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1、第五章 留数及其应用,5.1 孤立奇点,一、引言,本章重点解决闭路积分问题。,如图，考虑积分,(1)若 在 G 上连续，在 D 上解析，,则,(2)若 在 D 上有唯一的奇点,则,此时，将函数 在 点的邻域内进行洛朗展开，,由,则积分“不难?”得到。,所谓函数 的零点就是方程 的根。,则称 为 的 m 阶零点。,即在零点的一个小邻域内，函数无其它零点。,二、零点,二、零点,(1)为 的 m 阶零点。,(2),其中，,(3)在 内的泰勒展开式为,充要条件(如何判断零点的阶数?),其中，,二、零点,充要条件(如何判断零点的阶数?),(1)为 的 m 阶零点。,(2),(3)在 内的泰勒展开式为,例
2、,故 为 的一阶零点。,例,故 为 的三阶零点。,是 的三阶零点。,是 的三阶零点。,方法一,方法二,是 的二阶零点。,是 的二阶零点。,三、孤立奇点,邻域 内解析，,则称 为 孤立奇点。,例,为孤立奇点。,例,原点及负实轴上的点均为奇点，,但不是孤立奇点。,例,(1)令,为孤立奇点；,但不是孤立奇点。,四、孤立奇点的分类,根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类,将 在 内,展开为洛朗级数：,则称 为 的可去奇点。,(即不含负幂次项),则称 为 的 N 阶极点；,(即含有限个负幂次项),特别地，当 时，称 为 的简单极点。,(即含无限个负幂次项),则称 为 的本性奇点。,小结,(2
3、)N 阶极点,(3)本性奇点,不存在且不为,(常数)；,(该条件只能判断是极点),N 阶极点,五、如何进行孤立奇点的分类,(不含负幂次项),由,如果约定 在 点的值为 1，,则 在 点,就解析了，,因此称 为 的可去奇点。,考察极限,(含无穷多个负幂次项),由,(含有限个负幂次项，且最高负幂次为 2),由,可见，为 的二阶极点。,由,可见，为 的三阶极点。,六、如何判断极点的阶数,则 为 的 N 阶极点。,其中 在 点的邻域内解析，,且,六、如何判断极点的阶数,零点，,且 为 的 n 阶零点，为 的 m 阶,(2)当 时，,即,为 的可去奇点。,为 的(n-m)阶极点。,是 的一阶极点。,是
4、的二阶极点。,故 是 的一阶极点。,由于 是 的一阶零点，,但不是 的零点，,由于 是 的二阶零点，,故 是 的二阶极点。,故 是 的二阶极点。,将 在 的去心邻域内的洛朗级数，有,因此，为 的二阶极点。,且是 的二阶零点，,故 是 的二阶极点。,故 是 的二阶极点。,什么情况下会出现本性奇点呢?,且是 的一阶零点，,且是 的一阶零点，,为可去奇点。,为可去奇点。,上述函数都有一个共同点：,为本性奇点。,为本性奇点。,为本性奇点。,考虑下面两类函数：,小结,(2),(1),可去奇点,N 阶极点。,可去奇点,本性奇点?,附：不恒为零的解析函数的零点是孤立的,即得不恒为零的解析函数的零点是孤立的。,由 在 处解析，有 在 处连续，,令,则必存在,有,故 在 的去心邻域内不为零，,当 时，,又当 时，,附：关于函数零点的充要条件的证明,若 为 的 m 阶零点，由定义有,附：关于函数零点的充要条件的证明,(1)(2)：,在 处解析且,而,附：关于函数零点的充要条件的证明,(2)(3)：,证明,(采用循环证明的方法完成其等价性的证明),若,其中，,将 在 内泰勒展开，得,附：关于函数零点的充要条件的证明,(3)(1)：,证明,(采用循环证明的方法完成其等价性的证明),若 在 内的泰勒展开式为,即得,
