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1、塑性力学 期末复习,第一章 绪 论,弹性与弹性变形,塑性与塑性变形,塑性力学的基本假设,弹性区与塑性区,塑性变形的特点,塑性力学的主要研究内容,重点：基本概念 简化模型,比例极限,弹性极限,屈服极限,虎克定律,强化阶段,塑性阶段,后继屈服极限,简单拉伸实验,压缩试验,包辛格效应,静水压力试验,简化模型,（1）理想塑性材料 理想弹塑性 理想刚塑性,（2）强化材料 线性强化弹塑性 线性强化刚塑性 幂强化,第二章 应力状态理论,一点的应力状态 剪应力互等定理主应力 应力张量不变量 八面体应力,重点：一点的应力状态、平面应力状态 和空间应力状态的基本公式,主应力与主平面,斜截面上的正应力和剪应力：,主
2、应力方程：,应力张量不变量：,由主应力方程可求得三个主应力将求得的任一个主应力代入：,方向余弦满足条件：,即,联立得到,求出主应力所在平面方位,平均应力,应力球张量不引起塑性变形,应力偏张量引起塑性变形,应力偏张量不变量,八面体面（或等倾面）,正应力和剪应力,=,等效应力（或应力强度）,等效剪应力（或剪应力强度）,最大最小剪应力：,斜面上的剪应力,莫尔应力圆,表示应力状态的Lode参数：,应力Lode参数的物理意义：,1、与平均应力无关,2、其值确定了应力圆的三个直径之比,3、如果两个应力状态的Lode参数相等，就说明两个应力状态对应的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同,Lode参数是排
3、除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。,例2.1 已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定,即x3,y0,z0,xy1,yz 2,zx 1,应力单位为MPa。试求该点的主应力值。,解:,解得主应力为:,代入,例2.2 已知结构内某点的应力张量如式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。,解:,等效应力:,主应力:,也可由主应力求等效应力,第三章 应变状态理论,小变形情况下，应变分量与位移分量的关系,(几何方程/柯西几何关系),张量形式,重点：应变分量、主应变及应变不变量的定义,应变张量不变量,平均线应变,应变球张量及偏张量,如体积
4、不变,应变偏张量不变量,还可以写成：,八面体面上的正应变：,剪应变：,等效应变（应变强度）,等效剪应变（剪应变强度）,=,最大剪应变,表示应变状态的Lode参数,几何意义：应变莫尔圆上Q2A与Q1A之比,应变协调方程（判断某点应变场成立）,保证物体在变形后不会出现撕裂，套叠的现象,第四章 屈服条件和塑性本构关系,重点：屈服条件、加载规律和塑性流动法则,屈服函数,应力空间,等倾线,平面,屈服曲面和屈服轨迹,应变空间,平面上的点所代表的应力状态是偏张量，其球张量为零,等倾线上的点所代表的应力状态是球张量，其偏张量为零,Tresca屈服条件,认为最大剪应力达到极限值时开始屈服:,Tresca屈服条件
5、的完整表达式,Tresca屈服条件常用在主应力大小顺序为已知的问题上,p平面上的屈服曲线(正六边形),主应力空间内的屈服条件(正六边形柱面),平面应力状态的屈服条件（s3=0）,常数k值由简单拉伸实验或纯剪实验确定,ss=2ts,Mises屈服条件,用连接p平面上的Tresca六边形的六个顶点的圆来代替原来的六边形，即：,常数C值由简单拉伸实验或纯剪实验确定,在主应力空间中，Mises屈服面将是圆柱面，在3=0的平面应力情形,Mises屈服条件可写成:,两种屈服条件的关系,若规定简单拉伸时两种屈服条件重合，则Tresca六边形内接于Mises圆，且,若规定纯剪时两种屈服条件重合，则Tresca
6、六边形外接于Mises圆，且,加载条件 和 加载曲面,初始屈服曲面,加载曲面（后继屈服面）,强化现象,加载函数,加载准则,对强化材料,对理想塑性材料,当采用Mises屈服条件时,当采用Mises屈服条件时,注意：加载或卸载都是对一个点上的整个应力状态而言。如是加载，则在所有方向上都要使用塑性应力应变关系；如是卸载，则在所有方向上都要使用弹性应力应变关系。,应力增量保持在屈服面上就称为加载返到屈服面以内时就称为卸载,简单加载,复杂加载,加载路径是通过原点的直线,加载路径可以是通过原点或不通过原点的曲线或折线,简单加载原理,强化假设,Tresca屈服条件和Mises屈服条件只适用于理想塑性材料；或
7、者只作为强化材料第一次开始屈服的初始屈服面，而不能正确描述已进入塑性阶段并己产生一定塑性变形（强化）以后的屈服性质。,等向强化假设,随动强化假设（运动强化假设）,q为强化参数，恒为正值,加载曲面（即强化条件）,h为随材料而不同的常数，可由实验确定,塑性本构关系,全量理论/形变理论,建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的关系,增量理论/流动理论,描述材料在塑性状态时应力与应变速度或应变增量之间关系的理论,均与Drucker公设有密切关系,稳定材料,不稳定材料,应力增加，应变随之增加,应变增加，应力减少称之为应变软化,Drucker 公设,对稳定材料，在整个应力循环中做功不小于零,推
8、论1：屈服曲面一定是外凸的。(两个矢量的夹角是锐角),推论2：塑性应变增量垂直于屈服曲面。,推论3：塑性应变增量可用屈服 函数的梯度表示。,在任何按照应力闭合的过程中附加应力所做的功非负,伊柳申 公设,在任何应变空间内闭合的等温过程中应力所做的功非负,增量理论（流动理论）,当材料进入塑性状态时，将满足屈服条件,弹性或刚性状态,进入塑性状态,总变形速度是弹性变形速度与塑性变形速度之和,变形偏量,常用表达式,应力速度偏量,弹性极限内应力和应变之间的关系,塑性状态时，材料是不可压缩的,Levy-Mises理论,假设材料是理想塑性材料，还认为材料达到塑性后，由于塑性变形较大，总应变即等于塑性应变，即假
9、设材料符合刚塑性模型,应力应变方程式,注意：对于理想塑性材料，应变分量的增量与应力分量之间没有单值的关系,如果已知应变增量，可求得应力偏量的分量，一般不能求出各个方向的主应力分量；如果已知应力分量，则能求出应力偏量，但不能求得应变增量的分量数值，只能求得它们之间的一个比例值。,Prandtl-Reuse理论,基本假设与Levy-Mises理论的相类似，但Prandtl-Reuse理论考虑了塑性区的弹性应变部分，因而得到了不同的应力应变表达式,应力应变方程式,可写为功的速率形式,全量理论,G与材料性质和塑性变形程度有关,与广义虎克定律形式上非常相似解决具体问题比弹性力学复杂很多,应力偏量分量和应
10、变偏量分量成正比,应力应变方程式,几种理论之间的关系,在比例加载条件下，增量理论的方程积分后就得出全量理论的方程，说明了在比例加载条件下，全量理论是正确的，而几种全量理论之间也有着密切的关系。,例4.1 薄壁圆筒受拉力P和扭矩M的作用，写出该情况的Tresca和Mises屈服条件。若已知r=50mm，t=3mm，ss=400MPa，P=150kN，M=9kNm，试分别用两种屈服条件判断圆筒是否进入屈服状态。,解：,先求应力：,用Tresca屈服条件判断：,用Mises屈服条件判断：,屈服,未屈服,例4.2 试确定单向拉伸应力状态、单向压缩应力状态、纯剪切应力状态的塑性应变增量之比（理想刚塑性材
11、料）。,解：,单向拉伸应力状态：,例4.2 试确定单向拉伸应力状态、单向压缩应力状态、纯剪切应力状态的塑性应变增量之比（理想刚塑性材料）。,单向压缩应力状态：,纯剪切应力状态：,第五章 简单弹塑性问题,重点：模型简化及求解,弹塑性力学边值问题的基本方程,平衡方程+几何方程+本构关系+边界条件,(1)平衡方程,(2)几何方程,(3)本构关系,(4)边界条件,在求解弹塑性力学边值问题时，还应该注意到下列几个问题：,例5.1 图示等截面杆，截面积为A，在x=a(ab)处作用集中力P，试求弹性极限荷载Pe和塑性极限荷载Ps。若加载至Pe P*Ps时卸载，试求残余应力和残余应变。材料为理想弹塑性。,解：
12、,平衡方程：,变形协调方程：,理想弹塑性,弹性阶段：,代入变形协调方程，可得：,联立平衡方程，可得：,例5.1 图示等截面杆，截面积为A，在x=a(ab)处作用集中力P，试求弹性极限荷载Pe和塑性极限荷载Ps。若加载至Pe P*Ps时卸载，试求残余应力和残余应变。材料为理想弹塑性。,弹塑性阶段：由s1=ss，并利用平衡方程得,卸载：加载至Pe P*Ps时卸载，即DP=P*。因卸载符合弹性规律，故,例5.1 图示等截面杆，截面积为A，在x=a(ab)处作用集中力P，试求弹性极限荷载Pe和塑性极限荷载Ps。若加载至Pe P*Ps时卸载，试求残余应力和残余应变。材料为理想弹塑性。,第六章 理想刚塑性
13、平面应变问题,重点：滑移线的概念及相关公式,圣维南原理,叠加原理,滑移线及其性质和特点,沿族滑移线,沿族滑移线,Hencky方程,滑移线,滑移线的性质,(1)沿着滑移线的压力变化与滑移线和x轴所成的角度变化成比例；角度愈大 滑移线的方向变化得愈大。,(2)如果由一条滑移线l转到另一条滑移线2，则沿任何一个族的滑移线而变化的角和压力的改变值将保持常数。,Hencky第一定理,(3)假定滑移线网格中各点的坐标(x，y)，值均为已知，则只要知道滑移线网格中任何一点的值，就可定出场内各处的值。,(4)如果滑移线的某些线段是直线，则沿着那些直线的，C，C，以及应力分量 x，y，xy都是常数。,(5)如果
14、族(或族)滑移线的某一线段是直线，则被族(或族)滑移线所切截的所有(或)线的相应线段皆是直线。,(6)若沿着某一滑移线移动，则这时在交叉点处的另外一族滑移线的曲率半径的变化即为沿该线所通过的距离。,Hencky第二定理,滑移线的一般特点,塑性区的边界条件,给定n，n=-nt后,、的取值需要从整体运动状态来进行判断,刚塑性交界线：一根滑移线或滑移线的包络线,典型的滑移线场,均匀应力的滑移场,OAB及OCD区域:,简单应力滑移场,OBC区域:,第七章 塑性极限分析定理,重点：基本概念和公式，塑性极限定理及其引理,极限状态及其性质,极限载荷,极限分析定理（上下限定理）,虚位移原理,虚应力原理,最小总势能原理,最小总余能原理,最大耗散能原理,计算极限载荷的方法,(1)静力法,(2)机动法,(3)简化屈服条件法,例7.1 使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。,例7.1 使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。,例7.3 对图所示的连续梁，利用上限定理求极限载荷q,例7.3 对图所示的连续梁，利用上限定理求极限载荷q,谢 谢！,
