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1、第八章 状态变量法,状态变量分析法；状态变量、状态方程的概念；状态方程的建立；状态方程的求解；,研究系统的输入与输出的关系，通称为端口法。,8.1 基本概念与定义,一、状态变量 对于动态系统，在任意时刻，都能与激励一起确定系统全部响应的一组独立完备的变量，称为系统的状态变量。,x1(t),x2(t)符合状态变量的定义，所以它们是一组独立完备的状态变量。该方程称为该电路的输出方程。,二、状态向量,则此列矩阵x(t)即称为n维状态向量，简称状态向量。,三、状态与初始状态 状态变量在某一时刻t0的值，称为系统在t0时刻的状态。状态变量在t=0-时刻的值称为系统的初始状态或起始状态。X(0-)也称为初
2、始状态向量或起始状态向量。,四、状态方程 从已知的激励与初始状态，求状态向量的一阶向量微分方程，称为状态方程。,x2(t),特点：方程左端都是一个状态变量的一阶导数;而方程右端则为各状态变量与各激励的线性组合。,矩阵形式:,一阶向量微分方程的形式:,A常称为系统矩阵;B常称为控制矩阵。,五、输出方程,写成矩阵形式为,称为输出方程,C常称为输出矩阵。,状态方程与输出方程，共同构成了描述系统特性的完整方程(即数学模型)，统称为系统方程。,六、状态变量法 以系统的状态方程与输出方程为研究对象，对系统特性进行系统分析的方法，称为状态变量法。一般步骤：(1)选择系统的状态变量。(2)列写系统的状态方程。
3、(3)求解状态方程，以得到状态向量。(4)列写系统的输出方程。(5)将第(3)步求得的状态向量及已知的激励向量，代入第(4)步所列出的输出方程中，即得所求响应向量。,8.2连续时间系统状态方程的建立与求解,一、由电路图直观列写,网络状态方程的直观列写方法，一般步骤：(1)选取电路中所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。(2)必须对每一个独立电容列写出只含此独立电容电压一阶导数在内的节点KCL方程；对每一个独立电感列写出只含此独立电感电流一阶导数在内的回路KVL方程。(3)非状态变量也用激励和状态变量表示出来，然后整理成式所示的矩阵标准形式。,例8.2.1 列写出图所示电路的状态方程。若以
4、电压y1(t)，电流为响应y2(t)，再列写出输出方程。,解:(1)列写状态方程：,=,(2)列写输出方程：,二、单输入单输出系统状态方程与输出方程的列写,设系统为三阶的，即n=3)。该系统的微分方程(取)为,设H(s)的分子与分母无公因式相消，则可根据系统的微分方程或画出其模拟图或信号流图，然后选取每一个积分器的输出变量作为状态变量，即可列出系统的状态方程与输出方程。,选取每一个积分器的输出变量x1(t),x2(t),x3(t)作为状态变量,x1,系统的输出方程：,但应注意 A，B矩阵仍不改变。,例8.2.2 列写出图所示系统的状态方程与输出方程。,系统的输出方程为：,三、多输入多输出系统状
5、态方程与输出方程的列写,系统的输出方程为：,四、连续系统状态方程与输出方程的s域解法,1、状态方程的s域解法,I为与A同阶的单位矩阵,(s),2、输出方程的s域解法与转移函数矩阵H(s),3、矩阵A的特征值与系统的自然频率,例8.2.3 已知系统的状态方程与输出方程为,解：,例8.2.4 求下列各矩阵A的特征值(即系统的自然频率)：,解,当A为对角阵时，其对角线上的元素值即为A的特征值。,例8.2.4 如图所示系统。(1)列写系统的状态方程与输出方程；(2)求系统的转移函数矩阵H(s)；(3)求系统的微分方程。,系统的输出方程为,例8.2.5 已知系统的状态方程与输出方程为,(1)画出系统的信
6、号流图；(2)求H(s)与h(t)；(3)求系统的零输入响应，已知系统的初始状态为,解（1）,五、连续系统状态方程与输出方程的时域解法1、状态方程的时域解法,对上式等号两端同时积分,设有两个矩阵函数为,引入一个mm(m为系统激励的个数)阶的单位冲激激励对角矩阵(t)，,称为系统的单位冲激响应矩阵，为rm阶，即与D同阶。,例8.2.6 用时域法求解例。,例8.2.3 已知系统的状态方程与输出方程为,解:,零状态解为:,(2)求y(t)：,单位冲激响应矩阵为,故零状态响应为,8.3 由状态方程判断系统的稳定性,连续系统,例8.3.1 如图所示系统，欲使系统稳定，试确定K的取值范围。,解：选每个积分器的输出变量x1(t),x2(t),x3(t)为状态变量，则可列出状态方程为:,故得系统的特征多项式为:,可见，欲使系统稳定，其必要条件是K0。再排出罗斯阵列：,欲使系统为稳定系统，必须有:,0K5，系统就是稳定的,例8.3.2 图所示电路。(1)欲使电路稳定，求K的取值范围；(2)欲使电路为临界稳定，求K的值，并求此时的单位冲激响应h(t)。,解：选x1(t),x2(t)为状态变量，则可列出状态方程为:,电路的特征多项式为:,可见，欲使电路稳定，必须3-K0，即K3。,(2)欲使电路为临界稳定，则必须K=3。,(3)当K=3时，电路的各系数矩阵为,
