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1、什么是时间序列？时间序列的研究内容和方法模型？时间序列分析的应用？,序 言,第 1 章 差分方程,1.1 时间序列模型一般原理：时间序列通常可以分解为趋势性、季节性、循环或周期性、和无规律性这四项。前三项具有可预测性，第四项对前三项有干扰性。如果其干扰或波动大小可以被估计，那么，时间序列的预测是可以进行的。例（图1.1）：50个时间序列观测数据的分解和预测,（选自Walter Enders的书“Applied Econometric Time Series”）,该例子的数学模型：,趋势项方程,周期性方程,无规律性方程,其中，Tt 为 t 期的趋势性成分；St 为 t 期的周期性成分；It 为
2、t 期的无规律性成分；et 为 t 期的纯随机扰动项。t 期总的时间序列：,差分方程,所谓差分方程，是将变量表示为该变量滞后值、时间和其它变量的函数，它可以表示为,按照这个定义，前面例子的三个成分方程都是差分方程。但真正理解差分方程的这个定义依赖于两条：1、差分的定义或含义；2、方程的定义及含义。这两条将在1.2节的I和II中解释。,三个差分方程或时间序列的例子,随机游走（或游动）,或,例：股价模型。yt 为股价，et+1的期望值为0。即在知道第 t 期股价 yt 情况下，第 t+1期股价 yt+1 的期望值就等于yt，即,更广泛的随机差分方程,这表示市场的变化是均衡的。,结构方程和诱导方程,
3、将差分方程拆分成独立的单方程模型是很有用的。例：随机形式的萨缪尔森（1939）经典模型：,其中，yt,ct和 it分别表示 t 期的实际GDP,消费和投资。ect,eit 分别是消费和投资的随机干扰项，均值都为零。a,b 为待估参数。第三个方程表示加速原理，即在消费增长必定带来新的投资支出前提下，投资支出等于消费变动的一定倍数。这是一个结构方程，因为它表明了两个当期内生变量it和ct之间满足某个约束条件或系统结构。,（1.1）（1.2）（1.3）,诱导方程是将当期变量值表示成该变量滞后值、其它内生变量的滞后值、外生变量的当期值和过去值、以及扰动项的函数。式（1.2）或消费是一个诱导方程，但式（
4、1.3）或投资还不是诱导方程。为了得到投资的诱导方程，将式（1.2）代入（1.3）得到,诱导方程并不唯一。例如投资的诱导方程进一步可以写为,将式（1.2）和（1.4）代入（1.1）得到GDP的诱导方程,（1.4）,（1.5）,误差纠正：远期和即期价格,在即期市场可以买卖一定的商品和金融产品进行即期交割，或在规定的未来某一日期完成交割。例：外汇（或期货）设某外汇的即期（或卖出）价格为 st 美元，未来一期的远期交割（或买入）价格为 ft 美元。假设一投机者以每单位 ft 美元的价格购买该远期外汇，即在 t 期，该投机者获得外汇，并按每单位 ft 美元进行支付。于是，每交易单位在t+1期的盈利（或
5、亏损）为 st+1ft。无偏远期利率假设认为投机行为的期望收益为零，即成立,当该假设不成立，即 st+1与 ft 不一致时，后期就会进行某种调整以恢复均衡。考虑调整过程的误差纠正模型：,即变量在任何一期的变动都和变量前一期值与长期均衡的离差有关。当即期汇率st+1与远期汇率ft相等时，则即期汇率和远期汇率就倾向于保持不变。当即期汇率st+1大于远期汇率ft时，则即期汇率将会下降，远期汇率将会上升；当即期汇率st+1小于远期汇率ft时，则远期汇率将会下降，即期汇率将会上升。,1.2 差分方程及解法,差分的定义,函数 y=f(t)在变量 t 的特定值 t*处变化 h时的一阶差分定义为,将单位标准化
6、，以 h代表时期 t 处的一个单位变化，即h=1，并考虑自变量均匀分布的序列。不失一般性，去掉 t*上的星号，则得到一阶差分,同样，可从一阶差分的变化中得到二阶差分,类似地，可以定义 n 阶差分。,记号：为了方便，通常将整个序列 表示成。,差分方程的形式,考虑 n 阶常系数线性差分方程，其一般形式可以表示为,其中，xt 项称为推动过程，其形式非常广泛，可以是时间、其它变量的当期值或滞后值，和（或）随机干扰项的任一函数。的一个重要特例是,其中，bt 为常数（某些可取零），序列 et 不是 yt 的函数。于是，可以认为 只不过是一个未取定外生变量的序列。,（1.10）,式（1.10）可以写为差分算
7、子形式（）。由（1.10）得,令，则得到自回归方程,令，则得到随机游走模型,令，则得到,（1.11）,式（1.11）与通过给定导数求原函数的形式有类似之处。,进一步，式（1.11）又可以写成,易知，式（1.10）可以写成关于,的一个方程，其中 项的系数都为1。,因此，差分方程是时间序列的一种数学结构和表示，是研究时间序列的一个重要方法。,差分方程的解,差分方程的解是将未知项 yt 表示为序列 中的元素和t（也可以和序列 的一些给定值，即初始条件）的一个已知函数，使得代入到差分方程之中，满足方程式。例1：或 易知，是该差分方程的解。这里，c为任意常数。因此，其解有很多或不唯一。例2：考虑无规律性
8、方程 的解。则可以验证，该一阶差分方程的解为,这个解实际上可以从诱导方程的迭代推导出来（略）。,注意诱导方程和解的区别。,1.3 差分方程及解法,通过对y的诱导方程进行迭代，有可能得到整个y序列的解。,初始条件已知的迭代,考虑初始条件 y0已知的一阶差分方程,a.向前迭代,（1.17）,（1.18）,b.向后迭代,也得到与式（1.18）相同的结果。,初始条件未知的迭代,初始条件 y0未知时，式（1.18）也未知，即不是一阶差分方程（1.17）的解。对式（1.18）继续向后迭代，得到,（1.20）,若，则当 时，得到一阶差分方程（1.17）的一个解,（1.21）,而且，容易验证，对于任意常数 A
9、，,（1.22）,也是一阶差分方程（1.17）的解。,注：解（1.21）或（1.22）的收敛性意味着序列et的过去 值对yt的当期值的影响越来越小。,非收敛序列（或收敛性）,当，式（1.20）收敛到解（1.21）。当，式（1.20）不收敛或发散，但只要给出初始条件 y0，则可使用解（1.18）。当，一阶差分方程（1.17）可写为,使用迭代法，可得到,当初始条件 y0 给定时，（1.26）是（1.17*）的一个解。若没有初始条件，式（1.26）可能是不收敛或发散的，又未知，因此不是一个解。,（1.17*）,（1.26）,收敛性图示,右图为一个计算机随机模拟的解（1.18）的表现性质。其中，细线为
10、解的序列，实线为解的确定性部分的序列。,1.4 备选解法,对于一般的差分方程（1.10）,齐次方程,差分方程（1.10）中常数项a0和推动过程项xt都不出现时，就得到了齐次（差分）方程,齐次方程（1.30）解的一个性质是：若 为（1.30）的解，则对于任意常数 A，也是（1.30）的解。,当阶数n较高时，迭代法就显得非常复杂和困难，此时可使用其它的备选解法。,（1.10）,（1.30）,一阶差分方程的备选解法,考虑一般的一阶差分方程,则得到一阶齐次方程,（1.27）,显然，恒零序列 是齐次方程（1.27）的一个解。另外，当初始条件 y0已知且非零时，也是它的一个解。两者都包含在（1.27）的齐
11、次通解,之中，A为任意常数（此时，上式右端y0可以省略）。,（1.10*）,若 为（1.10*）的一个特解，则（1.10*）的通解为,参数 A对应于非零的初始条件y0，即。,一般差分方程的解法,对于一般差分方程（1.10），其求解方法通常为,第1步：建立齐次方程（1.30），求出它的n个齐次解,第2步：求出（1.10）的一个特解；,第3步：通解为所有齐次解的线性组合与特解之和，即,第4步：将初始条件代入通解中，确定线性组合的系数,。,1.6 解齐次差分方程,解一阶齐次差分方程,在第4节“备选解法”里已经介绍了一阶齐次差分方程,解的形式为,（1.27）,其中，A为任意常数。,一般的 n 阶（线性
12、）差分方程为,（1.10）,解二阶齐次差分方程,考虑一般的二阶齐次方程,a 待定，A为任意常数。把它代入到（1.45），得到,（1.45）,的解。猜想其齐次解也如一阶一样有相同的形式,消去 A和 a t-2之后，得到关于 a 的一元二次方程,（1.46）,(1.47),又称它为特征方程，其解称为特征根。,运用一元二次的求根公式，得个两个特征根为,(1.48),其中，,为判别式。,于是，,都是（1.45）的解，其中A1和 A2,为任意常数，且它们之和,也是（1.45）的解，即为二阶差分方程的齐次解。但是，解的性质则取决于这两个特征根 a1,a2和判别式 d。,(1.48*),情形1：判别式,此时
13、，a1和a2为两个不同的实数特征根。当a1或a2的绝对值大于1时，则二阶差分方程的齐次解(1.48*)就趋于发散。例1：,则齐次解为,其解的轨迹如右图所示，随着时间t增大，它趋于零。,则齐次解为,其解的轨迹如右图所示，随着时间t增大，它发散。,例2：,情形2：判别式,此时，a1和a2为两个重根，即,其中，A1和A2为任意常数。显然，当|a1|2时，解就发散；当|a1|2时，解就收敛。,除了 是一个解之外，可以验证 是另一个解。于是，得到了齐次解,情形3：判别式,此时，a1和a2为两个共轭的虚数特征根，即,这里，。,则,注意齐次解的表达式为,(1.48*),令，选择，使得满足,由de Moivr
14、e定理知,因 是实数，是复数，所以 必为复数，假设,其中，均为任意实数。于是，可以计算出,从齐次解的表达式(1.48*)，可得,由于 是任意常数，所以可以将齐次解写成,其中，均为任意实数。,（1.49）,三角函数表达式说明了齐次解（1.49）在时间路径上像波浪一样，其波动频率取决于 的大小。而解的稳定性则由 的值是否小于 1 或 是否大于 1 所决定。,例：,其判别式,所以，其齐次解为,其中，均为任意实数。于是，对于二阶差分方程 可得齐次解,（1.49）,当，即，则波动的增幅不变；当，即，则波动呈递减趋势；当，即，则波动呈发散趋势；,由于，所以,取,的齐次解,的齐次解,随着 的值增大，波动的频
15、率加快。,稳定性条件及其图示,情形2的稳定性条件为弧线 AOB，即,情形1的稳定性条件在AOB的上面，即,它等价于,且,情形3的稳定性条件在AOB的下面，即，且,，且,即,等号成立等价于1是一个特征根或常数解 的情形。,高阶方程,假设每一个齐次解具有形式，其中A为任意常数。代入（1.55），得到,（1.56）,考虑 n 阶齐次方程,（1.55）,两边除以，得到特征方程,（1.57）,n 阶多项式有n个根，记这n个特征根分别为。,可以为实数或复数。复数根则成对出现，相互共轭。稳定性条件要求除了为1的单特征根（对应常数解），其它特征根的绝对值都小于1或在单位园之内；否则解将发散。,所有特征根都是相
16、异实根，此时，解的表达式为,其中，为任意常数。给定n个初始条件，则可以确定它们的具体取值。,（1.57*）,齐次解的表达式,所有特征根都是实根，但有 个重根。不妨设,其中，为任意常数。特别地，或。假设互不相同的特征根有s个，则齐次方程的通解就等于这 s 个不同特征根所产生的解之和，其中含有n个参数。给定n个初始条件，就可以确定这 n个参数的具体取值。,于是，这m个重根所产生的解可以写为,一些特征根为复根，此时它们共轭出现，记一对共轭根为,其中，为任意常数。转换为极坐标，则可以写成,于是，齐次差分方程的通解就等于所有不同实或复特征根所产生的解之和；其中含有n个参数。给定n个初始条件，就可以确定这
17、 n个参数的具体取值。,，则由这对共轭根所产生的解为,其中，为任意常数。,所有特征根都位于单位圆内的必要条件为,稳定性判别条件,所有特征根都位于单位圆内的充分条件为,若，则至少有一个特征根等于1。,包含一个或多个等于1的特征根序列称为单位根序列。此时，n 阶差分方程（1.10）的解可能发散或不稳定。,对于三阶方程，稳定性条件可以写为,后两个式子中的任何一个可由其它四个式子导出。,由特征方程,，可得,1.7*求确定性过程的特解,情形1：xt=0,此时，差分方程的形式为,令解的形式为常数，即,（1.58）,代入到（1.58）之中，得到,寻找特解需要技巧，跟推动过程xt的具体形式有关。本节介绍推动过
18、程xt为确定性项的求特解方法。,所以,（1.59）,只要,，则得到（1.58）一个特解,如果,，则yt是一个单位根序列，,其齐次解已包含常数解，此时，除非a0=0；否则常数解就无效，而应该考虑线性特解，于是，线性解将出现在单位根过程中。把 代入到（1.58）之中，得到,注意到,，所以,若,，则继续尝试使用,作为解。对于n阶方程，这些解中总会有一个会是特解。,情形2：,此时，差分方程的形式为,考虑一阶方程,（1.58*）,令解的形式为,其中，,（1.60）,把上式代入（1.60），得,为使得两边对应相等，取,因此，特解就为,如果,当,，尝试使用,为使得两边对应相等，取,因此，特解就为,则可以运用
19、情形1中的技巧。,把它代入（1.60），得,作为解。,当,，该特解将收敛于。,当,，尝试使用,为使得两边对应相等，取,因此，特解就为,把它代入（1.60），得,作为解。,当,式（1.60）化为,为使得两边对应相等，取,因此，特解就为,把它代入（1.60），得,此时。,对于高阶方程，同样可以使用这类方法。此时(a1=1)，高阶方程就等价于推动过程 xt=0，常数项为 a0+b，其求解即化为情形1。,则尝试使用,情形3：,此时，差分方程的形式为,其特解形式一般为,（1.62）,把它解的形式 代入上式，得到,其中，为待定常数。,考虑 d=1 时的二阶方程,为使得两边对应相等，可解得,（1.62*）,
20、代入式（1.62*)，得到,为使得两边对应相等，可解得,若,，则令解的形式为,即,1.8*求随机性过程的待定系数法,简单情形 I：,考虑只带一个随机项的一阶差分方程,（1.64）,这一节介绍推动过程为随机性项的求特解的待定系数法。因这种待定系数法可能无解，所以称它为挑战解。,令挑战解为,其中，,（1.17）,将式（1.64）代入到式（1.17），得到,合并同类项，得到,（1.65）,式（1.65）对 t 的所有值和序列 的所有可能值都成立。因此，必须满足,求解过程可以分为独立的两组来求解，即后两个方程可以解出b0和b1，余下前面的方程组可以解出a0,a1,a2,，即,由前面的方程组,可解得,第
21、二组方程,的求解可分两种情况,。当|a1|1时，此时特解为,这个结果与用迭代法求得的式（1.21）的结果完全相同。,此时特解为,这个解的形式是不规则的，即求和有可能发散。施加初始条件,则得到解,因齐次解为，所以，当|a1|1时，就得到通解,给定一个初始条件，就可以确定常数A的值。,这个结果与用迭代法求得的式（1.26）的结果完全相同。,简单情形 II：,考虑带二个随机项的一阶差分方程,令挑战解仍为,（1.67）,代入到式（1.67），得到,因此,（1.64）,另外，比较常数项和截距项的系数，可得,其求解仍要可分两种情况：,，此时当|a1|1时，特解为,加上齐次解之后可得通解（略）。,此时特解为
22、,这个解的形式是不规则的，即求和有可能发散。施加初始条件（与前一节同理）后可得到,高阶方程,考虑带一个随机项的二阶差分方程,令挑战解仍为,（1.68）,代入到式（1.68），得到,对两边对应项分别施加相等，得到,(B),当 时，系数 的解满足二阶差分方程,(C),(C*),满足初始条件,解得,其中,方程（C*）的收敛性条件与式（1.68）的齐次方程的收敛性条件完全相同，都取决于系数a1和a2。,再来考察式（B）中参数b0,b1,b2的求解，分两种情况：,，则由式（B）可知,又可以分为两种情况：,i)。则解为,，则式（B）等价于,ii)a2=-1,a1=2。则解为,注1：由前面讨论（或参见图1.
23、5）可知，收敛性条件为,注2：挑战解也是由确定性部分和随机性部分所组成，它们实际上是独立进行的，可以分别来确定。,例：,使用求确定性部分和随机性部分分别进行的方法。容易求出确定性部分的通解为,其随机性部分的挑战解假设为,则由前面讨论可知，其系数 满足二阶差分方程,解得,于是，得到整个解为,若给定初始条y1和y2，则还可以确定A1和A2的取值。,1.9 滞后算子,定义：滞后算子L为,理论上运用滞后算子，表达上比待定系数灵活方便。,则可以得到如下一些性质和表达式：,（1.77）,常数的滞后算子为常数：分配律也适用于滞后算子，即,结合律也适用于滞后算子，即,L取负次方时，实际上为超前算子，即,当 时
24、，则,当 时，则,利用滞后算子，可将p阶差分方程,表示为,记做,其中,称为反比特征方程。它的特征根是特征方程的特征根的倒数。所以，许多文献称稳定性条件为特征根大于1，指的就是这个方程的特征根。,差分方程,可以表示为,其中,用滞后算子解差分方程,例1：考虑一阶差分方程,其中。,利用滞后算子L，式（1.17）可表示为,（1.17）,（1.78）,于是，解得,（1.79）,因为，所以,因为，所以,联合上面两式和式（1.79），得到式(1.17）的特解,（1.21）,例2：考虑一阶差分方程,其中。,利用滞后算子L，式（1.67）可表示为,（1.67）,于是,（1.80）,因此解得,例3：考虑一阶差分方程,其中。此时，实际上发散。例1的方法失效。,利用性质6，则,例如二阶方程,高阶方程中的滞后算子,n 阶差分方程,可以表示为,或,可表示为,注1：差分方程算子表示的一般模型,注2：差分方程的解也可以表示为前向形式（如例3），但前向的未来值还未发生，不能被直接观察到，所以它只具有理论意义，实际意义不大。,
