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1、切线的性质和判定,下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出,1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？,情景导入,想一想,过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？,O,r,l,A,经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。,条件：,(1)经过半径的外端；,圆的切线判定定理：,(2)垂直于过该点半径；,A,l,lOA，且l 经过O上 的A点,直线l是O的切线,符号语言表达,说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，
2、结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：,定理辨析,判 断,1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）,1、如何判定一条直线是已知圆的切线？,(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；,(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；,(3)过半径外端点且和半径垂直的直线是圆的切线；,(d=r),归纳：,例1 直线AB经过O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是O的切线.,证明:连接OC,OA=OB,CA=CB,OAB是等腰三角形,
3、OC 是底边AB上的中线,OCAB,AB是O的切线,O,C,B,A,这种证明方法简记为：“证切线，连半径，证垂垂直”,注意：使用此方法时必须已知直线与圆有一公共点。,练习1、如图4，AB是O的直径，ABC=45，AC=AB，AC是O的切线吗？为什么？,B,A,C,O,解：AB=AC ACB=ABC=450 BAC=900 即ABAC AB是O的直径 AC是O的切线,变式练习,练习2、如图:线段AB经过圆心O，交O于点A、C，BAD=B=30，边BD交圆于点D。BD是O的切线吗？为什么？,A,O,B,C,D,解：BD是O的切线,连接OD OD=OA ODA=BAD=B=300 BOD=600 O
4、DB=900 即：ODDB BD是O的切线,变式练习,证明：连结OP。AB为直径 OB=OA，BP=PC，OPAC。又 PEAC，PEOP。PE为0的切线。,练习3,ABC中，以AB为直径的O，交边BC于P，BP=PC,PEAC于E。求证:PE是O的切线。,变式练习,例2:已知：O为BAC平分线上一点，ODAB于D,以O为圆心，OD为 半径作O。求证：O与AC相切。,O,A,B,C,D,证明：过O作OEAC于E。AO平分BAC，ODAB OEOD OD是O的半径 AC是O的切线。,小 结,例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这
5、直线垂直。简记为：连半径,证垂直。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。,.,O,A,L,思考,如图：如果直线L是O的切线,切点为A,那么半径OA与直线L是不是一定垂直呢?,一定垂直,切线的性质定理:,圆的切线垂直于过切点的半径,直线L是O的切线，A是切点。LOA于A点,简记为：“知切线，连半径，得垂直”,探索切线性质,假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,则OMOA,即圆心到直线CD的距离小于O的半径,因此,CD与O相交.这与已知条件“直线与O相切”相矛盾.,所以AB与CD垂直.,例
6、3如图，AB是O的直径,C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分DAB,证明：连接OC,CD 是O的切线，OCCD.,又ADCD,OC/AD.ACO CAD.,又OC=OD,CAO ACO,CAD CAO,故AC平分DAB,1，如图：AC是O的切线，B=600。求CAD=,B,A,C,O,D,A,O,C,B,2，如图：以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C是切点，求证：C是AB的中点。,变式练习,已知如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，O与腰AB相切于点D。AC与O相切吗？为什么?,E,解：AC与O相切 连接OD,作OEAC OEC=900 AB是
7、O的切线ODAB,ODB=900=OEC AB=AC B=C O是BC的中点OB=OC OBDOCE OD=OE AC与O相切,变式练习,课堂小结,1.判定切线的方法有哪些？,直线l,与圆有唯一公共点,与圆心的距离等于圆的半径,经过半径外端且垂直这条半径,l是圆的切线,2.常用的添辅助线方法？,直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）,l是圆的切线,l是圆的切线,3.圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。,辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。
8、即“连半径，得垂直”。,1.切线和圆只有一个公共点.,2.切线和圆心的距离等于半径.,3.切线垂直于过切点的半径.,4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.,5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.,切线的性质：,切线的性质、可归纳为:已知直线满足a.过圆心,b.过切点,c.垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论.,总结：,已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，以腰DC的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切，梯形的上底 AD 与底 BC 是方程 x 210 x+16=0 的两根，求 E 的半径 r.,F,解：连接EF,x 210 x+16=0,(X-2)(X-8)=0,X1=2 X2=8,
9、BC=8 AD=2,AB是O的切线,EFAB,ABBC,EF/BC/AD,E是DC的中点 EF是梯形ABCD的中位线,EF=(AD+BC)=5,拓展提高,切线的性质定理的应用,例.已知RtABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与C相切,解:(1)过点C作CDAB于D.,AB=8cm,AC=4cm.,A=60,因此,当半径长为 cm时,AB与C相切.,B,B=30,1.AB是O的弦,C是O外一点,BC是O的切线,AB交过C点的直径于点D,OACD,试判断BCD的形状,并 说明你的理由.,巩固练习,2、矩形的两边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（）A、0条 B、1条 C、2条 D、3条,D,3、已知如图ABC内接于O，过点A作直线EF，AB为直径,还需添加的条件是.使得EF是O的切线。,1、已知：P为O外一点，以OP为直径作圆交O于A、B两点，连接PA、PB那么PA、PB是O的切线吗？,A,B,你一定能行,3.AB是O的直径,AE平分BAC交O于点E,过点E 作O的切线交AC的延长线于点D,试判断AED的 形状,并说明理由.,
