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1、1,1,新课程的-五个重要思想,浙江省象山中学 蒋 亮,函数思想几何思想运算思想算法思想统计和随机思想,一、函数思想,以运动变化的观点，分析和研究具体问题的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决。,以函数的概念和思想统一数学教学内容。英国数学家 贝利,函数概念应该成为数学教育的灵魂，以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它的周围，进行充分地综合。德国数学家 克莱英,函数思想的发展脉络,小学：1、认识数量；2、从已知量到未知量（飞跃）；3、从代数式到方程。,初中：1、从常量到变量（飞跃）；2、从变量到函数。,初中函数的定义：设在一个变化过程有两个变量x,y,如
2、果对于x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x 的函数.初中的变量说，实际上是宏观观察，主要考察两变量的变化趋势和性态，给人以自然、形象、直观、动态之感。抓住了函数的本质。,高中：1、精化函数的定义（对应说）；高中的对应说则是微观的分析，它规定了变量的取值范围，抓住了两变量的对应本质，凸显其细腻、入微、静态、具体的一面。,高中：2、构造具体的初等函数；指数函数、对数函数、幂函数（必修1）三角函数（必修4）3、体验函数的应用（必修4）；4、以函数思想统领教学内容。数列-特殊的函数（必修4）不等式-函数的局部（必修5）方程-函数与X轴的交点（必修1）,大学：1、数学化函数的定义（序偶说
3、）；设R是一个二元关系，如果还满足：若 则，我们称R为函数关系。“关系说”强调本质的序偶关系，严格抽象，是完全数学化了的概念。如果说“变量说”是原始的定义，“对应说”是近代的定义，那么“关系说”则是现代的定义。,大学：2、高等函数研究：数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析；3、以函数思想统领教学内容：群结构中的同态、同构；度量结构中的保距；拓朴结构中的同胚；序结构中的保序。,在整个高中过程中，加深对“函数思想”的理解，抓住“函数思想”的本质，不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的好处。,二、几何思想,几何是数学中这样的一个部份，其中视觉思维占主导地位，而代数是数学中
4、有序思维占主导地位的部份，这种区分也许用另外一对词更好，即“洞察”与“严格”，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。英国数学家 M.阿蒂亚,几何思想：把握图形的能力。即：空间想象能力、直观洞察能力、用图形的语言来思考问题的能力。,几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。几何学不只是数学的一个分支，而且是一种思维方式，它应该渗透到数学的所有公支。,几何思想的落实途径:,几何本体：1、立体几何(必修2)；2、解析几何(必修2)；3、空间向量与立体几何(选修2);4、圆锥曲线（选修1、2）。,几何思想的落实途径:,几何思想的载体：1、函数与图像(必修1)；2、算法与框图(必修2)；3、概率与几何概率(必修
5、3);4、统计与图表（必修3）；5、平面向量与空间向量（必修4）6、线性规划（必修5）。,在整个高中教学过程中，要把“把握图形的能力”作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终。,1、认清学习几何的目的:,学习几何的目的：是培养学生把握图形的能力，培养空间想象能力，运用图形语言思考问题的能力。,2、在立体几何教学中，要突出:直观感知、操作确认思辩论证、度量计算的几何思想。,、通过直观感知、操作确认获得几何图形的定理和性质：,建议1：以长方体为载体导出立体几何的八大定理：例1：垂直于同一平面的两直线平行。,建议2：处理几何证明时，要充分发挥几何直观的作用：例2：垂直于同一平面的两直线平行。,建议3：
6、要把提高图形语言的分析能力贯穿于几何证明的始终。例3：已知正三棱柱的底面边长为8，对角线B1C=10，求证：AB1面C1BD,建议4：坚持从整体到局部，从局部到整体，从外到里，从里到外，全方位地认识、剖析图形。例4：长方体与异面直线（整体到局部），三视图（局部到整体），四面体与六面体（从里到外），切割与拼补（从外到里）,、通过思辩论证、度量计算感受数学的严谨性：,建议：公理定理体系化：四大公理、九大定理推理思路模式化：线线线面面面线面线线书写表达符号化：空间概念降维凸显化：,浙江省07年高考题：要在边长为16的正方形草坪上安装喷水龙头，假设每个喷水龙头的喷洒范围是半径为6米的圆面，则需安装这种
7、喷水龙头的个数最小是？,3、在解析几何教学中，要凸显“以形定式、以式论形”的几何思想。,、强调坐标系是联系代数与几何的桥梁，是解析几何的基本环境。,强化用解析几何解题的基本步骤：A）建系；B）坐标化；C）用解几知识解题；D）实际情况检验。,、教学中要渗透两个表示的几何思想：,几何图形可以表示代数性质；代数方程可以解读几何图形。,例5、几何图形表示代数性质,例6、代数性质解读几何图形如两直线的位置关系：A1X+B1Y+C1=0，A2X+B2Y+C2=0若 则两直线相交；若 则两直线平行；若 则两直线重合。,浙江省07年高考题：将y=f(x)与y=f(x)画在同一坐标系中，不可能的是：,、用函数思
8、想统领直线与圆的方程：,二元一次方程f(x,y)=0,若能写成y=f(x),则为一次函数，有关函数的性质可以通过方程的直线得到进一步的验证。,圆的方程f(x,y)=0,不能写成y=f(x),故两变量之间不是函数关系，但是它可以看作是两个函数的组合；可以看作是单值函数的拓广；可以看作是二元函数z=f(x,y)的局部性质。,4、在向量教学中，要做好向量的代数性与几何性两篇文章。,、突出向量的几何性：向量是可以直接研究几何的一种工具。,强化用向量解题的基本步骤：A）取基；B）基底化；C）用向量知识解题；D）实际情况检验。,解析几何、向量都是研究几何体的一种工具，应用时，要先营造进入环境。,例7、余弦
9、定理的证明。,、突出向量的代数性：,A、平面向量是一维数轴的拓广。,道德经说：“道生一，一生二，二生三，三生万物”。由一产生二，区分单数和复数，从数量到向量，数学地反映了个别到一般、简单到复杂的事物发展过程。直线是一维的，平面是二维的，空间是三维的。爱因斯坦研究四维的“时间-空间”。一般地，可以研究N 维空间。,假定我们有两种商品：A，B。顾客甲买了 a 单位的货物A，顾客乙买了b单位的货物B。那么我们用（a,b）表示甲的购物向量。同样，顾客乙也可以构成购物向量（c,d）。两位顾客的总购物向量便是两个向量相加，等于(a+c,c+d)。如果商品A，B 的价格分别是（x,y），那么顾客甲的付款数的
10、两个向量的数量乘积：(a,b)(x,y)=ax+by。这样，向量就可以运算了。而且是那么的自然。,B、利用向量的代数法验证向量所满足的运算律。,代数的基本特征就是运算；向量极大地丰富了运算对象与运算规律；运算与运算律与高等数学接轨。解析a+b+c的意义,、宏观地认识欧氏几何、解析几何、向量几何：,欧氏几何：公理定理；运用逻辑推理的方法解决几何问题；,解析几何：坐标系坐标与方程；运用解析法解决几何问题；,向量几何：基底向量运算；运用向量法解决几何问题；,5、线性规划是几何思想的重要载体，其包含的函数思想与几何思想，在高中阶段无法由其它内容所替代。,、线性规划是几何的：可行域与等高线是线性规划的几何直观。,、线性规划是代数的：高中阶段唯一的多元函数z=f(x,y),可行域目标函数的定义域；等高线目标函数的变化趋势。,有人说抽象思维与形象思维是密不可分的，形象思维体现要数学上就是用图形说话，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是基本的数学素质。如果仅仅把几何理解为培养形式的载体，那就太小看几何了。,2007年6月13日,再见！,
