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1、第二章 模糊控制的数学基础,张 勇,2.1 概述,模糊数学(模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。,“模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于“精确”而言的。,“精确”：“老师”、“学生”、“工人”“模糊”：“高个子”、“热天气”、“年轻人”,模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数
2、”的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。,2.2 普通集合,*集合 具有特定属性的对象的全体，称为集合。例如：“内蒙古科技大学的学生”可以作为一个集合。集合通常用大写字母A，B，Z来表示。*元素 组成集合的各个对象，称为元素，也称为个体。通常用小写字母a，b，z来表示。*论域 所研究的全部对象的总和，叫做论域，也叫全集合。*空集 不包含任何元素的集合，称为空集，记做。*子集 集合中的一部分元素组成的集合，称为集合的子集。,1）集合的概念,若元素 a 是集合 A 的元素，则称元素 a 属于集合 A，记为aA；反之，称a不属于集合A，记做。,*属于,*包含,若集合A是集合B的子集，则称集合A包含
3、于集合B，记为；或者集合B包含集合A，记为。,对于两个集合A和B，如果 和 同时成立，则称A和B相等，记做A=B。此时A和B有相同的元素，互为子集。,*相等,*有限集,如果一个集合包含的元素为有限个，就叫做有限集；否则，叫做无限集。,2）集合的表示法,将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该方法只能用于有限集的表示。例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为 A=10，12，14，16，18，20,*表征法 表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。上例中的集合A也可用表征法表示为A=a|a为偶数，10a 20,2.2 普通集合,*列举法,*集合交设X，Y为两个集合，由既
4、属于X又属于Y的元素组成的集合P称为X，Y的交集，记作P=XY*集合并设X，Y为两个集合，由属于X或者属于Y的元素组成的集合Q称为X，Y的并集，记作Q=XY*集合补在论域Y上有集合X，则X的补集为,3）集合的运算,2.2 普通集合,具体算法是：在X，Y中各取一个元素组成序偶（x，y），所有序偶组成的集合，就是X，Y的直积。,*集合的直积 设X，Y为两集合，定义X，Y的直积为,4）集合的特征函数设x为论域X中的元素，A为论域X中定义的一个集合，则x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。它的值域是0，1，它表示元素x是否属于集合A。如果x属于集合A，那么的值为1；如果x不属于集合A，那么的值为0
5、。即,2.2 普通集合,(1)模糊集合的定义：,2.3 模糊集合,例2.3.1 论域为15到35岁之间的人，模糊集 表示“年轻人”，则模糊集的隶属函数可定义为,则年龄为30岁的人属于“年轻人”的程度为：,给定论域E中的一个模糊集 A，是指任意元素xE，都不同程度地属于这个集合，元素属于这个集合的程度可以用隶属函数 0，1来表示。,例，令X=R 为人类年龄的论域,模糊集合 B=“年龄在50岁左右”则表示为:,(2)模糊集合的表示法：,1）Zadeh表示法当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集可表示为：,注意：式中的“”和“/”，仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。,例2.3.2 假
6、设论域为5个人的身高，分别为172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他们的身高对于“高个子”的模糊概念的隶属度分别为0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。则模糊集“高个子”可以表示为,高个子,2.3 模糊集合,2）序偶表示法 当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶的形式表示为：,或简化为：,对于上例的模糊集“高个子”可以用序偶法表示为,高个子,或 高个子,2.3 模糊集合,3）隶属函数描述法 论域U上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示。,假设年龄的论域为U=15，35，则模糊集“年轻”可用隶属函数表征为：,该隶属函数的形状如图,2.3 模糊集合
7、,（3)模糊集合的运算,模糊集合与普通集合一样也有交、并、补的运算。,模糊集交,模糊集并,模糊集补,2.3 模糊集合,2.3 模糊集合,（4）模糊运算的性质：,分配率,复原率,2.3 模糊集合,2.3 模糊集合,2.4 水平截集,水平截集的定义 在论域U中，给定一个模糊集合A，由对于A的隶属度大于某一水平值（阈值）的元素组成的集合，叫做该模糊集合的水平截集。用公式可以描述如下：,其中xU，0,1。显然，A是一个普通集合。,2.4 水平截集,水平截集的性质,1）AB的水平截集是A和B的并集：,2）AB的水平截集是A和B的交集：,3）如果0,1,0,1且，则,2.5 模糊关系,(1)普通关系,“关
8、系”是集合论中的一个重要概念，它反映了不同集合的元素之间的关联。普通关系是用数学方法描述不同普通集合中的元素之间有无关联。,例2.5.1 举行一次东西亚足球对抗赛，分两个小组A=中国，日本，韩国，B=伊朗，沙特，阿联酋。抽签决定的对阵形势为：中国-伊朗，日本-阿联酋，韩国-沙特。用R表示两组的对阵关系，则R可用序偶的形式表示为：,R=（中国，伊朗），（日本，阿联酋），（韩国，沙特）,可见关系R是A，B的直积AB的子集。也可将R表示为矩阵形式，假设R中的元素r(i,j)表示A组第i个球队与B组第j个球队的对应关系，如有对阵关系，则r(i,j)为1，否则为0，则R可表示为：,该矩阵称为A和B的关系
9、矩阵。,由普通关系的定义可以看出：在定义了某种关系之后，两个集合的元素对于这种关系要么有关联，r(i,j)1；要么没有关联，r(i,j)0。这种关系是很明确的。,2.5 模糊关系,（2）模糊关系,人和人之间关系的“亲密”与否？儿子和父亲之间长相的“相像”与否？家庭是否“和睦”？,这些关系就无法简单的用“是”或“否”来描述，而只能描述为“在多大程度上是”或“在多大程度上否“。这些关系就是模糊关系。我们可以将普通关系的概念进行扩展，从而得出模糊关系的定义。,2.5 模糊关系,模糊关系的定义,例2.5.2 我们用模糊关系来描述子女与父母长相的“相像”的关系，假设儿子与父亲的相像程度为0.8，与母亲的
10、相像程度为0.3；女儿与与父亲的相像程度为0.3，与母亲的相像程度为0.6。则可描述为：,2.5 模糊关系,模糊关系常常用矩阵的形式来描述。假设xU，yV，则U到V的模糊关系可以用矩阵描述为,则上例中的模糊关系又可以用矩阵描述为：,2.5 模糊关系,模糊关系的运算,假设R和S是论域上UV的两个模糊关系，分别描述为：,那么，模糊关系的运算规则可描述如下：,模糊关系的相等：,模糊关系的包含：,模糊关系的并：,2.5 模糊关系,模糊关系的交：,模糊关系的补：,2.5 模糊关系,例2.5.3 已知,求：,解：根据模糊关系的运算规则得：,2.5 模糊关系,模糊关系的合成,设R是论域UV上的模糊关系，S是
11、论域VW上的模糊关系，R和S分别描述为：,则R和S可以合成为论域UW上的一个新的模糊关系C，记做,合成运算法则为：,2.5 模糊关系,例2.5.4:假设模糊关系R描述了子女与父亲、叔叔长相的“相象”关系，模糊关系S描述了父亲、叔叔与祖父、祖母长相的“相象”关系，R和S分别描述为：,求子女与祖父、祖母长相的“相像”关系C.,2.5 模糊关系,解：由合成运算法则得：,所以，,2.5 模糊关系,（3）模糊变换,2.5 模糊关系,设有二有限集X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，R是XY上的模糊关系：,设A和B分别为X和Y上的模糊集：,的隶属函数运算规则为：,则称B是A的象，A是B的原象，R是X
12、到Y上的一个模糊变换。,且满足,2.5 模糊关系,例：已知论域X=x1,x2,x3和Y=y1,y2，A是论域X上的模糊集：,R是X到Y上的一个模糊变换，,试通过模糊变换R求A的象B,解：,例2.5.6 艺术学院招生，对考生所需考察的素质有：歌舞，表演，外在。对各种素质的评语分为四个等级好，较好，一般，差。,某学生表演完毕后，评委对其评价为：,如果考察学生培养为电影演员的潜质，则对表演的要求较高，其它较低。定义加权模糊集为：,A0.25 0.5 0.25,试根据模糊变换来得到评委对该学生培养为电影演员的最终结论。,2.5 模糊关系,解：根据模糊变换可以得到评委对该学生培养为电影演员的决策集：,综
13、合评判：选取隶属度最大的元素作为最终的评语，评委的评语为“一般”,2.5 模糊关系,2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系,“天气很冷，快要下雪了”气温-下雪概率,(1)语言变量,语言变量是自然语言中的词或句，它的取值不是通常的数，而是用模糊语言表示的模糊集合。例如“年龄”就可以是一个模糊语言变量，其取值为“年幼”，“年轻”，“年老”等模糊集合。,定义一个语言变量需要定义以下4个方面的内容：,定义变量名称 定义变量的论域 定义变量的语言值（每个语言值是定义在变量论域上的一个模糊集合）定义每个模糊集合的隶属函数。,例：试根据定义语言变量的4要素来定义语言变量“速度”。,首先，定义变量名称为“速度”，记
14、做x；其次，定义变量“速度”的论域为0，200km/h；再次，在论域0，200上定义变量的语言值为 慢，中，快；最后，在论域上分别定义各语言值的隶属函数为,2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系,定义的隶属函数形状如图,(2)模糊蕴含关系,人类在生产实践和生活中的操作经验和控制规则往往可以用自然语言来描述。譬如，在汽车驾驶速度的控制过程中，控制规则可以描述为“如果速度快了，那么减小油门；如果速度慢了，那么加大油门。”下面就来介绍如何利用模糊数学从语言规则中提取其蕴涵的模糊关系。,2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系,1）简单条件语句的蕴涵关系,2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系,“如果那么”或“如果那么，
15、否则”,假设u，v 是已定义在论域U和V的两个语言变量，人类的语言控制规则为“如果u是A，则v是B”，其蕴涵的模糊关系R为：,式中，AB称作A和B的笛卡儿乘积，其隶属度运算法则为：,所以，R的运算法则为：,2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系,假设u，v 是已定义的两个语言变量，人类的语言控制规则为“如果u是A，则v是B；否则，v是C”则该规则蕴涵的模糊关系R为：,2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系,例：定义两语言变量“误差u”和“控制量v”；两者的论域：U=V=1,2,3,4,5；定义在论域上的语言值为：小，大，很大，不很大=A，B，G，C；定义各语言值的隶属函数为：,分别求出控制规则“如果u 是
16、小，那么 v 是大”蕴涵的模糊关系R1和规则“如果u 是小，那么 v 是大；否则，v 是不很大”蕴涵的模糊关系R2。,2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系,解：（1）求解R1,（2）求解R2,2）多重条件语句的蕴涵关系,由多个简单条件语句并列构成的语句叫做多重条件语句，其句型为：,如果u是A1，则v是B1；否则，如果u是A2，则v是B2；否则，如果u是An，则v是Bn。,该语句蕴涵的模糊关系为：,其隶属函数为：,2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系,3）多维条件语句的蕴涵关系,具有多输入量的简单条件语句，我们称之为多维条件语句。其句型为：,如果u1是A1，且u2是A2，且um是Am，则v是B,该语句蕴
17、涵的模糊关系为：,其隶属函数为：,2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系,2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系,解：,第一步，先求R1AB：,第二步，将二元关系矩阵R1排成列向量形式R1 T，先将中的第一行元素写成列向量形式，再将中的第二行元素也写成列向量并放在前者的下面，如果是多行的，再依次写下去。于是R1可表示为：,第三步，R可计算如下：,2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系,2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系,4）多重多维条件语句的蕴涵关系,具有多输入量的多重条件语句，我们称之为多重多维条件语句。其句型为：,如果u1是A11，且u2是A12，且um是A1m，则v是B1；否则，如果u1是A21，且u2是A
18、22，且um是A2m，则v是B2；否则，如果u1是An1，且u2是An2，且um是Anm，则v是Bn；,则该语句蕴涵的模糊关系为：,其隶属函数为：,2.7 模糊推理,常规推理：已知x，y之间的函数关系yf(x)，则对于某个x*，根据f()可以推理得到相应的y*。,模糊推理：知道了语言控制规则中蕴涵的模糊关系后，就可以根据模糊关系和输入情况，来确定输出情况，这就叫做“模糊推理”。,2.7 模糊推理,（1）单输入模糊推理,对于单输入的情况，假设两个语言变量x，y之间的模糊关系为R，当x的模糊取值为A*时，与之相对应的y的取值B*，可通过模糊推理得出，如下式所示：,上式的计算方法有两种：,1）Zad
19、eh法,2.7 模糊推理,例2.7.1 在例中，已经求出控制规则“如果u 是小，那么 v 是大”蕴涵的模糊关系为R1，现在，已知输入量u 的模糊取值为“略小”，记做A1，令A1=(1,0.89,0.55,0.32,0)求控制量v根据规则相应的取值B1。,解：,同理，可解得：,所以,2.7 模糊推理,2）Mamdani推理方法,与Zadeh法不同的是，Mamdani推理方法用A和B的笛卡儿积来表示AB的模糊蕴涵关系。,叫做和A的适配度，它是A*和A的交集的高度。,根据Mamdani推理方法，结论可以看作用对B进行切割，所以这种方法又可以形象地称为削顶法。,2.7 模糊推理,单输入Mamdani推
20、理的图形化描述（削顶法）,（2）多输入模糊推理,对于语言规则含有多个输入的情况，假设输入语言变量x1,x2,xm与输出语言变量y之间的模糊关系为R，当输入变量的模糊取值分别为A1*,A2*,Am*时，与之相对应的y的取值B*，可通过下式得到：,2.7 模糊推理,例，已知,2.7 模糊推理,试根据例中的语言规则求“e 是A*并且ec 是B*”时输出u的模糊值C*。,解：,把R2写成行向量形式，并以R2T表示，则,令,2.7 模糊推理,2.7 模糊推理,对于二输入模糊推理，还可以根据Mamdani方法用图形法进行描述：,二维模糊规则：R：IF x is A and y is B THEN z is
21、 C，可以看作两个单维模糊规则的交集：,R1：IF x is A THEN z is C，and R2：IF y is B THEN z is C。,则当二维输入变量的模糊取值分别为A*和B*时，根据R推理得到的模糊输出C*等于根据R1推理得到的模糊输出C1*和根据R2推理得到的模糊输出C2*的交集。,其运算法则为：,上式的图形化意义在于用1和2的最小值对C进行削顶。,2.7 模糊推理,（3）多输入多规则模糊推理,以二输入为例，对于多规则的情况，规则库可以描述为：,R：R1：IF x is A1 and y is B1 THEN z is C1;R2：IF x is A2 and y is B
22、2 THEN z is C2;Rn：IF x is An and y is Bn THEN z is Cn;,则当二维输入变量的模糊取值分别为A*和B*时，根据R推理得到的模糊输出C*等于所有根据Ri推理得到的模糊输出Ci的并集。,2.7 模糊推理,2.7 模糊推理,两规则二输入模糊推理图形化描述,小结,模糊集理论是模糊控制的数学基础，是描述模糊性概念的有效的数学工具。模糊集合理论是普通集合理论的拓展，它通过引入隶属函数的概念达到了对模糊概念描述的目的。本章详细地介绍了模糊集合、模糊关系的概念及其与普通集合、普通关系之间的关系、并给出了如何从人类自然语言规则中提取其蕴涵的模糊关系的方法，介绍了
23、如何根据模糊关系进行模糊推理。,作 业,已知语言变量x，y，z。X的论域为1,2,3，定义有两个语言值：“大”0,0.5,1；“小”=1,0.5,0。Y的论域为10,20,30,40,50，语言值为：“高”=0,0,0,0.5,1;“中”=0,0.5,1,0.5,0;“低”=1,0.5,0,0,0。Z的论域为0.1,0.2,0.3，语言值为：“长”=0,0.5,1；“短”=1,0.5,0则1）试求规则：如果 x 是“大”并且 y 是“高”那么 z是“长”；否则，如果 x 是“小”并且 y 是“中”那么 z是“短”。所蕴涵的x，y，z之间的模糊关系R。2）假设在某时刻，x是“略小”=0.7,0.25,0，y是“略高”=0,0,0.3,0.7,1 试根据R通过Zadeh法模糊推理求出此时输出z的语言取值。,
