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1、一阶方程的一般形式为,本节主要研究能把导数解出来的一阶方程,的解法,这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式,几特殊类型的一阶微分方程的解法。,所以本节只讨论,特殊类型的一阶方程的求解,一阶方程有时也可以写成如下的对称形式,它既可视为以 x 为自变量以 y 为未知函数的方程,也可以视为以 y 为自变量,以 x 为未知函数的方程,很重要的观点,考虑方程,或写成,两边积分得,但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解,如,困难就在于方程的右端含有未知函数,积分,求不出来,为了解决这个问题,方程的两边同乘以,使方程变为,这样变量 x,y 已经分离在等式的两端,两边积分得
2、,或,可以验证,是方程的通解,注,y=0 也是方程的解，但不包含在通解中,称为奇解,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,这类方程的特点是,经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和其微分,解法,分离变量法,为微分方程的解.,求解步骤,分离变量,两边积分,得到隐式通解或通积分,(或写成y(x)(y),讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程:,是,不是,不是,是,是,是,y1dy2xdx,dy(3x25x)dx,y(1x)(1y2),10ydy10 xdx,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C 为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因
3、此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解 y=0),二、典型例题,练习 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C=1,(C 为任意常数),故所求特解为,例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C 为任意常数),所求通解:,练习:,解 分离变量,即,(C 0),解,由题设条件,衰变规律,解,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,6分钟后,车间内 的百分比降低到,例6.,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,三、小结,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐式通解.,注,分离变量时，注意检查是否有漏解，特别是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分母不等于0）,思考题,求解微分方程,思考题解答,为所求解.,练 习 题,练习题答案,
