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1、第三章 行波法和积分变换,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,考虑代换,利用复合函数求导法则得,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,同理有:,代入方程，得到,在上式中对 积分,得,(是 的任意可微函数),3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,再将此式对 积分,其中 都是任意二次连续可微函数.,利用初始条件，确定两个函数的具体形式。,由第二式得,.,其中,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,由,解得,代入通解表达式，得,达朗贝尔(DAlembert)公式.,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,图 3-1,t=0,t=1/2,t=2,考虑 的物理意义,随着时间t
2、的推移u2的图形以速度a 向x轴正向移动.,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,在 平面上斜率为 的两族直线,对一维波动方程的研究起到重要作用,称这两族直线为一维波动方程的特征线,变换,称为特征变换,行波法也叫特征线法.,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,的积分曲线,这个常微分方程称为它的特征方程.,一维波动方程,的两族特征线,恰好是常微分方程,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,一般的二阶线性偏微分方程,它的特征方程为,(*),这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的特征曲线.,记,称其为二阶线性偏微分方程的判别式,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公
3、式,可以证明，当 时，有两条相异的实特征线因此特征线法对双曲型方程都是有效的，沿着特征线做自变量替换 总可以把双曲型方程化为,从而得到方程的通解,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,例 求下面问题的解:,(3.1),解:特征方程,两族积分曲线为,做特征变换,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,代入方程化简得:,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,它的通解为,其中,是两个二次连续可微函数.,于是原方程的通解为,代入初始条件,，得,第二式的两端得关于 积分得,解得,所求问题的解为,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,解 特征方程为,特征曲线为,3.1 一维波动方
4、程的达朗贝尔公式,所以，做变换,则原方程可以变为,其中,是任意的二次连续可微函数.,于是，方程的通解为,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,3.2 三维波动方程的泊松公式,研究波在空间传播问题.,三维波动方程的初值问题,一、球对称情形,球坐标系,若 仅是 r 的函数,则是r 和 t 的函数,此时称定解问题是球对称的。,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,球对称波动方程,进一步有,对球对称问题,球对称情形下，三维波动方程边值问题可化为,这个问题我熟悉！,由达朗贝尔公式,二.一般情况,令,表示 在球面 上的平均值。,其中M=M(x,y,z),是球面 上的点,二.一般情况,令,表示以 M 为中心
5、的单位球面，,表示 上的面积元素，,表示单位球面上的面积元素，,即,而,以下推导 所满足方程及初始条件。,3.2 三维波动方程的泊松公式,进一步有：,两边关于 r 求导，得,得,由,3.2 三维波动方程的泊松公式,即,可得：,由,由初值条件和 的表达式，有：,其中 分别是函数 在 上的球平均值。,满足如下定解问题：,所以,解方程组得,将 延拓到r0的范围内。并且,同理 也是偶函数,利用,所以,由于，只考虑 的情形,利用洛必达法则,即,简记成,三维波动方程的泊松公式,三、泊松公式的物理意义,从泊松公式出发，解释波在三维空间的传播现象.,设 且，,1.在任一固定点 的振动情况,设，由 沿以 M 为
6、中心，at 为半径的球面的曲面积分所决定。,M 点处于静止状态，说明 T 的振动尚未达到 M 点。,当 时，不为空集，,所以M点处于振动状态,表明 T 的振动已传到 M 点。,当 时，为空集，说明振动已 传过 M 点，M 点仍回复到静止状态。,2.在某固定时刻，初始时刻的振动所传播的范围,设，T 是半径为 R 的球体。由Poisson公式，只有与 M 相距为 的点上的初始扰动能够影响 的值，故 P 点的初始扰动，在时刻 只影响到以 P 为球心，以 为半径的球面,当 P 在 T 内移动时，球面族的包络面所围成的区域即为 T 内各点的振动在 时刻所传播的区域，称为 T 在时刻 的影响区域。,总之，
7、三维空间中有限区域 T上的初始振动，有着清晰的前阵面和后阵面，对空间的任一点，振动传过后，仍回复到平衡状态，这种只在有限时间内引起振动的现象称为 Huygens 原 理。,在 足够大时，包络面以T 的心o(T)为心，分别以 和 为半径的球面所夹部分。故 时刻的影响区域为 的球壳，球面 是振动到来的前峰，称为波的 前 阵 面,球面 是振动传过后的后沿，称为波的后阵面。,解,例.设已知三维波动问题中的初位移，初速度分别为：,求解相应的Cauchy问题。,三.降维法及二维波动方程,考虑二维波动方程的初值问题,设解为,令，则,由泊松公式,球面 在平面 上投影 为,设其上面积微元为，则由投影关系有：,其
8、中 v 表示 dS 的单位法向量与 之夹角，,又上、下两球面的投影有对称关系，故,柱面波,3.3 积分变换法,3.3 积分变换法,常见的两种积分变换-傅立叶变换-拉普拉斯变换.,如果 满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:,如果函数 在 上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下,有时把 记为。,一.傅立叶变换,反演公式,3.3 积分变换法,傅立叶变换的性质:,1）线性性质 设 f,g 是绝对可积函数，是任 意复常数，则,2）微分性质 设 f,绝对可积函数，则,3）乘多项式 设 f,x f 绝对可积，则,3.3 积分变换法,4）伸缩性质 设 f(x)绝对可积，则,6）卷积性质 设f,g 是绝对可
9、积函数，令,则,5）平移性质 设 f(x)绝对可积，则,3.3 积分变换法,例 用积分变换法解方程：,解：作关于 x 的傅立叶变换,方程可变为,设,3.3 积分变换法,可解得,由于,即,则,3.3 积分变换法,从而方程的解,3.3 积分变换法,例 用积分变换法解方程,解：作关于 的傅立叶变换。设,方程变为,3.3 积分变换法,用常数变易法可解得,而,则,3.3 积分变换法,利用反演公式有,3.3 积分变换法,例 用积分变换法求解初值问题：,解：作关于 x 的傅立叶变换。设,3.3 积分变换法,于是原方程变为,满足初始条件,3.3 积分变换法,齐次方程的解,设非齐次方程的解为,3.3 积分变换法
10、,令,则,3.3 积分变换法,代入方程,得,3.3 积分变换法,积分,3.3 积分变换法,方程通解为,由初始条件,取傅立叶逆变换，得,其中,的傅立叶变换.,所以 取傅立叶逆变换，得,3.3 积分变换法,傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法,但1.傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积,大部分函数不能作傅立叶变换,2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义,研究混合问题时失效.,3.3 积分变换法,二.拉普拉斯变换,定义:f(t)定义在 上，若其满足下列条件f(t)分段光滑；存在常数 M 和 使得 则称f(t)为初始函数,称为f(t)的增长指数.,反例,3.3 积分变换法,定理:设f(
11、t)是一以 为增长指数的初始函数,则经变换得到的函数F(p)是 上的解析函数.,上述变换称为拉普拉斯变换,3.3 积分变换法,例,3.3 积分变换法,反演公式：在 f(t)的每一个连续点均有,其中，,3.3 积分变换法,基本性质:,1）线性性质 设 f,g 的拉普拉斯变换分别 为L(f),L(g),是任意复常数，则,2）微分性质 假设,则,3.3 积分变换法,6）卷积性质,定义,4）延迟性质,5）伸缩性质,则,3）积分性质,3.3 积分变换法,例 设 求解常微分方程的初值问题,解 对 进行拉普拉斯变换,设,则,3.3 积分变换法,于是原方程变为,由上式得:,对 进行拉普拉斯逆变换,得,3.3
12、积分变换法,解 问题归结为求解下列定解问题:,例 一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0，求杆上温度分布规律。,3.3 积分变换法,对 t 进行拉普拉斯变换,怎么变换？,为什么？,知道 的值了,方程通解为,表示温度，当 时，一定有界，所以 亦有界，从而.,对 t 进行拉普拉斯变换，设,于是原问题变为,3.3 积分变换法,由边值条件可知，即,对 p 进行拉普拉斯逆变换，有,3.3 积分变换法,于是,查表得,而,易证,3.3 积分变换法,所以,于是,3.3 积分变换法,例 设 求解下面定解问题,解 对 进行拉普拉斯变换,则原方程 变为,即,3.3 积分变换法,由条件 得,解得,对 取拉普拉斯逆变换，得,3.3 积分变换法,数学物理方程+定解条件,解,常微分方程+定解条件,解,积分变换,逆变换,3.3 积分变换法,如何使用积分变换法求解定解问题：,选取恰当的积分变换，对某个（某些）自变量作积分变换，得到象函数的含参变量的常微分方程；2）对部分定解条件取相应的积分变换,导出象函数方程的定解条件；3）解关于象函数的定解问题,求出象函数；4）将象函数取积分逆变换，即得原定解问题的解.,3.3 积分变换法,1）傅立叶变换的取值范围是，拉普拉斯变换的取值范围是。,2）注意定解条件的形式。假如对 进行拉普拉斯变换，而原方程为 阶方程，则定解条件中应出现,需要注意,3.3 积分变换法,
