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1、数列的通项与求和,必记公式1.“基本数列”的通项公式：(1)数列-1,1,-1,1,的通项公式是an=_.(2)数列1,2,3,4,的通项公式是an=_.(3)数列3,5,7,9,的通项公式是an=_.(4)数列2,4,6,8,的通项公式是an=_.,(-1)n,n,2n+1,2n,(5)数列1,2,4,8,的通项公式是an=_.(6)数列1,4,9,16,的通项公式是an=_.(7)数列1,3,6,10,的通项公式是an=.(8)数列 的通项公式是an=.,2n-1,n2,2.常用的拆项公式：(1)(2)(3)(4)若等差数列an的公差为d(d0),则=,(5)(6),1.(2013新课标全
2、国卷)设首项为1，公比为 的等比数列an的前n项和为Sn，则()A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an【解析】选D.因为等比数列的首项为1，公比为 Sn=所以Sn=3-2an.,2.(2013玉溪模拟)数列an的通项公式是 若前n项和为10，则项数n为()A.120 B.99 C.11 D.121【解析】选A.由 所以a1+a2+an 即 即 解得n+1=121,n=120.,3.(2013西安模拟)如果数列an满足a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为1,公比为3的等比数列,则an=()【解析】选C.因为数列an满足a1,a2-a
3、1,a3-a2,an-an-1,是首项为1,公比为3的等比数列,那么可知an-an-1=3n-1,因此利用累加法可知,4.(2013重庆模拟)化简Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+22n-2+2n-1的结果是()A.2n+2-n B.2n+1-n+2C.2n-n-2 D.2n+1-n-2【解析】选D.因为Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+22n-2+2n-1,2Sn=2n+(n-1)22+(n-2)23+22n-1+2n,两式作差,得到Sn=-n+(2+22+2n-1)+2n,化简得到为选项D.,5.(2013滁州模拟)数列an满足a1=1,a2=2,2an+1=an+an+2,若
4、bn=则数列bn的前5项和等于()【解析】选B.因为2an+1=an+an+2，所以数列an为等差数列，因为d=1,所以an=1+(n-1)1=n,所以所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=,热点考向 1 求数列的通项公式【典例1】(1)(2013长春模拟)已知数列an中,a1=1,an=2an1+1(n2),则数列an的通项公式是_.(2)已知数列an与bn的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,b1=2,且对任意nN*，都有 Tn=2bn-2成立，求数列an，bn的通项公式.,【解题探究】(1)根据an=2an1+1(n2),可知an+1与an1+1具有什么样的关系？提示：an+1=2(a
5、n1+1).(2)根据 能得到an与an1的什么关系?由此可判断求an的方法吗?提示:可用累乘法.,【解析】(1)由an=2an1+1(n2)得an+1=2(an1+1),即所以数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2n,所以an=2n1.答案：an=2n1(2)由 知Sn=n2an,Sn-1=(n-1)2an-1(n2),两式相减得an=n2an-(n-1)2an-1,即(n2-1)an=(n-1)2an-1,所以所以=又a1=1也适合上式，因此由Tn=2bn-2,所以Tn-1=2bn-1-2(n2),两式相减得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1,所以数列bn构
6、成以b1=2为首项,2为公比的等比数列,所以bn=2n.,【互动探究】若题(1)条件变为a1=36,an+1-an=2n,试求 的最小值.【解析】由an+1-an=2n,得a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6,an-an-1=2(n-1).,将以上n-1个式子累加得又因为a1=36,所以an=n2-n+36,所以当n=6时，有最小值11.,【方法总结】求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法.(2)已知Sn与an的关系，利用 求an.(3)累加法：数列递推关系形如an+1=an+f(n)，其中数列f(n)前n项和可求，这种类
7、型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法).,(4)累乘法：数列递推关系如an+1=g(n)an，其中数列g(n)前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).(5)构造法：递推关系形如an+1=pan+q(p,q为常数)可化为(p1)的形式，利用 是以p为公比的等比数列求解；递推关系形如(p为非零常数)可化为的形式.,【变式备选】已知数列an满足a1=2,则数列an的通项公式为an=_.【解析】因为所以所以即,所以数列 构成以 为首项，为公差的等差数列，所以 所以an=2.答案：2,热点考向 2 裂项相消法求和【典例2】(2013潍坊模拟)已知数列an的各项排成如图所示的三角形数阵
8、,数阵中每一行的第一个数a1,a2,a4,a7,构成等差数列bn,Sn是bn的前n项和,且b1=a1=1,S5=15.a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10,(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a9=16，求a50的值.(2)设 求Tn.,【解题探究】(1)求a50需明确的三个问题：a50在数阵中的位置：_；bn在数阵中的位置：_；等差数列bn的通项公式及等比数列的公比：_,公比:_.(2)求Tn的两个步骤:求Sn:Sn=;观察Tn式子的特点，可判断用什么方法求Tn?提示:裂项相消法.,第10行第5个数,第n行第一个数
9、,bn=n,q=2,【解析】(1)因为bn为等差数列,设公差为d,b1=1,S5=15,所以S5=5+10d=15,d=1,所以bn=1+(n-1)1=n.设从第3行起,每行的公比都是q,且q0,a9=b4q2,4q2=16,q=2,1+2+3+9=45,故a50是数阵中第10行第5个数,则a50=b10q4=1024=160.,(2)因为所以=,【方法总结】裂项相消法求和应注意的问题(1)通项公式形如(其中a,b1,b2,c为常数)用裂项相消法.(2)裂项时要保证裂项前后相等,为此可通过通分检验裂项的正确性.,【变式训练】已知数列an是一个等差数列，且a2=5，a5=11.(1)求数列an的
10、通项公式an.(2)令 求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d，由已知条件得解得a1=3，d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n+1.,(2)存在.由(1)知an=2n+1.所以=所以=即数列bn的前n项和,热点考向 3 错位相减法求和【典例3】(2013淮南模拟)已知数列an满足a1=3，an+1-3an=3n(nN*)，数列bn满足(1)证明数列bn是等差数列并求数列bn的通项公式.(2)求数列an的前n项和Sn.【解题探究】(1)要证明数列bn是等差数列只需证明:_.(2)数列an的通项公式是:an=_=_,根据通项公式的结构特点,可用_法求Sn.,bn+1
11、bn=常数,3nbn,(n+2)3n-1,错位相减,【解析】(1)由 得所以所以数列bn是等差数列，首项b1=1，公差为所以,(2)an=3nbn=(n+2)3n-1,所以Sn=a1+a2+an=31+43+(n+2)3n-1所以3Sn=33+432+(n+2)3n-得-2Sn=31+3+32+3n-1-(n+2)3n=2+1+3+32+3n-1-(n+2)3n=所以,【方法总结】错位相减法求和应注意的问题(1)通项公式形如(其中k1,b1,k2,b2,q为常数)，用错位相减法.(2)运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n+1项中的前n项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要
12、讨论代数式是否为零.,【变式训练】(2013山东高考)设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1.(1)求数列an的通项公式.(2)设数列bn满足 求bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2,a2n=2an+1得,解得a1=1,d=2，因此an=2n1,nN*.(2)由已知当n=1时，当n2时，所以,由(1)知an=2n1,nN*，所以又两式相减得所以,【典例】已知数列an满足：a1=1,a2=且3+(-1)nan+2-2an+2(-1)n-1=0,nN*.(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列an的通项公式.(2)设bn
13、=a2n-1a2n-(-1)nln a2n，求S2n.,【解析】(1)经计算a3=3,a5=5,a6=当n为奇数时,an+2=an+2,即数列an的奇数项成等差数列,所以a2n-1=a1+(n-1)2=2n-1;当n为偶数，即数列an的偶数项成等比数列，所以 因此，数列an的通项公式为,(2)因为bn=a2n-1a2n-(-1)nlna2n=令并设数列cn,dn的前n项和分别为Tn,Tn.则,，两式相减，得=所以T2n=-1+2-3+4-+2nln 2=nln 2，所以,【方法总结】条件中含有(1)n题目的求解策略通项公式形如an=(-1)nn或an=a(-1)n(其中a为常数，nN*)等正负
14、交叉项的求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.,分类讨论思想解决数列中的求和问题【思想诠释】1.主要类型：(1)求和分类讨论，如求数列|an|的前n项和.(2)对等比数列公比的讨论,如求等比数列前n项和问题中对公比q=1和q1进行讨论.(3)对项数的奇偶进行讨论,如当条件中含有(-1)n时应讨论n的奇偶性.,2.解题思路：结合数列的通项公式及求和公式，全面分析引起结论的变化的各种情况进行分类讨论求解.3.注意事项：(1)准确确定分类对象及分类标准，要不重不漏，符合最简原则.(2)运用公式求和时要注意公式成立的条件.,【典例】(12分)(2013浙江高考)在公差为d的等差数
15、列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an.(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.,【审题】分析信息，形成思路(1)切入点:把a2,a3用a1,d表示,列方程求解.关注点:公差d有两个结果,从而有两个an.(2)切入点:令an0求出变号的项.关注点:需根据an的正负分类讨论求解.,【解题】规范步骤，水到渠成(1)由题意得,5a3a1=(2a2+2)2,2分d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4，所以an=-n+11或an=4n+6.4分(2)设数列an前n项和为Sn,因为d0,所以d=-1,an=-n+11,则由an0,即-n+110得
16、n11.所以当n11时,an0,n12时,an0.6分,所以n11时，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn 8分n12时，|a1|+|a2|+|a11|+|a12|+|an|=a1+a2+a11-a12-an=S11-(Sn-S11)=-Sn+2S11=综上所述，|a1|+|a2|+|an|12分,【点题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移(2013北京模拟)已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为-4,(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=(4-an)qn-1(q0,nN*),求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d，则解之得a1=3,d=-1.所以an=3-(n-1)=4-n.,(2)由(1)的解答可得,bn=nqn-1,则Sn=1q0+2q+3q2+nqn-1,若q1,将上式两边同乘以q得qSn=1q+2q2+3q3+(n-1)qn-1+nqn,-得,(q-1)Sn=nqn-1-q-q2-qn-1=,所以若q=1，则综上,
