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1、义务教育课程标准实验教科书,九年级 上册,人民教育出版社,24.1.2 垂直于弦的直径,教学目标：,教学重点：,1.垂直于弦的直径的性质、推论及应用。,教学难点：,1.对垂直于弦的直径的性质、推论的说明过程的理解。,2.利用垂径定理及推论解决实际问题。,1.理解圆是轴对称图形.,2.掌握垂径定理和推论的推理过程，并能解决一些简单的计算、,3.使学生了解垂径定理及推论在实际中的应用，培养学生把,2.应用垂径定理及推论解决实际问题。,证明和作图问题。,实际问题转化成数学问题的能力。,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形,它的
2、跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,活动一,可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,O,C,D,AE=BE,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E,O,B,C,相等的线段：AE=BE,相等的弧：,活动二,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,D,A,E,若一条直线满足：,（1）过圆心 CD是直径,（2）垂直于弦
3、 CD AB于E,（3）平分弦 AE=BE,则可推出：,（4）平分弦所对的优弧,（5）平分弦所对的劣弧,CD是O的直径，CDAB于E，,符号语言：,，,.,垂径定理：,如图，若CD是直径，且CD平分弦AB 是否能得到CDAB，且平分弧ACB和弧AB？为什么？,思考：如果AB也是直径，上述结论是否成立？,不一定.,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,活动三,符号语言：,CD是O的直径，AB是弦（不是直径），,CD AB，,，,.,O,B,C,D,A,E,垂径定理推论：,（不是直径），,CDAB,且AE=BE，,（1）过圆心（CD是直径）；（2）垂直于弦（CD AB于E）；（
4、3）平分弦（AE=BE）；（4）平分弦所对的劣弧（）；（5）平分弦所对的优弧（）.,5个条件中，任满足2个，剩下3个结论都成立。,O,C,D,A,E,由(2)、(3)，得(1)、(4)、(5)。,常用此方法来确定圆心的位置,B,B,A,O,C,例1：如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,解：过点O作OEAB于E，连接OA.,答：O的半径为5cm.,1.如图，在O中，直径为10cm，弦AB的长为8cm，求圆心O到AB的距离.,O,A,B,E,2.如图，在O中，直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，求弦AB的长.,3.设O的半径是r，圆心到
5、弦的距离为d，弦长为a，这三者间有怎样的关系式？,构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理，解决问题。,举一反三,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,解决求赵州桥拱半径的问题？,A,B,O,D,C,CD=7.2m,r,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得：r279（m）,即:r2=18.72+（r7.2）2,因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,d,h,a/2,h+d=r,解:,如图，用
6、弧AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为r,过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，,1.如图，AB是O的直径，弦CDAB于M，下列结论不一定成立的是（）CM=DM AD=2BDBCD=BDC,C,巩固练习,2.如图，在O中，P是弦的中点，是过点的直径，则下列结论不正确的是（）,CD AB,C,.如图，周长为10 的O中，弦AB的弦心距OC等于3，那么弦AB的长为（）。A.2 B.4 C.6 D.8,D,巩固练习,.如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，若AB=20，CD=16，则线段OE等于（）。A.4 B.6 C.8 D.10,B,5.如图，O的直径垂直弦于，
7、且是半径的中点，则直径AB的长为（）。A.B.C.D.,D,巩固练习,6.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度的长为米，拱桥的半径为米，则拱高的长为（）米。A.B.C.D.,B,O,7如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，ODAB于D，OEAC于E。求证：四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,且 AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,又由垂径定理：,AB AC于A，ODAB于D，OEAC于E,巩固练习,小结,1.垂径定理,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,O,C,D,A,E,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,2.垂径定理推论：,h+d=r,3.半径、弦、弦心距、弓形高之间的关系。,1.必做题：课本P87P88 第1、7题。2.选做题：课本P88 第10题.3.备选题：圆o的直径是50,圆o的两条平行弦AB与CD，若AB=40，CD=48.求AB与CD间的距离.,作业,谢谢指导,再见,
