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1、本章重点,一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；,重点,一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。,1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；,返 回,含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。,1.动态电路,7.1 动态电路的方程及其初始条件,当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,下 页,上 页,特点,返 回,例,过渡期为零,电阻电路,下 页,上 页,返 回,i=0,uC=Us,i=0,uC=0,k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：,k未动作前，电路处于稳定状态：,电容电路,下 页,上 页
2、,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,返 回,uL=0,i=Us/R,i=0,uL=0,k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：,k未动作前，电路处于稳定状态：,电感电路,下 页,上 页,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,返 回,下 页,上 页,k未动作前，电路处于稳定状态：,uL=0,i=Us/R,k断开瞬间,i=0,uL=,工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。,注意,返 回,过渡过程产生的原因,电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,电路结构、状态发
3、生变化,换路,下 页,上 页,返 回,应用KVL和电容的VCR得：,若以电流为变量：,2.动态电路的方程,下 页,上 页,例,RC电路,返 回,应用KVL和电感的VCR得：,若以电感电压为变量：,下 页,上 页,RL电路,返 回,一阶电路,下 页,上 页,结论,含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。,返 回,二阶电路,下 页,上 页,RLC电路,应用KVL和元件的VCR得：,含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。,返 回,一阶电路,一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。,描述动态电路的电路方程
4、为微分方程；,动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。,二阶电路,二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。,下 页,上 页,结论,返 回,高阶电路,电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。,动态电路的分析方法,根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；,下 页,上 页,返 回,复频域分析法,时域分析法,求解微分方程,本章采用,工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。,下 页,上 页,返 回,稳态分析和动态分析的区别,稳态,动态,下 页,上 页,直流时,返 回,t=0与t=0的概念,认为换路在t=0时刻进行,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,3.电路的初
5、始条件,初始条件为 t=0时u，i 及其各阶导数的值。,下 页,上 页,注意,0,0,t,返 回,图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。,例,解,特征根方程：,通解：,代入初始条件得：,在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。,下 页,上 页,明确,返 回,t=0+时刻,电容的初始条件,下 页,上 页,当i()为有限值时,返 回,q(0+)=q(0),uC(0+)=uC(0),换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,电荷守恒,下 页,上 页,结论,返 回,电感的初始条件,t=0+时刻,下 页,上 页,当u为有限值
6、时,返 回,L(0)=L(0),iL(0)=iL(0),磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,下 页,上 页,结论,返 回,换路定律,电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,换路定律反映了能量不能跃变。,下 页,上 页,注意,返 回,电路初始值的确定,(2)由换路定律,uC(0+)=uC(0)=8V,(1)由0电路求 uC(0),uC(0)=8V,(3)由0+等效电路求 iC(0+),例1,求 iC
7、(0+),电容开路,下 页,上 页,电容用电压源替代,注意,返 回,iL(0+)=iL(0)=2A,例 2,t=0时闭合开关k,求 uL(0+),先求,应用换路定律:,电感用电流源替代,解,电感短路,下 页,上 页,由0+等效电路求 uL(0+),注意,返 回,求初始值的步骤:,1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和iL(0)；,2.由换路定律得 uC(0+)和 iL(0+)。,3.画0+等效电路。,4.由0+电路求所需各变量的0+值。,b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。,a.换路后的电路,（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。,下 页,上 页,小结,返 回,7
8、.2 一阶电路的零输入响应,换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。,1.RC电路的零输入响应,已知 uC(0)=U0,零输入响应,下 页,上 页,返 回,特征根,则,下 页,上 页,代入初始值 uC(0+)=uC(0)=U0,A=U0,返 回,下 页,上 页,或,返 回,令=RC,称为一阶电路的时间常数,电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,连续函数,跃变,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;,下 页,上 页,表明,返 回,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,=RC,大过渡过程时间长,小过渡过程时间短,电压初值一定：,R 大（C一定）i=u/R
9、 放电电流小,C 大（R一定）W=Cu2/2 储能大,物理含义,下 页,上 页,返 回,a.:电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为,经过 35,过渡过程结束。,U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0,U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5,下 页,上 页,注意,返 回,t2 t1,t1时刻曲线的斜率等于,次切距的长度,下 页,上 页,返 回,b.时间常数 的几何意义：,能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设 uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,下 页,上 页,返 回,例1,图示电路
10、中的电容原充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解,这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：,下 页,上 页,返 回,分流得：,下 页,上 页,返 回,2.RL电路的零输入响应,特征方程 Lp+R=0,特征根,代入初始值,A=iL(0+)=I0,下 页,上 页,返 回,连续函数,跃变,电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,下 页,上 页,表明,返 回,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关;,下 页,上 页,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,L大 W=LiL2/2 起始能量大R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小,大过渡过程时间长,小过
11、渡过程时间短,物理含义,电流初值iL(0)一定：,返 回,能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。,设 iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,下 页,上 页,返 回,iL(0+)=iL(0)=1 A,例1,t=0时,打开开关S，求uv,。电压表量程：50V,解,下 页,上 页,返 回,例2,t=0时,开关S由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12。,解,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,下 页,上 页,小结,返 回,一阶电路的零输入响应和初始值成正比，
12、称为零输入线性。,衰减快慢取决于时间常数,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,下 页,上 页,小结,=R C,=L/R,R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,RC电路,RL电路,返 回,动态元件初始能量为零，由t 0电路中外加激励作用所产生的响应。,方程：,7.3 一阶电路的零状态响应,解答形式为：,1.RC电路的零状态响应,零状态响应,非齐次方程特解,齐次方程通解,下 页,上 页,非齐次线性常微分方程,返 回,与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解,变化规律由电路参数和结构决定,的通解,的特解,下 页,上 页,返 回,全解,uC(0+)=A+US=0,A=US,由初始条件 uC(
13、0+)=0 定积分常数 A,下 页,上 页,从以上式子可以得出：,返 回,电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暂态分量（自由分量）,下 页,上 页,表明,+,返 回,响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电慢，小充电就快。,响应与外加激励成线性关系；,能量关系,电容储存能量：,电源提供能量：,电阻消耗能量：,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,下 页,上 页,表明,返 回,例,t=0时,开关S闭合，已知 uC(0)=0，求(1)电容电压和电流,(2)uC80V时的充电时间t。,解,(1)这是
14、一个RC电路零状态响应问题，有：,(2)设经过t1秒，uC80V,下 页,上 页,返 回,2.RL电路的零状态响应,已知iL(0)=0，电路方程为：,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,例1,t=0时,开关S打开，求t 0后iL、uL的变化规律。,解,这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,下 页,上 页,返 回,例2,t=0开关k打开，求t 0后iL、uL及电流源的电压。,解,这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,下 页,上 页,返 回,7.4 一阶电路的全响应,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,以RC电路为例，电路微分方程：,1.全
15、响应,全响应,下 页,上 页,解答为：uC(t)=uC+uC,=RC,返 回,uC(0)=U0,uC(0+)=A+US=U0,A=U0-US,由初始值定A,下 页,上 页,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),返 回,2.全响应的两种分解方式,全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),着眼于电路的两种工作状态,物理概念清晰,下 页,上 页,返 回,全响应=零状态响应+零输入响应,着眼于因果关系,便于叠加计算,下 页,上 页,零输入响应,零状态响应,返 回,下 页,上 页,返 回,例1,t=0 时,开关k打开，求t 0后的iL、uL。,解,这是RL电路全响应问题，有：,零输入响应：,零状
16、态响应：,全响应：,下 页,上 页,返 回,或求出稳态分量：,全响应：,代入初值有：,62A,A=4,例2,t=0时,开关K闭合，求t 0后的iC、uC及电流源两端的电压。,解,这是RC电路全响应问题，有：,下 页,上 页,稳态分量：,返 回,下 页,上 页,全响应：,返 回,3.三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：,令 t=0+,其解答一般形式为：,下 页,上 页,特解,返 回,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。,用0+等效电路求解,用t的稳态电路求解,下 页,上 页,直流激励时：,注意,返 回,例1,已知：t=0 时合开关，求换路后的uC(t),解,下
17、页,上 页,返 回,已知：电感无初始储能t=0 时合S1,t=0.2s时合S2，求两次换路后的电感电流i(t)。,0 t 0.2s,解,下 页,上 页,例5,返 回,t 0.2s,下 页,上 页,返 回,(0 t 0.2s),(t 0.2s),下 页,上 页,返 回,7.5 二阶电路的零输入响应,uC(0+)=U0 i(0+)=0,已知：,1.二阶电路的零输入响应,以电容电压为变量：,电路方程：,以电感电流为变量：,下 页,上 页,返 回,特征方程：,电路方程：,以电容电压为变量时的初始条件：,uC(0+)=U0,i(0+)=0,以电感电流为变量时的初始条件：,i(0+)=0,uC(0+)=U
18、0,下 页,上 页,返 回,2.零状态响应的三种情况,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,特征根：,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,U0,设|P2|P1|,下 页,上 页,0,电容电压,返 回,t=0+ic=0,t=ic=0,ic0 t=tm 时ic 最大,tm,ic,下 页,上 页,0,电容和电感电流,返 回,tm,2tm,uL,ic,下 页,上 页,t,0,电感电压,返 回,iC=i 为极值时，即 uL=0 时的 tm 计算如下:,由 duL/dt 可确定 uL 为极小时的 t.,下 页,上 页,返 回,能量转换关系,0 t tm uC 减小，i 增加。,t tm uC减小，i 减小
19、.,下 页,上 页,返 回,uc 的解答形式：,经常写为：,下 页,上 页,共轭复根,返 回,下 页,上 页,，的关系,返 回,t=0 时 uc=U0,uC=0：t=-，2-.n-,下 页,上 页,返 回,iC,uL=0：t=，+，2+.n+,ic=0：t=0，2.n，为 uc极值点，ic 的极值点为 uL 零点。,下 页,上 页,返 回,能量转换关系：,0 t,t-,-t,iC,下 页,上 页,返 回,特例：R=0 时,等幅振荡,下 页,上 页,0,返 回,下 页,上 页,相等负实根,返 回,下 页,上 页,返 回,定常数,可推广应用于一般二阶电路,下 页,上 页,小结,返 回,电路如图，t
20、=0 时打开开关。求 uC并画出其变化曲线。,解,（1）uC(0)=25V iL(0)=5A,特征方程为：50P2+2500P+106=0,例1,（2）开关打开为RLC串联电路，方程为：,下 页,上 页,返 回,(3),下 页,上 页,返 回,7.6 二阶电路的零状态响应和全响应,uC(0)=0,iL(0)=0,微分方程为：,通解,特解,特解:,特征方程为:,下 页,上 页,例,1.二阶电路的零状态响应,返 回,uC解答形式为：,下 页,上 页,返 回,求电流 i 的零状态响应。,i1=i 0.5 u1,=i 0.5(2 i)2=2i 2,由KVL：,整理得：,首先写微分方程,解,下 页,上
21、页,例,二阶非齐次常微分方程,返 回,特征根为：P1=2，P2=6,解答形式为：,第三步求特解 i,由稳态模型有：i=0.5 u1,u1=2(20.5u1),i=1A,下 页,上 页,第二步求通解,返 回,第四步定常数,由0+电路模型：,下 页,上 页,返 回,2.二阶电路的全响应,(1)列微分方程,(2)求特解,解,下 页,上 页,例,应用结点法：,返 回,(3)求通解,特征根为：P=-100 j100,(4)定常数,特征方程为：,下 页,上 页,返 回,(5)求iR,或设解答形式为：,定常数,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描
22、述的电路。,二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。,下 页,上 页,小结,返 回,求二阶电路全响应的步骤,(a)列写t 0+电路的微分方程,(b)求通解,(c)求特解,(d)全响应=强制分量+自由分量,上 页,返 回,上 页,7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,1.单位阶跃函数,定义,单位阶跃函数的延迟,下 页,上 页,返 回,t=0 合闸 i(t)=Is,在电路中模拟开关的动作,t=0 合闸 u(t)=E,单位阶跃函数的作用,下 页,上 页,返 回,起始一个函数,延迟一个函数,下 页,上 页,返 回,用单位阶跃函数表示复杂的信号,例 1,例 2,下 页,
23、上 页,返 回,例 4,例 3,下 页,上 页,返 回,例 5,已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电压的波形。,下 页,上 页,返 回,2.一阶电路的阶跃响应,激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。,阶跃响应,下 页,上 页,注意,返 回,下 页,上 页,返 回,激励在 t=t0 时加入，则响应从t=t0开始。,-t,不要写为：,下 页,上 页,注意,返 回,求图示电路中电流 iC(t）,例,下 页,上 页,返 回,应用叠加定理,下 页,上 页,阶跃响应为：,返 回,由齐次性和叠加性得实际响应为：,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,分段表示为：,返 回,分段表示为：,下 页,
24、上 页,返 回,2.二阶电路的阶跃响应,下 页,上 页,对电路应用KCL列结点电流方程有,已知图示电路中uC(0-)=0,iL(0-)=0，求单位阶跃响应 iL(t）,例,解,返 回,iS,下 页,上 页,代入已知参数并整理得：,这是一个关于的二阶线性非齐次方程，其解为,特解,特征方程,通解,解得特征根,返 回,下 页,上 页,代初始条件,阶跃响应,电路的动态过程是过阻尼性质的。,返 回,7.8*一阶电路和二阶电路的冲激响应,1.单位冲激函数,定义,单位脉冲函数的极限,下 页,上 页,返 回,单位冲激函数的延迟,单位冲激函数的性质,冲激函数对时间的积分等于阶跃函数,下 页,上 页,返 回,冲激
25、函数的筛分性,同理,例,f(t)在 t0 处连续,注意,下 页,上 页,返 回,uc不是冲激函数,否则KCL不成立,分二个时间段考虑冲激响应,电容充电，方程为,例1,2.一阶电路的冲激响应,激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。,冲激响应,求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应。,解,注意,下 页,上 页,返 回,电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。,结论,(2)t 0+为零输入响应（RC放电）,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,例2,求单位冲激电压激励下的RL电路的零状态响应。,分二个时间段考虑冲激响应,解,iL不是冲激函数,否则KVL不成立。,注意,下 页,上 页,返 回,电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。,结论,(2)t 0+RL放电,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,3.单位阶跃响应和单位冲激响应关系,单位阶跃响应,单位冲激响应,h(t),s(t),单位冲激,(t),单位阶跃,(t),激励,响应,下 页,上 页,返 回,先求单位阶跃响应：,求:is(t)为单位冲激时电路响应uC(t)和iC(t).,例,解,uC(0+)=0,uC()=R,=RC,iC(0+)=1,iC()=0,再求单位冲激响应,令：,下 页,上 页,返 回,令,下 页,上 页,返 回,冲激响应,阶跃响应,下 页,上 页,返 回,
