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1、精品论文推荐现浇混凝土圆管式空心楼板的连续化分析张荣兰 盐城工学院土木工程学院江苏盐城 (224051) E-mail：z71rl摘要：采用连续化分析法与有限元模型计算相结合的研究手段，提出圆管式空心板连续化 模型的基本假定；推导了顺管向两端支承的圆管式横向空心板在竖向均布荷载下的的连续化 方程，并对其进行了求解。最后推导了其整体等效抗弯刚度，为四边支承圆管式空心楼盖的 连续化分析提供了重要的条件。 关键词：连续化分析，空心板，整体等效抗弯刚度，挠度，有限元分析 中图分类号：TU311.41 前言我国关于现浇混凝土空心楼盖的设计计算方法主要有：(1)采用基本弯曲理论，在早期 的工程实践中假定空
2、心板的结构性能和实心板相同，直接将空心板折算成实心板，而不考虑 开洞引起的局部弯曲来分析应力和挠度，此法误差较大。（2）采用单向板法计算内力，可截 取一个孔距(或几个孔距)的板宽，按单跨简支梁或多跨连续梁计算内力。配筋上可按等面积、 等形心、等惯性矩简化为“工”形截面，按所计算内力进行配筋计算。这里仅仅考虑一个方向 的刚度作用，容易形成空腹向的裂缝。该方法比前一方法有所改进，但与板实际双向受力不 符。(3)采用有限元法：用三维实体元对圆管式板作有限元分析，网格划分密、机时长、费 用高，虽然计算结果精确，但在工程中应用难以接受。对于现浇钢筋混凝土空心板的结构形式的研究工作已经有所开展，并且在这些
3、研究成果 的指导下，在国内兴建了一批含有该楼盖结构形式的多、高层建筑，但是应该看到，目前的 研究还是远远不够的，很多有关的概念尚未得到完全的澄清，很多设计工作更多的是依靠经 验和过于保守的理论，一方面造成了较大程度的人、材、物的浪费，另一方面，由于对其受 力性能、机理等的认识的误差，有时会导致一些不准确甚至是错误的计算结果，从而带来严 重的负面影响，大大地制约了这种结构形式的推广和应用。对于本文建筑结构的力学计算中，根据所选用的计算手段，所计及构件的变形因素是有 区别的。对于简化的手算方法，一般计及最基本的变形，例如，除考虑构件的弯曲变形外， 对空心板结构，宜考虑上下板的轴向变形；上下板还要考
4、虑剪切变形的影响。由于空心板结 构体系较复杂，有的洞较大，有的洞较小，为便于计算，采用了一种等效刚度的概念和算法。 等效刚度实质上是通过结构的位移大小来间接反映刚度的大小，即在相同的荷载作用下，位 移小的结构刚度大。用空心板结构中抗弯等效刚度 (EI ) 0 等效的方法是：横向空心板结构体 系在均布竖向荷载作用下的上板或者下板跨中位移与整体横向圆管式空心板在相同的竖向 荷载作用下的跨中位移相等，我们就认为该结构的刚度与整个横向圆管式空心板刚度相等。2 圆管式空心板连续化分析2.1 圆管式空心板连续化模型的基本假定管轴方向截面相当于上下翼缘相连的“工”字型梁的集合体，因而截面刚度很大，称为强 轴
5、方向，其刚度很容易算出；与管轴平行方向截面刚度由上下冀缘最薄处“=”字型截面控制，- 9 -刚度小于管轴方向截面，称之为弱轴方向。现研究弱轴方向的管式空心板结构，为此，在平行于管轴的两端设支承，如图 1 所示。采用图 2 所示坐标系，YZ 平面为顺管向平面，XZ 平面为空腹向平面，基本计算假定 为：(1) 将现浇空心板的芯管顶、底部分看作连续体的上下表层，将芯管间板肋部分看作是 连续体的夹芯层。中间夹芯板部分考虑弯曲和剪切的影响。这样就把上下板仅在通过肋连在 一起的结构变成在整个跨度上都由连续连杆连接在一起的连续结构，将有限点的连接变成无 限点的连接1，考虑上下板承受弯曲、剪切和轴向力的作用。
6、结构计算连续化计算简图见图1。(2) 上下板间部分板肋看作是连续体的夹芯部分，假定均匀分布于整个梁长，成为主要 承受剪力的连续夹芯，考虑弯曲和剪切变形的影响，并传递轴向压力。其轴向变形忽略不计， 即上、下板的竖向位移是相同的。(3) 假设在同一点 X 处，上下板的转角和曲率是相等的，并假定在横向荷载作用下夹芯 的反弯点在其中点。(4) 材料处于线弹性范围内，在线弹性范围内进行静力分析。q( x )xZ 空腹向剖面图xy z图 1 空心板的连续化计算简图图 2 空心板的计算模型根据假定（3），在横向荷载作用下夹芯的反弯点在其中点，中点处弯矩为零，将空腹向带孔洞夹芯假想成均匀在整个梁长，并沿夹芯中
7、点切开。切开后连续化夹芯剪力为 x ，轴力为 x。 x 虽然存在，但与求解 x 无关，可不求解其值。切开处沿 x 方向的变形体连续条件可用式（1）表达：1 + 2 + 3 = 0（1）式中1 上、下板部分弯曲变形产生的相对位移； 2 上、下板部分轴向变形产生 的相对位移； 3 连续化夹芯弯曲及剪切变形产生的相对位移G AlI（a）上、下板转角变形（b）上、下板轴向变形（c）上、下板间空腹向弯曲及剪切变形图 3 空心板的变形由图 3a 得到1 = 2c m = 2c dWm / dx ，式中 2c 为上、下板形心之间的距离。转角 m3以顺时针为正， ( x) 正方向如图 1 所示。式中负号表示连
8、续化腹板位移与 ( x) 方向相反。 在横向荷载作用下，上、下板部分分别受压和受拉。上、下板轴向变形将引起切口处产 生相对位移，见图 3b。这里考虑圆管居中，上、下板轴向力大小相等、方向相反，由隔离体平衡条件可得：L N ( x)dxL N ( x)dx = 11 + 1 L2L x (A =A 时)2 = xEA1+ xEA2(E A1) N ( x)dx =A2 x EA x ( x)dxdx120如图 3c 所示，设孔洞间板芯平均惯性矩为 I b 。同时考虑弯曲和剪切变形的影响，其惯I b性矩为 。取微段 d ( x) ，则单位长度连续化等效惯性矩即单位长度夹芯平均惯矩为eI b3MI
9、= / b ， b 为两孔洞间距，故得弯曲变形产生的相对位移为= 2 ( x)be3/(3EI b ) ；剪切变形产生的相对位移为 3V= 2 ( x)be /( Ab G) 。式中 2e 为两板间净距离，I b 、 Ab 为孔洞间夹芯的平均惯性矩、面积。 为截面上剪应力分布不均匀系数，矩形截面 = 1.2 ，G 为剪切弹性模量。弯曲变形和剪切变形的总相对位移为： 33= 3M+ 3V= 2 ( x)be3EI b+ 2 ( x)beAb G23= 2 ( x)be(1 + 3EI b ) = 2 ( x)e3EI bAb Ge3EI e叠加1 、 2 、 3 ，得到基本体系在外荷载、切口轴力
10、和剪力 ( x) 作用下，沿 ( x) 方向的总位移： = 2c m2 L x 2 ( x)e 3+ EA ( x)dxdx +EI = 0（2）x 03 e2.2 空心板连续化微分方程的求解3对式（2 ）取微分二次，得： 2c m 2 ( x) + 2 ( x)e= 0 ，令 m1( x )= ( x) c1 ；m2 ( x ) = ( x) c2EA 3EI em( x ) = 2c ( x) 。下面引入外荷载的作用，在 x 处截断空心板，如图 4 所示，由平衡条件可 得：（3）dM = dM 1 + dM 2dxdx= m( x) + Q + q dx = m( x) + Q2d 2W由
11、梁的基本弯曲理论：（4）式中Wm 上、下板由于弯曲变形产生的挠度；M = 2EI m dx 2Q 外荷载对 x 截面的总剪力；c1EI 上、下板的抗弯刚度 将式（4）和式（3）代入式（2）中，整理得：2q(x) Q1M1Q2M2M1+dM1Q1+dQ Q=Q1+Q2M2+dM2Q2+dQm ( x) u 2 m( x) + 2Q = 0dxc2图 4 上下板内（5）2式（5）的特解为 m( x) = Achux + Bshux + 2Q ，其中 2 = 6cEI e ，u 2 = 2 ( 1 +I ) ，A、B 为任意常数。2u 2EIe32 2c 2 A假定跨长 L 的简支板跨中受均布荷载
12、q 的作用，则板中剪力为Q = qL qx ，式（5）变2为：2m ( x) u 2 m( x) + ( qL qx) = 02 2（6）引入边界条件：当 x = L2时，dWm = 0 ，即曲线变形转角 = 0 ，此时，由式（2）可知，dx；当d W2LL2( ) = 0，m( ) = 0x = 0时，M (0) = 0， m = 0， （00 ，求出 A = q th(u L ) ，2B = 22u 32q ，此时有：2）dx22 22u 32m( x) = q th(u L ) chux + q shux + ( qL qx)（7）2u 3 232u 32u 2 2将式（7）代入式 d
13、Wm +dx 3m( x)2c 2 EA m ( x) = 0 中，并由边界条件求解得： 2 EIW = q 1 th(u L ) shux + chux x2+ Lx 1 +q ( x 4 2Lx 3 + L3 x)（8）M 2EI u 2L2qLL (u 2 u 2 2 2 qx). 12 2 u 2248EIb/2b/2Q.QqLW = 22dx = 22dx =Rd RQ 0 2GA0 2GA16GAWQ 为上、下板在剪力Q 作用下引起的剪切变形， 为截面形状系数， = 2 I2， = 1 当板的截面高度远小于板跨e1kNx2c 2 u 2 A2u 2 a a度来说，一般不考虑剪切变形
14、的影响WQW = WM 。 2 。板的总挠度为：Y图 5 空心板中间腹板上半部分2.3 单位长度夹芯平均惯性矩 I e由式（6）知，欲求 值，必须知道单位长度夹芯平均惯性矩 I e 。取孔洞间一单元的上 半部分来分析，如图 5 所示。假定 a a 面上受单位力作用，中间腹板可视为悬臂梁引起变0y 2形，计及剪切变形影响有： xEI0dy + GA dy（9）Ry (阴影）R(阴影）前面假定单位长度平均惯性矩夹芯截面为矩形，而实际为阴影形状，单位长度平均惯性 矩原则f(X1.25X10-7m )0.7Ie(X1.25X10- 4 m3 )0.60.50.40.30.20.12 3 4 5 612
15、R( m)10 20 3040 50 6070 8090 1000 . 1 0 0 . 15 0 . 20 0 . 2 5 0 . 30 0 . 35 0 . 4 0（R 为管半径，d 为横向管之间净距，f 为变形 x ）图 6 F1kN 作用下图 6 常用空心板结构的位移图 7 常用规格空心板的夹芯平均惯性矩为两者在相同剪力下引起的变形相等。为求 I e ，采用 ANSYS 有限元软件，计算单元采用 PLANE42（并选用平面应变单元）， 计算在图 5 情况下常用规格空心板结构的位移，并绘成曲线如图 6。从而求出夹芯的等效惯性矩 I b ，利用公式求 I e = I b / b（ b = 2
16、R + d 为相邻孔间距）。 将 I e 随孔净距 d 和孔径 2R关系的变化绘成曲线如图 7 所示。2.4 上下板抗弯惯矩和 2I 与空心板有效截面对形心轴 X 轴抗弯惯矩之比 公式（8）中可导出 =I= 2I分母部分表示上、下板截面对组合截面形心轴c2 A + I2c2 A + 2I即空心板形心轴 X 的惯性矩。推导公式（8）时未考虑孔与孔之间夹芯部分的影响作用。现 在考虑两板间带肋部分即夹芯部分作用，分母部分假设为有效截面如图 8 中阴影部分对空心 板形心轴 X 的惯性矩 I c0 。为求 ，首先对圆管空心板横管向（空腹向）截面应力分析。计算横管向挠度和弯矩，考虑夹芯部分作用时，其抗弯惯
17、矩是否考虑整个截面的作用，具体考虑多少，得从横管向截面应力分析着手。计算横管向竖向挠度和某点截面弯矩，对于 顺管支撑的板梁来说，分析其 X 向水平应力必不可少。对圆管空心板 X 向水平应力作有限 元分析。用通用有限元分析软件 ANSYS，计算单元采用 SOLID45 非协调式的八节点三维实 体元 BRICK，计算在弯剪、纯弯情况下的应力分布。从分析中可看出应力分布很不均匀。如果上板顶、下板底所在位置的板边应力设为 1时，则孔所在位置的板边应力小于 1，而孔的内侧应力大于 1，孔边存在应力集中现象。在夹芯的半高度位置有零应力线，在零应力线以内的夹芯中部应力接近为 0。其中在弯剪作用 下，零应力线
18、以内的肋中部甚至出现应力反号。在以上两种受力作用下，圆孔空心板横管向 截面应力分布呈现相似的特点。肋板中部的应力为 0，表明该部分对整体的刚度没有贡献，在计算整体等效刚度时，应 不计该部分的影响。在刚度等效中，也可以忽略应力不均匀分布。根据截面有效高度，计算 圆管空心板 X 向的等效刚度。在刚度等效中可以忽略应力不均匀分布，并假定零应力线为水平直线。设肋的零应力线 所对应的孔半径的竖向倾角为 。取一个单位长度 b 范t围内截面来考虑，求有效截面阴影部分对组合截面形心t1轴惯性矩。取平行于管轴方向的长度为 a 。2R上、下板 t1 厚阴影部分对组合截面形心轴的惯性矩：I t1= a (2R)31
19、2 b 2R1t cos3 (b 2R sin ) 式中b d3 sin sin 4 =cos 4 tdt = + ；上、下板 t 厚阴影部108 4 323图 8 X 向典型区段有效截分对组合截面形心轴的惯性矩：I t3= 2 ( a t12 b + a btc 2 ) ；有效截面对组合截面形心轴惯性2ch3c矩 I = I t1+ I t= a (2R)12 b 2R1 cos 3 (b 2R sin ) + 2 ( abt12+ abtc 2 ) 。单位长度整个空心板的组合截面对形心轴 X 轴惯性矩为：3I= I/ b = a (2R) b 2R3 cos 3 (b 2R sin ) +
20、 2 ( at+ atc 2 )（10）c 0c12b112利用有限元细分模型，对各种工程常用规格圆管空心板 X 向弯剪，纯弯受力进行分析。 并根据分析结果，利用数值方法求解公式中未知参数 的取值基本相同。根据适当归并以利 于使用的原则，对于工程常用规格的圆管空心板， 可统一取值为： = 22.5 。考虑夹芯作用后：32 = ( 2R ) 3 b 2R1 cos (b 2R sin ) + 2 + 24 ( c ) 2t b t（11）式中3 sin sin 4=cos4 tdt = += 0.355141 08 4 322.5 顺管向两端支承的圆管式空心板挠度验证求得顺管向两端支承的圆管式空
21、心板挠度，则可以求出空心板跨中点最大值挠度，根据 连续化原理，就可以求出板的整体等效抗弯刚度。顺管向两端支承的圆管式空心板各点的挠度由式（8）知：2W = q 1 th(u L ) shux + chux x+ Lx 1 +q( x 4 2Lx 3 + L3 x)（12）2EIu 22u 2u 2 22u 248EI2式中 u 2 = 2 ( 1 +I ) 、 2 = 6cEI e ， I 可由图 8 查得， 可由式（11）求得。2 2c 2 AEIe 3 e实例：如图 9 所示，空心板圆管孔 2R = 0.15m, d = 0.05m ，圆孔居于板中心。采用 C30混凝土，泊松比 u = 0
22、.2, Ec= 3 1010 N / m 2 ，板跨度为 7m ，顺着孔方向取1m 。求面荷载为4kN / m 2 顺孔向支承时，横管向圆管式空心板各点的挠度。 一种方法采用连续化法推导出来的公式（311），式中： 2 = 1939 ，qu 2 = 989.6 ， = 0.019489 。一种方法采用 ANSYS 通用有限元软 件 SOLID45 实体单元，网格划分为 XY 面内选取 0.0125 0.0125 ，YZ 面内选取 0.0125 0.25 。结果见表 1。板肋L图 9 空心板计算简图空心板表 1 横管向圆管式空心板各点的挠度 (mm )x (m )00.10.30.50.81.0
23、11.41.6本文连续化法00.1790.5360.8881.3991.7442.3292.588有限元法00.1780.5300.8761.3811.7212.2962.565比值1.011.011.011.011.011.011.01x(m)1.82.02.32.63.03.33.5本文连续化法2.8393.0663.3603.5933.8043.8843.899有限元法2.8123.0373.3253.5573.7653.8423.857比值1.011.011.011.011.011.011.01备注： x 为计算点距离左支座中心的距离从上表中可以看出，连续化方法与有限元法所求得的各点挠
24、度对应比值均为 1.01，两者非常接近，说明采用连续化方法对横向圆管式空心板分析是非常正确的。2.6 平行管向支承单向空心板的横管向整体抗弯等效刚度用空心板结构中抗弯等效刚度 ( EI )0 H等效的方法是：横向空心板结构体系在均布竖向荷载作用下的上板或者下板跨中位移与等效实心板在相同的竖向荷载作用下的跨中位移相等，我们就认为该结构的刚度与整个横向圆管式空心板刚度相等。推导出 ( EI )0 H如下：( EI )= ( EI ) 2 = ( EI ) ( 2 R ) 3 b 2R1 cos (b 2R sin c3+ 2 + 24 ( ) 2 0 H tbt（12）3式中1 = 0.35514
25、 ，cos = 0.78878 ，sin = 0.38268 ，EI 为上板或下板的抗弯刚度。从式（12）可以看出，板的横管向整体抗弯等效抗弯刚度折减系数主要与 c / t 、 2R / t 和 2R / b 有关，并随着 c / t 、 2R / t 的增大，整体抗弯等效刚度随 c / t 的平方、随 2R / t 的 立方成增大的趋势，起主导作用的是前者 c / t ，不过受 2R / b 的影响比较小。以上对整体抗弯刚度的推导同样适用于非圆管孔洞，这时有效截面换成非圆管情况下的有效截面。我们可以根据常用规格圆管式空心板类型，不同的 c / t 、 2R / t 和 2R / b 根据公式
26、（12）列表算出横管向圆管式的空心板的整体抗弯等效刚度 (EI )0 H 。3 结论采用连续化方法推导出两端顺管向支承圆管式横管向空心板竖向挠度基本公式（12）和 整体等效抗弯刚度。并通过一个实例验证连续化方法推导的顺管向两端支承的圆管式空心板 挠度公式是精确的。随着顺管向的等效抗弯刚度很容易求出，对四边支承圆管式空心楼盖的 连续化分析就迎刃而解了。参考文献1 金问鲁.高层建筑结构的连续化分析M.北京：中国铁道出版社，1994,9 2 杨天祥主编.结构力学M .北京：高等教育出版社.1989,3Continuous Analysis of Cast-in-place Concrete Void
27、ed FlatFloorZhang RonglanSchool of Civil Engineering，Yancheng Institute of Technology，Yancheng，Jiangsu(224003)AbstractContinuous models basic supposition voided slab floor about bring forward, based on the summarizing of theories and methods of voided flat floor, studied on the designing calculation
28、 of structure system,by means of combining continuous analyses and calculations of multiform models of finite element. Formula of vertical deflection and global equivalent flexural rigidity of cross voided slab is inferredunder two ends supported in the same direction as the hollow, which is one of important conditions forends supported.Keywords：continuous analysis；voided slab；global equivalent flexural rigidity；deflection；FEA
