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1、第三章 用变分法求解最优控制问题,设系统状态方程:,性能指标:,式中,和F为纯量函数,一.初始时刻 及始端状态 给定,给定,终端自由,构造增广泛函,令哈密尔顿函数:,则,注意到:,3,为使上式成立,应同时满足下列方程:,欧拉方程(伴随方程),状态方程,控制方程,横截条件,对于两端固定的情况下横截条件,例 1,设系统状态方程为,的边界条件为,解:,作哈密尔顿函数,欧拉方程,控制方程,状态方程,5,消除u,由边界条件,得最优控制,二.初始时刻 及始端状态 给定,给定,终端约束.,设终端约束方程为,构造增广泛函:,式中,J取极值的必要条件是,7,正则方程,控制方程,边界条件和横截条件,三.初始时刻
2、及始端状态 给定,自由,终端约束,设终端约束为,构造增广泛函,得J取极值的必要条件为:,正则方程,控制方程,边界条件和横截条件,用变分法求解最优解的必要条件,性能指标,系统方程,约束条件,正则方程,控制方程,10,边界条件和横截条件,例2,已知系统状态方程为,求最优控制,使性能指标,为最小,解,本题为,给定，终端自由的情况,正则方程:,控制方程,得,消除u,12,边界条件与横截条件,求得,最后得最优控制,例3,设系统的状态方程为,性能指标,终端约束条件,试求使,的最优控制,解,本题为,终端受约束的 最优解问题,14,正则方程,控制方程,15,边界条件和横截条件,代入,16,解得,例 4,设系统
3、状态方程为,边界条件,试确定最优控制,使,为极小,解,这是,自由,终端固定的最优解问题,正则方程,控制方程,应用边界条件,18,例 5,设控制对象方程为,终端时刻,自由,终端固定,求,和,使得,为极小.,解,本题,自由,终端固定,20,由边界条件和横截条件,故,或,21,于是最优轨线和最优控制为:,当,当,由,可求出终端时刻tf*,例6,磁场控制的直流电动机如图所示,数学模型,边界条件,性能指标,给定,试求在t1时间内由x(0)转移到x(t1),并使控制能量具有极小值时的控制输入(励磁电压)uf*,最优性能指标J*和最优轨线x(t)*,23,解:,这是tf 给定,x(tf)固定的最优控制问题,正则方程,控制方程,代入状态方程得,24,代入给定边界条件,则最优控制为,最优性能指标,最优轨线,
