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1、最优化理论与算法,计算数学与应用软件教研室理学院，北京邮电大学,提纲,1.线性规划 对偶定理2.非线性规划 K-K-T 定理3.组合最优化 算法设计技巧,使用教材：最优化理论与算法 陈宝林参考书：数学规划 黄红选，韩继业 清华大学出版社,其他参考书目,Nonlinear Programming-Theory and AlgorithmsMokhtar S.Bazaraa,C.M.ShettyJohn Wiley&Sons,Inc.1979(2nd Edit,1993，3nd Edit，2006),Linear and Nonlinear Programming David G.Luenberg
2、erAddison-Wesley Publishing Company,2nd Edition,1984/2003.,Linear Programming and Network Flows M.S.Bazaraa,J.J.Jarvis,John Wiley&Sons,Inc.,1977.,运筹学基础手册徐光辉、刘彦佩、程侃科学出版社，1999,组合最优化算法和复杂性 Combinatorial Optimization 蔡茂诚、刘振宏 Algorithms and Complexity 清华大学出版社，1988 Printice-Hall Inc.,1982/1998,其他参考书目,1,绪论
3、-学科概述,最优化是从所有可能的方案中选择最合理 的一种方案,以达到最佳目标 的科学.达到最佳目标的方案是最优方案,寻找最优 方案的方法-最优化方法(算法)这种方法的数学理论即为最优化理论.运筹学的方法论之一.是其一重要组成部分.,运筹学的“三个代表”模型理论算法,最优化首先是一种理念,其次才是一种方法.,1,绪论-学科概述,最优化技术工作被分成两个方面，一是由实际生产或科技问题形成最优化的数学模型，二是对所形成的数学问题进行数学加工和求解。对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实
4、际问题时是十分关键的基础，没有这一工作，最优化技术将成为无水之源，难以健康发展。,绪论-运筹学（Operations Research-OR）,绪论-运筹学（Operations Research-OR）,广义：管理科学/决策科学(MS/DS)、系统科学/工程(SS/SE)、工业工程(IE)、运作管理(OM)狭义：运筹数学-最优化、对策论、排队论等 连续优化：数学规划（线性规划、非线性规划）、非光滑优化、全局优化等 离散优化：组合优化、网络优化、整数规划等 不确定规划：随机规划、模糊规划等,优化树,最优化的发展历程,费马:1638;牛顿,1670,欧拉,1755,Min f(x1 x2 xn)
5、f(x)=0,欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学柯西：最早应用最速下降法,拉格朗日，1797,Min f(x1 x2 xn)s.t.gk(x1 x2 xn)=0,k=1,2,m,1930年代，康托诺维奇：线性规划1940年代，Dantzig：单纯形方法，冯 诺依曼：对策论1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；KKT条件；1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展,电子计算机运筹学,最优化应用举例,具
6、有广泛的实用性运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等工程设计，结构设计等资源分配，生产计划等通信：光网络、无线网络，ad hoc 等.制造业：钢铁生产，车间调度等医药生产，化工处理等电子工程，集成电路VLSI etc.排版（TEX,Latex,etc.）,1.食谱问题,我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。,需要确定每天喝奶和吃蛋的量，目标以便以最低可能的花费购买这些食物，而满足最低限度的维生素需求量。,1.食谱问题（续）,令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写成如下的数学形式：,运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用（或者最大
7、利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。求最优安排或计划的问题，称作programming问题。,Min 3x+2.5y s.t.2x+4y 40 3x+2y 50 x,y 0.,极小化目标函数可行区域（单纯形）可行解,2 运输问题,设某种物资有m个产地A1,A2,Am,各产地的产量是a1,a2,am;有 n个销地B1,B2,Bn.各销地的销量是b1,b2,bn.假定从产地Ai(i=1,2,m)到销地Bj(j=1,2,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运这些物品才能使总运费最小？,如果运输问题的总产量等于总销量，即有,则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平衡问题。,令
8、xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡问题的数学模型为：,2 运输问题（续）,以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,n股票i的现价是pi你预期一年后股票的价格为ri 在出售股票时需要支付的税金=资本收益30%扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多支付1%的交易费用例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以每股50元的价格出售，则净现金为：50 1000-0.3(50-30)1000-0.150 1000=39000,3 税下投资问题,我们的目标是要使预期收益最大。Xi：当前抛出股票i的数量。,3 税下投资问题（续）,4 选址问题,实例:一组潜在位置（地址）,一
9、组顾客集合及相应的 利润和费用数据；解:设施开放(使用)的数目，他们的位置，以及顾客被 哪个设施服务的具体安排方案；目标：总的利润最大化。,数据与约束J=1,2,n:放置设施的可能的潜在位置集合I=1,2,m:顾客集合,其要求的服务需要某设施所提 供.,4 选址问题（续1）,5选址问题（续2）,6负载平衡(续1),实例:网络G(V,E)及一组m 个数的集合s,d0，表示 连接源点 s与汇点d 之间的流量解:s,d0的一组路由,即G(V,E)中m 条s 与 d间的路,表示连接s与d 的负载流量的路径。目标:极小化网络负载,6 负载平衡(续2),7.结构设计问题,两杆桁架的最优设计问题。由两根空心
10、圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载为2p，两支座之间的水平距离为2L，圆杆的壁厚为B，杆的比重为，弹性模量为E，屈吸强度为。求在桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直径d。,7.结构设计问题,7.结构设计问题,此应力要求小于材料的屈吸极限，即,解：桁杆的截面积为：,桁杆的总重量为：,负载2p在每个杆上的分力为：,于是杆截面的应力为：,圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：压杆稳定的临界应力为,由此得稳定约束：,7.结构设计问题,另外还要考虑到设计变量d和h有界。从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：,7.结构设计问题,基本概念,在上述例子中,有的目标函数
11、和约束函数都是线性的,称之为线性规划问题,而有的模型中含有非线性函数,称之为非线性规划.在线性与非线性规划中,满足约束条件的点称为可行点,全体可行点组成的集合称为可行集或可行域.如果一个问题的可行域是整个空间,则称此问题为无约束问题.,基本概念,最优化问题可写成如下形式:,基本概念,Df 1.1 设f(x)为目标函数，S为可行域，x0S,若对每一个x S,成立f(x)f(x0),则称x0为极小化问题min f(x),x S的最优解（整体最优解）,则称x0为极小化问题min f(x),x S的局部最优解,Df 1.2 设f(x)为目标函数，S为可行域，,Thank you very much for your attendance!,优化软件,
