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1、柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征学习目标1.认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.2 .认识柱、锥、台、球及其简单组合 体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构笋知识梳理 自主学习知识点一圆柱的结构特征1. 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.2. 相关概念（图1）.3. 表示法：圆柱用.表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱O O.思考圆柱的母线有多少条？它们之间有什么关系？答圆柱的母线有无数条；相互平行.知识点二圆锥的结构特征1. 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋 转体叫做圆锥.
2、2. 相关概念（图2）.3. 表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO.思考 圆锥过轴的截面叫做轴截面，那么圆锥的轴截面是什么形状？答等腰三角形.知识点三圆台的结构特征1. 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.2. 相关概念（图3）.3.表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台00 .底面袖思考 圆台的两条母线所在的直线一定相交吗?侧面底面答 一定.由于圆台是由圆锥截得的，故两条母线所在的直线一定相交 知识点四球的结构特征1. 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.2.相关概念(图4).3.表
3、示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O.思考 球能否由圆面旋转而成？答能.圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球知识点五简单组合体1. 概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、 锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.2. 基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.题型一旋转体的结构特征例1判断下列各命题是否正确：(1) 圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2) 一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3) 圆锥、圆台中过轴的截面是轴
4、截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰 梯形；(4) 到定点的距离等于定长的点的集合是球.解(1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.(2) 错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简 单组合体，如图所示.正确.(4)错.应为球面.跟踪训练1下列命题正确的.(只填序号) 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； 以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180形成的曲面围成的几 何体是圆锥； 球面上四个不同的点一定不在
5、同一平面内； 球的半径是球面上任意一点和球心的连线段； 球面上任意三点可能在一条直线上； 用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.答案解析以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥;以直角梯形 垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；它们的底面为圆面；正确; 作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故错误; 根据球的半径定义，知正确；球面上任意三点一定不共线，故错误；用一个平面去截球， 一定截得一个圆面，故正确.题型二简单组合体的结构特征例2如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体 组成的？解旋转
6、后的图形如图所示.其中图是由一个圆柱OO2和两个圆台o2o3, o3o4组成的; 图是由一个圆锥O5O4, 一个圆柱o3o4及一个圆台o1o3中挖去圆锥O2O1组成的.跟踪训练2已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示.分别以AB,BC,CD, DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.解(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图所示.(2) 以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图 所示.(3) 以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再 挖去一个小圆锥，如图所示.(4) 以AD边所在的直
7、线为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图所示.题型三有关几何体的计算问题例3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台设截得圆台的上、下底面的半径分别为r， 4r.上、下底面的面积之比为1 : 16,截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O O的母线长.解 设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面面积之比为1 ： 16，可过轴SO作截面，如图所示.则SO AASOA，SA =3 cm.SA1O A，一.一=* SA OA -.3 _r_ 1而=办=4.解得 l=9(cm), 即圆台的母线长为9 cm.跟踪训练3圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm
8、,母线长AB=20 cm,从圆台母线AB 的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A,求：(1)绳子的最短长度;(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.解(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，衍1拼 X 360 = 90.，上二:寺土、寸设 OB =L ,一一则7-360 = 90, L =20 cm.L OA=40 cm, OM=30 cm.AM=OA2+OM2=50 cm.即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQLAM于点Q,交弧BB于点P,则PQ为所求的最短距离.VOA-OM=AM- OQ, OQ=24 cm.故PQ = OQOP=2420=4(cm)
9、，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.尹当堂检测 自查自纠1.下列几何体是台体的是()ABCD2. 给出下列说法：直线绕直线旋转形成柱面；曲线平移一定形成曲面；直角梯形绕一边旋转形成圆台;半圆绕直径所在直线旋转一周形成球.其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.03. 向高为H的水瓶中以恒定的速度注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的 图象如图所示，那么水瓶的形状是（）4. 一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30，则圆锥的高为 cm.5. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积璨，则这个圆锥的母线长为言课时精练一、选择题1. 用一个平面去截一个几何体，得到的截面
10、是三角形，这个几何体可能是（）A.圆柱 B.圆台C.球体D.棱台2. 过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是（）A.有且只有一个B.一个或无穷多个C.无数个D.以上均不正确3.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是（）A.B. C. D.4. 一平面截球O得到半径为5 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则球的半径是 （）A.9 cm B.3 cm C.1 cm D.2 cm5. 过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60，则该截 面的面积是（）A.nB.2nC.3nD逐n6. 已知球的两个平行截面的面积分别为5n和8n，它们位于球心
11、的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是（）A.4B.3C.2D.0.57. 一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（）二、填空题8. 若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8,则该圆锥的高 9. 一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三 棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的.（填序号）10. 一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C是展开 图上的三点，则在正方体盒子中ZABC=.11. 在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC=6，BC=8,
12、 AB =10，则球心到经过这三个点的截面的距离为.三、解答题12. 圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求 圆台的高被截面分成的两部分的比.13. 如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1,母线长1=4, M为母线SA上的一个点，且SM=x,从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求:(1) 绳子的最短长度的平方f(x)；(2) 绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3) f(x)的最大值.当堂检测答案1. 答案D解析 台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面 与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确
13、.2. 答案A解析错，当两直线相交时，不能形成柱面；错，也可能形成平面；错，若绕底边旋 转，则形成组合体；根据球的定义知正确.3. 答案B解析 令h=H2，由图象知此时注水体积大于几何体体积的一半，所以B正确.4. 答案ioV3解析 h = 20cos 30=10指(cm).5. 答案2c解析 如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母/ 线长即为&的边长，且S%c=*3aB2，.寸3 =*3AB2，.AB=2.故正 /确答案为2.课时精练答案一、选择题1. 答案 D解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出 三角形.只有棱台可以截出三角
14、形，故选D.2. 答案 B解析 当过A, B的直线经过球心时，经过A, B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A, B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心。时，经过A, B, O的截面就是一个大圆， 这时只能作出一个大圆.3. 答案 C解析 当截面平行于正方体的一个侧面时得，当截面过正方体的体对角线时得，当截面 不平行于任何侧面也不过对角线时得，但无论如何都不能截出.4. 答案 B解析 设球的半径为R根据勾股定理，有R=JW)2+22=3(cm).5. 答案A解析 如图，可知ZOAOf =60,.O A=2oA = 1,即截面圆的半径是1,则该截面的面积是n.6. 答案B解析如图所示，两个平
15、行截面的面积分别为5n、8n,.两个截面圆的 / 半径分别为0=、再，弓=2寸3j 豚.,球心到两个截面的距离d=。R2r2, d2=qR2r2,/:.d、一口 =批25、./人28 = 1, .R2=9，.r = 3. 127.答案B解析由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.二、填空题8.答案2板解析 设圆锥的底面半径为r,则圆锥的高h=42 r2.由题意可知?2rh =爪42r2 = 8,.*.r2=8, :.h=2/2.9. 答案解析易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除；等腰三角形的底边是正三棱锥的一 条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以
16、排除；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥 两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是.10. 答案90解析如图所示，将平面图折成正方体.很明显点A, B, C是上底面正方形的三个顶点，则y?aZABC=90.11. 答案12AB 解析 由线段的长度知ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r=AB=5,所以 d=R2r2=12.三、解答题12. 解 将圆台还原为圆锥，如图所示.02, 01，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令 V0=h, 0201=h1，010=h2,h+hV 2则h 山，、h+h, +h /49h = 5，所以4=4h h=
17、2h 2即 h1 : h2 = 2 : 1.13. 解 将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA的长度L 就是圆0的周长， .*.L=2nr=2n,/La 2n“cAZ ASM=R X 360 =厂77 X 360=90.2nl2n X 4(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM=、.2+16(0WxW4).加=AM2=x2+16(0WxW4).(2)绳子最短时，在展开图中作SRLAM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离， 在SAM中，s5=2sa sm=2am sr，.SA-SM4xaSR= AM,(0WxW4)， x2 +164x即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为，(0 Wx W 4).x2+16：f(x) =x2+16(0 WxW4)是增函数， .f(x)的最大值为f(4) = 32.
