子科技大学出版社，20023秦前清，杨宗凯.实用小波分析M.西安：西安电子科技大学出版社，20064Donoho D L,Johnstone I M. Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkageJ, Biometrika, 1994,81(3):425-455. 5崔华,宋国乡.基于小波
18、阈值去噪方法的一种改进方案J.现代电子技术, 2005, 28(1): 8-10.A Method of Image Denoising Based on WaveletTransformationZeng Cheng，HuangChaoBingSchool of Information Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan Hubei (430070)AbstractWith internet and computer are used more and more today, the multimedia just like
19、audio, videoetc .enriches human life a lot .Meanwhile, the requirement of image quality is raising day by day. Therefore, it is necessary to do some research on image processing. Wavelet image denoising has been well acknowledged as an important image denoising method for its splendid characteristic
20、s. Especially wavelet thresholding denoising method because of its simple principle and excellent performance, researchers have paid much more attention to it in the recent years. In this paper, the methods and process of image denoising based on wavelet were discussed. A new threshold function was
21、presented. The new threshold function had more advantage than other threshold functions. At the same time ,this new function overcomes the shortcoming of the hard-threshold method with discontinuous function . which can illuminate the elasticity of the new function .The simulation result indicates that the new threshold function is feasible and effective.Keywords: image denoising; threshold ;peak signal to noise ratio
