哥德巴赫拆分数的下界及其谱带结构 1.doc

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1、精品论文推荐哥德巴赫拆分数的下界及其谱带结构 1陈惟昌 1，陈志义 2，陈志华 1，王自强 11 中日友好临床医学研究所，北京 (100029)2 中国科学院自动化研究所国家模式识别实验室，北京 (100080)E-mail：chenweic，zychen63摘要：目的：推导出哥德巴赫拆分数递增的下界以确证哥德巴赫猜想成立。研究哥德巴赫 拆分数谱带结构的成因。方法：应用对偶筛法对偶数的全拆分数进行筛除，得到哥德巴赫拆分数的计算公式。应用因子类型分析方法推导出哥德巴赫彗星的底层数带、下界及哥德巴赫 彩虹。结果：推导出哥德巴赫拆分数不小于 1 的和递增的下界和次下界以确证哥德巴赫猜想成立。作出哥德

2、巴赫拆分数的谱图（哥德巴赫彩虹）。结论：1.不小于 6 的偶数均可分解为 两个素数之和。2.偶数趋于无穷大时，其哥德巴赫拆分数亦趋于无穷大。3.哥德巴赫拆分数与其因子类型密切相关。 关键词：哥德巴赫猜想，哥德巴赫拆分数，下界，对偶筛法，哥德巴赫彩虹中图分类号：0156.11. 引言1742 年（乾隆七年），德国数学家哥德巴赫写信给大数学家欧拉，提出每个不小于 6 的偶数都是两个素数之和。欧拉回信表示，相信这一猜想是正确的，但他无法加以证明。这 就是著名的哥德巴赫猜想问题(Goldbach conjecture)1。1966 年，中国数学家陈景润证明了偶数可表示为一个素数和两个素数乘积之和。他的

3、 研究成果，在解决哥德巴赫猜想问题上处于世界领先地位，他的成就至今仍无人能超过2。2002 年，Herkommer 在互联网上发表了用电子计算机对 100,000 以内偶数的哥德巴赫拆分数的计算结果。他发现哥德巴赫拆分数的分布呈头小尾大的扫帚形状，称为哥德巴赫彗 星(Goldbach comet)3。哥德巴赫彗星有比较明显而密集的下缘。且随着 x 的增大，哥德巴赫 彗星的下缘有逐渐增大的趋势。因此若能求得哥德巴赫彗星的不小于 1 的和递增的下界，则 哥德巴赫猜想问题 将会得到证明。本文提出 x 的全拆分数(complete partition numbers) Cp(x)和哥德巴赫拆分数(Go

4、ldbach- 23 -partition number) Gp(x)的概念。设 x 为偶数，x = 2n,n 3 。若 x = pi + pj ，2 i j，pi , pj均为素数，i, j 为素数的序号，则 (pi ；pj) 为一个哥德巴赫拆分对。Gp(x)为 x 全部哥德巴赫 拆分对的总数。应用对偶筛法(dual sieve method)对 Cp(x)进行筛选，得出计算 Gp(x)的公式， 并求出 Gp(x)的不小于 1 和递增的下界 Lp(s)及次下界 SLp(s)，从而表明哥德巴赫猜想成立。2. 全拆分数的概念任意一个不小于 2 的自然数，均可按下列规则，拆分成基本拆分对(a；b)

5、：1；x1； x ；x x 。22 x 为 x 的整数部分。在基本拆分对(a；b)中，a 称为基本拆分对的前位数，b 称为拆分对221 本课题得到国家自然科学基金(60171040)的资助。的后位数。x 的全部基本拆分对的数目，称为 x 的全拆分数，记为 CP (x)。显然 CP (2n) = n，CP (2n+1) = n。对 x = 2n 而言，设(i；x i)为 x 的第 i 个基本拆分对，若 2 | i ，则亦有 2 | 2n i； 若 2 i，则亦有 2 2n i。亦即 CP (2n)可拆分为偶数与偶数和奇数与奇数两类基本拆分对， 称为匹配拆分(match partition)。此时

6、若用 p1 = 2 对 CP (2n)筛分时，则只将全部偶数组合的拆 分对筛除，而将全部奇数组合的拆分对留下，称为匹配筛除或对位筛除(match sieve out)。但 若 x 为奇数，x = 2n + 1 时，其相应拆分对全部是奇数与偶数组成的拆分对，称为对 p1 = 2 的错位拆分或失配拆分(mismatch partition)。此时若用 p1 = 2 对 CP (2n+1)进行筛分时，即将 含有因子 2 的合数的拆分对全部筛除。这一筛法称为失配筛除或错位筛除(mismatch sieve out)。匹配筛除与失配筛除合称为对偶筛法(dual sieve method)。3. 素数的序

7、乘与原素数素数序乘 (sequential factorial 或简称 sequorial) 的定义。定义 pn(!) = p1 p2 pn1 pn(3.1)以及 p0(!) = 1 (3.2)p0 = 1 称为原素数 (proprimer)，而 p1 = 2，p2 = 3， 等真正的素数称为真素数 pi(euprimers)，i = 1，2，3，。1参考e = 1 +1!11+ = 2.71828，可有2!1 p = 1 +p1 (!)p2 (!)+ = 1.70522， (3.3) p 收敛于定值，称为素数常数(prime constant)。4. 埃拉托色尼筛法及其近似算法4.1 埃拉托

8、色尼筛法简介2000 多年前，古希腊数学家埃拉托色尼(Eratosthenes，约 274BC194BC)首先创立寻找 素数的最简明有效的方法，称为埃拉托色尼筛法(Eratosthenes sieve method)。他提出，100 以 内的合数，一定能被 10 以内的 4 个素数：p1 = 2，p2 = 3，p3 = 5，p4 = 7 所整除。因此应用 这 4 个素数作为筛子 (筛素数，sieve primes)，对 100 中的合数陆续全部地进行筛除 (sieve out)，即可找出 100 以内的所有素数，记为 (100)。(100) = 25。即 100 以内共有 25 个素数， 其中

9、 p25 = 97 是 100 中的最大素数，记为 pm，m = 25。在 100 以内共有 4 个筛素数，其中 p4= 7 是 100 的最大筛素数，记为 ps，s = 4，100 中还有 d = m s 个独立素数 (independentprimes)，d = 21，即在 100 中没有这 21 个 (p5，p6，p25) 独立素数的合数存在。4.2(100)的计算方法4.2.1 不大于 x 中能被 pi 整除的数的个数的计算方法埃拉托色尼筛法的关键是计算 x 中全部合数的个数并将其逐一进行筛除。在计算合数个 数之前，需要引入 x 中能被 pi 整除的数的个数这一概念。x 中能被 pi

10、整除的数的个数，记为 N(x:| pi)，可有N x：p x (4.1) =(i pi x 中除去能被 pi 整除的数之后，筛余下 (sieve in) 的就是 x 中不能被 pi 整除的数，其数*目记为 N(x:| pi )，* x N(x:| pi) = x N(x:| pi ) = x (4.2) pi x 1 定义 x = x 1 (4.3) pi pi 1 1 1 和 不同， 代表 x 乘入后再取整的运算方式。 pi pi pi 4.2.2(100)的埃拉托色尼筛法依次用 p1，p2，p3，p4 对 x = 100 进行筛除。(1). 首先用 p1 = 2 对 100 进行筛除。10

11、0 中能被 2 整除的数的数目是：100 N(100:| 2 ) =2= 50 = Tp1(100) (4.4)p1 = 2 对 100 筛除后余下的是不能被 2 整除的数的数目，记为 Rp1(100),Rp1(100) = 100 Tp1(100) = N(100:| p1* ) = 50 (4.5) = 1 Rp1(100) = 100 1 p (4.6)1 (2). 再用 p2 = 3 对 Rp1(100)进行筛除。100 在 100 中能被 3 整除的数的数目有3= 33 个。即 N(100: | p2) = 33。但在这 33 个100 数中，还包括那些能被 2 和 3 同时整除的数

12、，这些数共有6= 16 个，所以用 p2 对 Rp1(100)进行筛除时只能筛去在100 中那些只能被 3 整除而不能被 2 整除的数，记作 Tp2(100), 1 1 100 100 Tp2(100) =36= 100 p p p (4.7) *2 12 Tp2(100)记作 N(100: | p1p2 ), 即 100 中不能被 p1 整除但能被 p2 整除的数的个数。因此用 p2 对 Rp1(100)筛余下的是既不能被 p1 整除亦不能被 p2 整除的数的个数，记为Rp2(100)。定义 4.1因式相乘逐项展开求整算符 “” 的定义 定义： = 1 = 1 x x xx D 1 p D

13、1 p = x p p + p p (4.8)1 2 1 2 1 2 以及定义：1 1 1 x D 1 D 1 D D 1 p1 p2 ps 1 = x D 1 (!) ps x x x= x + + ( 1)s (4.9)1 i s pi 1 i j spi p j = 1 p1 p2 ps 在上式中， “” 代表按 二项式中的 1 等因式相乘 后再逐项展 开求 整 pi 2p1p2(developed term by term to make integers) 算法的符号，以示和一般的乘法符号 “ ” 相区别。Rp2(100) = N(100: | p1*p *) = R (100) T

14、 (100)1 1 =100 D 1 p D 1 p 1 2 100 100 100 = 100 p p + p p 1 2 1 2 = 100 50 33 + 16 = 33 (4.10)(3). 陆续用 p3 对 Rp2(100)筛除，消去 Tp3(100)，筛余下 Rp3(100)，以及用 p4 对 Rp3(100)筛除， 消去 Tp4(100)，筛余下 Rp4(100)，1 1 1 1 Rp4(100) =100 D 1 p D 1 p D 1 p D 1 p 1 2 3 4 1 = 100 D 1 p (!) (4.11)4 对上式进行展开求整：R100= 100 100 100 1

15、00 100 100 100 100 p 4 () + + + 2 3 5 7 2 3 2 5 2 7 100 + 3 5 100 + 3 7 100 + 5 7 1002 3 5 1002 3 7 1002 5 7 1003 5 7 + 1002 3 5 7 = 100 50 33 20 14 + 16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2 3 2 1 0 + 0= 22 (4.12)Rp4(100) = 22，这 22 个数中包括 p0 = 1，以及 p5，p6， p25 共 21 个独立素数，相应的Tpi(100)及 Rpi(100)如下表：表 1 Tpi(100)及 Rpi(100

16、)表pip1p2p3p4Tpi501774Rpi503326224.2.3(x)的埃拉托色尼筛法s+1根据上述推而广之，对任意自然数 x，ps2 x A, B, C 0，则 A+ B C 0，考虑极端情况，设A = B = 0 ，以及 1 C 0 时，则 A+ B C = C = 0 ，而当 A+ B C 1时，则有A+ B C = 1 0 。故此可证：A+ B C 0(4.22)式（4.22）称为小数和差定理。(3). 求证： = 1 =1 = 1 =1 x x 1 1 x D 1 D 1 = x pi pi +1 pi pi +1 pi x x + pi +1 x pi pi +1 设 x

17、 x ，则 pi 1 1 x =1 x x 1 1 = x 1 = x pi pi +1 pi pi +1 pi +1 x xx = x + pi pi +1 pi +1 x x1 x x = x + + pi pi +1pi +1 pi pi +1 x x x x 1 x x = x + + + pi pi +1 pi +1 pi pi +1 pi +1 pi pi +1 x x x 1 x x x = x + + + pi pi +1 pi pi +1 pi +1 pi pi +1 pi +1 根据“小数和差定理”可得： 1 1 1 1 x 1 1 x D 1 D 1 (4.23) pi

18、pi +1 pi pi +1 应用递推法可得：1 1 x 1 (!) x D 1 (!) (4.24) ps ps 即 RpsA1(x) RpsA2(x)。(4). 再求证： x x x xxxx + x + pi 由于 pi +1 pi pi +1 pipi +1pi pi +1 xxx x x x x + = x + pipi +1pi pi +1 pi pi +1 pi pi +1 x x x + 根据“小数和差定理”可得： pi pi +1 pi pi +1 = 1 =1 1 1 x D 1 D 1 x 1 1 (4.25) pi pi +1 pi pi +1 应用递推法可得： x D

19、 1 1 (!) x 1 1 (!) (4.26) ps ps 即 RpsA2(x) RpsA3(x)。A1A2(x) RA3(x)。故有：Rps(x) Rpsps4.3埃拉托色尼筛法近似算法的误差估计ps4.3.1R A1(x)与 RpsA3(x)算法的误差范围A3A1上面已经提到 Rps(x)的真值位于 RpsA1(x)与 Rps(x)之间，故此可以通过确定 Rps(x)与 RpsA3(x)的误差范围即可对埃拉托色尼筛法近似算法的误差作出估计。x x x由于=+(4.27) pi pi p x 是 x x 的整数部分，是x 的小数部分， pi pi x pi pi0 1 (4.28) pi

20、 = 1 1 x 1 x 1 pi x x pi x x = x x + + = 1 (4.29) pi pi pi pi x 即 RpiA1(x)与 RpiA3(x)在作一次的乘入运算时，相差为小数部分 1，作 s 次乘入运算之后二者之差 s，亦即： pi pspsR A1(x) = RA3(x) + O(s) (4.30)4.3.2Rps(x)近似算法的误差估计A1A3以( RpsA1(x) + RpsA3(x)2作为 Rps(x)的近似值其误差应小于 Rps差范围。故 Rps(x)的真值误差可以用下式近似表示：A3(x)与 Rps(x)的误| Rps(x) ( RpsA1(x) + Rps(x)2| = O(s) (4.31)5. 全拆分数的对偶筛法5.1 数 x 的因子类型 (factotype)求哥德巴赫拆分数 Gp(x)的方法，首先是对偶数 x = 2n 进行基本拆分，得到 n 个基本拆 分对，称为全拆分数 Cp(x) = n，然后陆续去除 n 个拆分对中 p1， p2， ps 的合数，再减去 (1；2n 1)这一由 p0 组成的基本拆分对，筛余下的就是由素数组成的基本拆分对，符合哥德巴赫 拆分对的要求。由于 Cp(x)是一个二维数组(i；2n i)，i n，用 p1，p2， ps 进行筛除时， 过程比较