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1、4 正交小波基与多分辨分析,正交小波,多分辨分析,小波函数和小波空间,信号空间L2(R)的分解,双尺度方程,标准正交小波基的构造,滤波器系数h(k)和g(k)的性质,Mallat快速算法,紧支集正交小波的性质,正交小波,定义：,正交小波,其中,小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。,正交小波,两个正交小波的例：,例4.1,经过二进伸缩与平移可得到,Haar小波,正交小波,Shannon小波,例4.2,正交小波,于是,正交小波,令,在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的
2、，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，是频率带限函数，具有好的局部化特性。,多分辨率分析是指满足下列性质的一系列子空间,1.单调性：,2.逼近性：,3.伸缩性：,4.平移不变性：,5.Riesz基存在性：,多分辨分析,参考子空间,多分辨分析,由条件(5)可证明如下定理,注：,定理：,小波函数和小波空间,信号空间L2(R)的分解,细节分量,近似分量,使用db1小波对一维信号leleccum进行 3层分解，得到近似分量和细节分量，如图示,图4-1,例4.3,双尺度方程,双尺度方程,频域表示,标准正交小波基的构造,尺度函数的性质：,低通滤波器,带通滤波器,标准正交小波基的构造,H()和()的关系：,标准
3、正交小波基的构造,H()的条件：,标准正交小波基的构造,G()的条件：,H()与G()的联合条件：,标准正交小波基的构造,两尺度序列hn的条件：,标准正交小波基的构造,hn和gn的关系：,标准正交小波基的构造,1、选择满足条件的两尺度序列hn,2、计算尺度函数,3、计算母小波,滤波器系数h(k)和g(k)的性质,Mallat快速算法,Mallat塔式快速分解算法,Mallat塔式快速重构算法,Mallat算法结构示意图,Mallat快速算法,Mallat快速算法,初始系数的选取,1、小波变换法,2、直接选取法,3、取样函数法,其中尺度函数的支撑区间是0,L，且尺度函数连续,只作不同频带的信号分
4、解时可用该法，不适于提取分形指数和作时频分析,其中,Mallat快速算法,边界效应,实际的数字信号总是有限长序列，而大多数小波滤波器的长度都大于1，所以mallat算法在信号的边界上必然将滤波器强行截去一部分后再作用于这个有限长序列来实现小波分解。这样，经过后续处理后重构得到的信号与原始信号不可避免的在边界上产生较大的误差。,边界延拓,设实际的数字信号长度为N，即c=c0,c1,cN-1，又设滤波器的长度为m。进行小波分解时只需要在信号的两端个延拓L个元素即可，其中L为m/2的上整数(大于m/2的最小整数)。,Mallat快速算法,零延拓,简单的周期延拓：N长序列以N为周期进行延拓,缺点：若输
5、入信号在边界点的值与零有很大的差别，补零 在边界处产生很大的阶跃变化，从而给这一局部引 入大量的高频成分；数据量增加,缺点：当信号序列的两端边界值相差很大时，延拓后的信 号将存在周期性的剧烈突变，在边界附近引入高频 成分,Mallat快速算法,以边界点为对称中心的周期延拓,延拓后信号一个周期内有两个对称中心。当采用有限长滤波器c(n)对延拓后的信号进行滤波时，输出信号也是周期为2N-2的周期序列。如果c(n)不具有任何对称性，那么输出信号将没有输入信号那样的对称性，为了完全重构，必须取一个完整的长度2N-2的主周期，然后下采样，使计算量增大了几乎一倍。,Mallat快速算法,但滤波器有对称性，
6、输出序列具有对称性。,此时为了完全重构，只需保留0,N-1的数据，不需要保留整周期的数据。,此时输出序列以-0.5和N-1.5为对称中心，也可只取0,N-1的数据,若滤波器的长度为偶数时，输出序列具有如下的对称性：,若滤波器的长度为奇数时，输出序列具有如下的对称性：,Mallat快速算法,边界值重复的周期延拓,采用偶数长的对称滤波器时，输出序列的对称关系为：,可只取半个主周期0,N-1的数据，然后下采样(丢弃独立的样本值x(N)，但并不影响下采样),采用奇数长的对称滤波器时，输出序列的对称性为：,此时输入序列是以-0.5和N-0.5为对称中心的偶对称序列,与前面方法不同的是，在作对称延拓时重复
7、原信号的边界值，使得s(n)成为一个长度为2N的对称序列,设三个频率为4Hz，6Hz，29Hz的正弦波叠加为,设采样区间为0,1，采样间隔为2-8秒，采样点数为256，所得离散信号为F(k)=f0,f1,f255，其中fk=f(k/256)由于28=256，可取c8,kmf(k/28)，由于重构时还需要除以m，所以可取c8,kf(k/28)采用简单的周期延拓 采取db4小波,要求对信号分解与滤波，从中滤去29Hz的成分,例4.4,解：,重构过程也进行周期延拓,利用db5小波对一维信号leleccum进行3层多尺度分解和重构。,例4.5,原始信号、近似信号、细节信号及重构信号的图形见图4-2、4-3、4-4。,解：,重构后的误差为 err=1.6717e-009,图 4-2,图4-3,图4-4,紧支集正交小波的性质,消失矩,小波的消失矩特性在实际应用其重要的作用。例如，在数据压缩中，如果小波函数的消失矩越高，则压缩倍数越大,对于给定的小波函数,紧支集正交小波的性质,由于,紧支集正交小波的性质,光滑性,
