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1、随机缺陷网壳结构的几何非线性分析黄斌，樊亭 武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉（430070） E-mail：biwhuang摘要：单层网壳作为缺陷敏感性结构，其极限承载力常因为非常小的几何位置的偏差而大 大降低，实际结构的承载力远达不到按理想情形的分析结果。本文结合非线性有限元分析和 概率论方法，对带随机初始缺陷的网壳结构进行分析，最后和一致缺陷模态法比较，得出了 一些对实际工程有意义的结论。 关键词：随机缺陷；几何非线性；随机缺陷模态法；一致缺陷模态法实际的网壳结构不可避免地具有各种初始缺陷，包括杆件的初弯曲、对节点的初偏心、 节点的位置偏差和残余应力等。缺陷可以分为两类:第一类为节点缺
2、陷，是指在实际结构中， 节点约束是弹性约束而非理想的无摩擦铰，从而引起力不通过刚心而形成偏心荷载，影响结 构的刚度和最大承载力;第二类为几何缺陷，指部分(或全部)结构与原设计有偏差，将改变网 壳的初始几何形状从而大大影响网壳的屈曲行为。研究指出，将模拟缺陷结构的屈曲荷载与 原理想结构相比，第二类缺陷的变化更为敏感，而第一类缺陷对其影响不大。缺陷分析的典型方法有:一致缺陷模态法和随机缺陷模态法 1 4 。本文将应用有限元软件，利用几何非线 性有限元理论，借助弧长法，对六角网壳进行了几何非线性全过程跟踪计算。然后引入随机 缺陷模式，得到带随机安装缺陷六角穹顶结构的极限承载力概率分布，并与一致缺陷模
3、态法 得到的结果进行比较。1. 几何非线性全过程分析几何非线性分析方法主要有基于梁柱理论并引入稳定函数的矩阵位移法和非线性有限 单元法。但是对于非线性问题通常不能一步直接求解，需要分解成若干个载荷步，按各个阶 段不同的非线性性质逐步求解，即采用增量荷载求解。此方法可解决某些非线性解的发散问 题，提高解的精度。其实质是把一个非常组合的非线性加载过程分解为若干个线性的荷载步， 然后逐段求解。为了求得 t+t 时刻的平衡状态方程，可采用两种表达方法：一种是以 t=0 时刻状态为度量基准的完全拉格朗日描述方法，经过线性化处理后的增量 形式的完全拉格朗日公式为：TT tT- 10 - ( L )D L
4、dv + ( LN ) dv = ( u)XdvvvvTT t（1）+ ( u)X ds ( L ) dvsv另一种是以 t=t 时刻状态为度量基准的修正拉格朗日描述方法，经过线性化处理后的修 正拉格朗日公式为tTttT tT ( L )D L dv + ( LN ) dv = ( u)Xdvavvv（2）T+ ( u)T tLX ds ( t ) dvsv对于本文中的网壳结构，即使采用了合理的计算方法，如果一些计算参数不能很好选择 并灵活处理，计算仍然可能难于收敛。总结计算实践中取得的经验，采取了两条措施：一是 提出了变步长的增量计算方法，每步的步长是根据前一步计算中所需的迭代次数来调整的，
5、在结构接近线性变化时计算容易收敛，所需迭代次数少，下一步计算中步长就会自动增大：反之，在临界点附近收敛比较慢的区域，步长会自动变小，计算点迅速加密；用这种办法可 保证高效地完成平衡路径的跟踪过程。二是采用能量准则判断迭代是否收敛，并且对收敛值 给予严格控制，以减小计算累积误差，防止在临界点附近迭代发散。在路径跟踪过程中，利 用切线刚度矩阵的正定性来判断结构的稳定性能，并制定了判别临界点性质(是极限点还是 分枝点)的准则 6 。2. 六角穹顶结构型式单元六角星型穹顶。结构形状、各杆件尺寸如图所示。用通用有限元元件 ANSYS 对该结构 作为桁架体系进行受力分析，在顶铰处作用有竖向荷载 P。杆件截
6、面积 A=0.000317m2，弹 性模量 E=3030MPa。图 1 单元六角星型穹顶3. 有限元建模并进行非线性全过程分析3.1 特征值屈曲分析首先对该网壳进行特征值(线性)屈曲分析。特征值屈曲分析用于预测一个理想弹性结构 的理论屈曲强度，可以初步确网壳结构稳定临界承载力的理论值(第一个特征值)，并得到其 前几阶的屈曲模态，尤其是第一阶屈曲模态更加重要(图 2)，它可在“一致缺陷模态法”中用 来模拟网壳结构的初始缺陷分布。特征值可由如下计算公式中的载荷因子或比例因子得到：( K + S ) = 0其中： K 刚度矩阵S 应力刚度矩阵 位移特征矢量 特征值，即荷载因子（4.1）(a)1 阶屈
7、曲模态图(b) 2 阶屈曲模态图( c) 3 阶屈曲模态图图 2 网壳的各阶模态图其中应力刚度矩阵S可以加强或减弱结构的刚度K，当刚度应力为压应力时，弱化效 应增强，到达某个载荷时，弱化效应超过结构的固有刚度，理论上讲，此时的结构已无净刚 度，结构位移可无限增加，结构发生屈曲，特征值公式中的 表示给定载荷的比例因子。3.2 无安装缺陷结构的极限承载力在无缺陷的情况下，得到此网壳结构的极限承载力为 0.615KN。图 3 无缺陷情况下的节点 7 的荷载位移曲线图4. 随机缺陷模态法41 随机缺陷模态法的确定图 4 放大 10 倍的变形图结构的初始安装误差受各种因素的影响，其大小及分布形式无法事先
8、预测，因此和理想的结构设计模型相比，结构的安装误差是随机的。从概率统计观点来看，无论结构的缺陷分布如何复杂，每个结点的实际安装位置与理论计算位置越接近，其可能性越大。如果用正态随机变量模拟每个结点的安装误差，结构的初始安装缺陷可用一个多维随机变量来描述，其 样本空间的每一个样本点都对应着结构的一种缺陷模态。上面六角穹顶的图中，最外面六个节点的安装没有误差，主要是结点 1 到结点 7 的安装 出现偏差导致承载力的变化，在计算中以二倍的均方差作为结点误差的最大值。假定实际工 程中每个节点在坐标轴三个方向的坐标偏差，那么此结构总共有 21 个随机量，且假设最大 允许安装误差为+R，则每个结点的误差随
9、机变量为 RX/2，其中随机变量的 X 服从标准正态 分布，误差随机变量的取值范围是-R，R。考虑缺陷的随机建模，结构的缺陷模态将有无 限多种，我们不可能去研究每一种缺陷模态下的极限荷载，本文应用有限元通用程序 ANSYS，结合概率方法，对大致满足正态分布的 1000 种缺陷模态进行了几何非线性计算， 得到六角穹顶结构的临界荷载的统计结果。42 程序实现显然在工程设计时，随机缺陷方法能够较为真实地反映实际结构的工作性能。与确定性 方法相比比较科学，所求得的临界荷载结果更能客观地反映所设计结构的情况，但由于需对 不同缺陷分布进行多次的非线性计算，计算工作量比较大，这是随机缺陷法应用的最大障碍。
10、但进一步分析，不同样本的非线性分析计算是相似的，它们的荷载条件、支座约束、求解方 式、收敛准则等均相同或相似，因此我们完全可以开发相应的程序。让程序产生随机数以模 拟结点的位置偏差，生成那个初始缺陷分布模式，按次序循环往复地将各个初始缺陷分布叠 加到原结构上，非线性分析以求得各样木的临界荷载，这样就可以将人的工作转化为计算机 的工作，从而大大减少人的工作，这是本文随机缺陷法的指导思想和方向。本文所有的有限元计算都是在 ANSYS 上完成，ANSY S 强大的一次开发功能为程序的 编制提供了方便 ANSY S 参数化设计语言 APD1(ANSYSParametric Design Languag
11、e)为程序 的实现提供了平台和工具。程序流程图见图 7。图 5 程序流程图下面就采用随机缺陷模态法对上图中六角穹顶进行缺陷分析，模型的最大节点误差在水平方向跟竖向均为 0.0003m。结构的边界为铰支座。结构承受节点 7 上的集中荷载。利用 ANSY S 的参数化设计语言 APD1，对随机变量按照概率分布进行抽样，实现变量的扰动。 然后对结构进行非线性屈曲分析，得到网壳结构的屈曲临界荷载。重复这样的过程进行 M（M 为抽样次数）次，即可以求出屈曲临界荷载的经验分布函数。这样，我们就可以根据 可靠性指标确定网壳结构极限承载力的设计值。表 1 随机缺陷分布网壳临界荷载（KN）0.4289610.4
12、012460.3940920.4247470.3949860.3949860.4261660.4755790.4151160.3891590.4315620.4400660.3807270.4363940.4396750.4187990.4447560.4293550.4443870.4008020.3715630.3850040.3893910.4006060.3874120.4254790.3853650.3922370.3979160.4099140.4299090.3876830.3992370.4212750.4428730.3948360.3807320.4450080.38363
13、90.3995680.419080.4607150.4029350.3939630.4184710.4365230.3822910.433560.3930550.4052110.3999190.4470020.3859130.3923690.4545770.3890750.4003320.4116110.4104590.3797760.4550280.3843240.4356090.374250.4077230.4287720.3799390.4443030.395530.3949610.4022940.4042670.3891960.3844260.4324920.4121080.38765
14、70.4009710.3828940.3795220.4066590.4305760.4171660.4470.3931260.4071030.3958610.4430850.396540.3947810.3853620.3942360.4382320.4115880.3978810.3871580.3699610.4299690.4181090.4340310.3998630.4036490.4094890.3944660.4246130.3906430.3835860.3954880.3662380.4243020.3968810.4308770.3783180.4203760.42884
15、90.4008160.3942160.3950290.4379850.4473730.4059870.3950130.3999830.3950040.4219310.4007350.4190230.4346790.4159260.3868970.402140.4272680.397650.3943730.3858370.440220.4123820.3995330.4377580.4290890.4061320.3922040.4205130.3996020.4185890.3911430.4083550.3769780.3967580.3929450.4249250.4280590.3860
16、470.4192770.4107460.4183360.3867830.3986730.4419950.4490710.3683160.3914040.3950460.3852420.429570.4330080.4109310.3713120.3489650.4127220.3951030.4323480.4180960.3900990.3982430.4616760.3921650.3833890.399320.4276190.3796910.4341470.387890.3997680.3900360.3826160.3881960.3867460.3969570.4441640.405
17、9520.401810.3926730.394770.3824620.4211430.42820.3958250.4013270.4011570.4286910.4076660.3913980.3976020.4198530.3985390.398660.4064780.4058660.371570.4362730.3731660.4320060.4291360.4051870.4078190.3954180.4187960.421620.4043850.4465740.4037440.3950140.3873740.4282610.3977220.3774310.427620.4289960
18、.4139920.3884270.3945860.4072410.3837450.4296870.3883140.3922860.4366390.4291710.4190630.4190810.4001370.4429370.3731570.4419860.37050.3798670.3845010.4419480.4462690.4432380.4425170.3842240.4352750.4104480.4245890.3993370.4219520.4090690.4000070.3961560.4226680.4361830.3912110.3764210.3990930.40184
19、40.4185740.3735930.4294480.4294650.4727030.3939370.4094670.4303040.3896720.3991030.4186550.3929880.403760.4103590.4110390.3927280.4228030.3963630.4047370.4149960.3844930.4040930.3980740.3970210.4092330.3979450.4323440.3866950.4307440.3996650.386280.4130060.4314850.4003580.4239450.4207060.398140.4293
20、10.3866590.423290.4007010.444840.3833190.3852820.431540.3934210.4186090.4014690.3990810.4007240.4194710.4249610.3762720.4412160.3867570.4002120.4167770.3948690.4020220.4273240.4516910.3959230.4045420.402420.3971780.3778220.3750880.3831920.3861950.4301710.3758660.4286190.3934720.4311510.4150370.40505
21、90.3915780.4054390.3819340.388080.4150150.4035410.3895880.4425680.4021280.42890.4388270.3976470.4330590.3819840.4228670.3658440.3850370.4014930.3963790.4081490.3918220.4270850.3987550.4198890.3858740.4383730.3851640.4059310.4075820.375580.3891010.4206230.4161010.3737850.4191040.4278540.3980280.40113
22、90.423640.3930770.3929990.4121510.4157360.4211540.4414520.3875850.3877570.3655240.4399440.3953740.345490.4099150.400190.4145780.4088950.4244390.4191410.3955920.4571820.4057070.4016850.392840.4011230.3994190.4483810.4126370.4226160.3997930.4505430.4814640.3607730.399580.3763770.3996370.3896470.391309
23、0.3949510.4184910.4300370.403720.3937640.421280.4472790.4065640.4087260.4292290.3941850.3827190.3928230.408760.3904590.4080870.4214570.3917650.4472410.4383410.3848460.4015930.3907050.4350530.443130.4143710.3594720.3982010.4240580.4008510.4346910.4151520.436880.45050.3928440.2947630.3901820.40580.429
24、4430.4163470.3979460.4482470.4299360.3888350.3789320.3952080.3990830.4204630.4186360.366970.386280.3981390.4408660.3937690.4072690.4291410.4399540.4518030.4127730.4298740.4003870.3943810.4364330.4251110.450190.3977950.4156430.4344960.3649410.3772020.4189660.4281890.4171380.4052070.4342610.4155660.43
25、89690.4200560.422780.4559230.3804440.38510.400630.3859380.4130140.4104310.396870.3887420.388950.4143090.4196010.3974940.3819350.4047030.4476030.4538790.4464710.4748490.4212850.377330.4264420.3930790.3864880.397720.4089820.4045790.4117470.4026980.4296180.4279730.4082150.4195010.416960.4763860.3890250
26、.39830.4260040.4207830.394450.4468250.4189780.3960930.4316670.3848470.440970.4062840.3928040.4449560.4391230.3897690.4299790.4453690.3914320.3884020.4313280.4305810.3940930.3901060.423770.387340.4129430.3980790.4189890.4299330.4223020.3669380.424580.3833630.3843810.3835190.4217330.3915310.3948360.39
27、78780.3825170.4180980.3833550.4005740.4270220.4587260.3943550.4289960.3960680.3940230.4427580.3993430.3876670.449920.4390620.4403090.4108990.386890.4168610.4489720.4104570.4026260.4283430.4363620.3933230.392060.4052420.4561860.4231660.3804520.3917420.4090640.39910.3998750.4009490.3991620.4277460.429
28、9090.4119850.4044650.3988590.4205650.4279870.3932270.3969150.3874110.4138880.4368540.437820.3885710.3912760.4032720.4678740.3940320.4177520.3934550.3990820.4433780.4075530.4206220.4196020.4162980.4546140.4043310.3772970.4335250.4266140.3978870.4093430.4059640.4478090.3882480.4027150.4011720.3897560.
29、3940560.4202920.4070520.3926770.4065320.3926680.4090380.4002620.3954520.3917570.3886030.4010250.3903190.3973980.4189380.3844990.4185860.3794830.4037990.4380490.3891990.3935120.3757680.4056480.4124060.3907090.3661330.3868020.377980.3865410.4110310.4128130.3754160.4341650.4412010.4178750.445350.397254
30、0.4040950.393030.4181070.4231210.4337720.3946740.3969020.4207620.4127180.3820960.4014340.414750.3669220.411780.4488910.4458080.3843060.411620.3884910.3836860.4388190.4225180.4229670.3884920.394110.3971780.3892770.4163560.3846230.3985120.3874150.3908110.3919170.4092450.3908250.3996180.3744390.3844670
31、.3969080.4183650.4211880.4336030.3920760.39980.4314230.4330460.388810.4128680.3949430.4216540.3714020.3854160.3865140.4002390.4154090.443730.4343110.4096810.4496240.425890.4006870.4549970.4362510.4437830.3991360.4130710.3893240.3866490.4072230.39710.4015860.4241320.4037990.3995120.4112670.4783790.41
32、54570.4390070.4088280.3948350.3979440.4162590.3892180.4206050.3789730.4134340.4167860.3857770.4234460.4498610.4126340.399870.3960470.3886820.4186850.4347630.3962050.3864670.3905190.3962390.3964880.4254360.3982740.4336490.4532310.3790190.3995940.4392510.3946380.3915520.3971080.3850870.3994610.3973940
33、.4127280.3936620.4175760.43290.3750130.4554040.4070520.413810.3967490.3922620.3987780.4457510.3950820.395730.4293990.3935490.4542970.3974390.4254690.3891010.3963020.390840.4043470.4088530.4058440.4219930.3935250.3948330.4150960.3698080.4238360.3948420.4407460.4189530.4344970.3928360.4271510.385820.3
34、781030.392780.449690.3911460.3980770.4262480.3838190.4158150.430850.4306880.3953920.3950970.4116580.4032540.3867120.3880440.4081360.3942190.4050490.3814970.3665460.3908210.4009990.4182190.3946840.3886010.4343560.4387660.4081160.434620.377660.3833020.4352860.3797780.388710.3808430.4010270.4086040.370
35、2840.3994890.3992710.4406240.4488250.4287630.4163180.3957360.3900790.4038110.3952260.3983910.3869290.4010810.3893440.4168240.3736040.3941380.4566460.4226480.407920.4240320.40460.3692030.3990140.3786040.4055680.4577140.4093070.3877850.3725340.3982290.3989030.4276040.4481410.3815040.3838320.3726890.40
36、55320.3677640.3817530.4097640.4695350.4398330.4134770.3960330.4189510.3698480.3840090.3843620.4162970.409370.4283580.4013320.4490790.4085370.390830.3930520.3973940.383680.4150660.4139610.4048330.4399370.4285310.3774380.4279810.4110710.4086050.3952170.3900610.4005870.3909730.3944160.4067740.3963610.3
37、902570.3964370.4386440.3665360.4012180.4057930.4431080.4064780.3912550.4142690.4098690.412650.4386410.3724230.3950460.3983790.4039410.4187960.4027610.3929340.3924960.4001440.455140.4200380.4395930.3957990.407830.427620.4240720.395460.4659750.4285920.3833550.3986440.4377050.4070740.4435930.4366390.41
38、84390.3991420.4377750.3886220.3934260.4411470.4011050.4358730.3665410.384501取抽样次数 M = 1000，由于数据量较大，得到临界荷载数据的直方图（横坐标为节点荷载的临界值，纵坐标为临界荷载出现在该区间的次数），临界荷载也基本处于正态分布求 得临界承载力的均值为 0.408KN,标准差为 0.0221。图 6极限承载力概率分布图43 和一致缺陷模态法的比较屈曲模态是临界点处的结构位移趋势，也就是结构屈曲时的位移增量模式。结构的最低 阶临界点所对应的屈曲模态为结构的最低阶屈曲模态，结构按该模态变形将处于势能最小状 态，所
39、以对于实际结构来说，在加荷载的最处阶段即有沿着该模态变形的趋势。可以想到， 如果结构的缺陷分布形式恰好与最低阶屈曲模态相吻合，这无疑将对其受力性能产生最不利 影响。一致缺陷模态法就是用最低阶屈曲模态来模拟结构的初始缺陷分布。本算例以 0.002 倍的缺陷作为此网壳结构的初始缺陷，得到其屈曲全路径如图 9 所示。 此时六角网壳的极限承载力为 0.36377KN。在无缺陷的情况下，得到此网壳结构的极限承载力为 0.615KN,而应用一致缺陷模态法得到的网壳结构的极限承载力为 0.36377KN，从上述计算结果可以看到，虽然结构只有很小的安装缺陷，其极限承载力却降低了 35%，由此可见，穹顶网壳的初
40、始几何缺陷对其稳定 承载力的影响是相当可观的。对比随机缺陷的临界荷载 2 ，一致缺陷模态法得到的结果也十分接近 2 的值， 在减少计算量的前提下，一致缺陷模态法不失为一种实用的、可行的的方法。值得我们注意的是虽然一致缺陷模态法得到的结果对比随机缺陷的极限承载力均值小很 多，但在随机缺陷的极限承载力概率分布图上我们能看出还有比一致缺陷模态法得到的结果 更小的值，我们可以得出一致缺陷仍然有风险。可以得到应用一致缺陷方法时，整体结构稳定的失效风险概率为 Ps = 1 Pf= 0.5% 。5. 结论图 7 0002 倍的一致缺陷膜态的荷载位移图穹顶网壳的初始几何缺陷对其稳定承载力的影响是相当可观的。一致缺陷模态法不失为一种实用的、可行的的方法。值得我们注意的是虽然一致缺陷模态法得到的结果对比随机缺 陷的极限承载力均值小很多，但用一致缺陷模态分析结果作为实际工程设计的依据仍然有风 险，这是广大设计人员需要注意的。参考文献1沈世钊，陈昕. 网壳结构稳定性M. 北京：科学出版社，1999. 2董石麟 ，姚谏. 中国网壳结构的发展与应用. 空间结构，1998. 3沈世钊. 单层柱面网壳的稳定性J.土木工程学报，1999.4J. L. Kam. Large deflection analysis of inelastic plane framesJ.J. of Struct
