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1、Chap2 极限与连续,古希腊Archimede“穷竭法”；中国魏晋时代刘徽“割圆术”；Newton“雏形”，Cauchy，Bolzano，Weierstrass等“发展完善”。,Chap2 1,数列极限,一、数列,定义1 函数 f:NR称为数列，记为xn.即xnf(n),nN,或x1,x2,xn,xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项。,几何意义：数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取,例1 讨论数列的单调性和有界性,（n重根号）,二、数列极限定义,定义2 设有数列xn.若存在常数A，使得0,NN,当nN时，|xnA|，则称xn的极限为A，或称xn收敛于A，记为,若A不存在
2、，则称数列xn无极限，或称为发散(不收敛),是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性，说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对 固定性，一旦给出，就固定这个再去找N。,N的存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足|xnA|，故不满足这种接近程度的xn仅仅有限项。,通常N具有依赖性，即NN()，但不具有唯一性。,几何意义,注 给定来找N似乎是解不等式，由于N虽然依赖于，但不唯一，因此只需要找一个N使得n N成为 的充分条件即可.这就是所谓的“适当放大法”.,适当放大法：,例7 设数列xn对常数A和0 q 1满足条件,证明,例8 设,三、收敛数列的性质,定理1（唯一性）若数列x
3、n存在极限，则其极限值必唯一.即,定理 2（有界性）收敛数列必有界。即如果xn收敛，则M0,使得nN有,推论1 无界数列必发散。,推论2 若数列,定理3（不等式性）若,即使将“xn yn”换为“xn yn”,结论也不能改为“A B”.,推论4 若,推论3（保号性）若,若将“A0”换为“A0”,则结论改为,定理4（夹逼性）设数列xn,yn,zn满足条件,例10.设,求f(x)的表达式.,四、数列极限的运算,定义3 若，则称数列 为无穷小（量）。,有限个无穷小量之和仍为无穷小；无穷小乘有界量仍为无穷小；有限个无穷小之积仍为无穷小,例11 证明 xn为无穷小的充要条件是|xn|为无穷小.,定理4（极
4、限与无穷小关系）,数列xn收敛 AR及无穷小量n使xnA+n.,定理5 若,一个公式,例12 求极限,思考,定义4 对数列,若 则称数列 为无穷大（量），记为,无穷小，无穷大和无界的关系,(A)无穷小.(B)无穷大.(C)有界的，但不是无穷小.(D)无界的，但不是无穷大.,Stolz定理 设yn严格增加，且.若,则有(A可为).,在 存在的前提下有公式,例如 xn=(1)n，yn=n,则，但,A时，结论未必成立！如xn=(1)n1n，yn=n,则,但 无极限.,推论1 若,则有,推论2 若an 0,且,则有,推论3 若an 0,且,则有,例14 求极限,Ex.求极限,五、数列收敛准则,1单调有
5、界定理 设数列xn单调增加.则当xn有上界时,xn收敛，当xn 上无界时,xn为正无穷大，且均成立,若xn为单调数列.则xn收敛 xn有界.,想一想 数列xn单调减少时的情形？,(n重根号),例15 设,例17 证明数列,e=2.7182818284是自然对数的底(lnx=logex),是无理数.,证明 存在并求之.,且xn单调增加收敛于e,yn单调下降收敛于e.,例18 设,证明cn收敛.,实际上,我们还有,定义5 数列xn中依次取出下标为n1 n2 nk 的项组成的新数列,称为xn的一个子列，记为,子列 是k的函数，而不是n的函数。且,奇子列,2 归并性定理,可用于判定数列发散。即若能找到xn的一个发散子列或两个极限不同的子列，就可断定xn发散.,命题,例19 说明数列(1)n发散。,例20 证明无界数列必有一子列为无穷大。,定理6 设xn为单调数列，A.则,例21 设,证明,当p 1时，an收敛；当p 1时，an为正无穷大.,3 Cauchy收敛准则 数列xn收敛的充要条件是：,基本列(Cauchy列)满足上述必要性条件的数列！,等价形式：,否定形式：数列xn发散当且仅当,问题：数列xn为基本列 与,pN有 等价吗？,例22 设,证明xn发散.,注 此例中，对pN有,例23 设,证明xn收敛.,思考题 如何求极限值,
