流体静力学基础.ppt

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1、2.1 流体的受力分析,固体在确定的剪切力的作用下产生固定的变形，流体在剪切力作用下产生连续的的变形，即连续运动。先看看一般物体所受到的力。,2.1 流体的受力分析,风鼓起帆，船破水前行，海鸟在天空飞翔，流体的力在我们的生活中无处不在。,2.1 流体的受力分析,流体力学中习惯按照作用形式将物体受到的作用力分为两类：一类是不需要接触，作用于全部流体上的力，称为体积力或质量力；另一类是直接与物体相接触而施加的力，称为表面力。,2.1 流体的受力分析,重力（万有引力）和磁力都属于体积力，如果分析问题时采用非惯性坐标，则惯性力也是一种体积力。压力和粘性力都属于表面力，压力是正应力，就是说流体中任何表面

2、上的压力都与该面垂直。流体内部的切应力完全由粘性力产生，而正应力中也有粘性力的贡献。在多数情况下，粘性正应力比起压力来说小到可以忽略，所以通常认为粘性只产生切应力。,2.1 流体的受力分析,在静止的流体中或者运动的无粘流体中，任一点的压力大小与其作用方向无关。这个性质使流体的压力具有标量属性，可以看作是流体的一种状态参数。我们可以这样理解压力与方向无关的特性：对于静止的或者运动的无粘流体，压力是唯一的表面力。对流体中的某一点而言，体积力（重力和惯性力）趋向于零，来自四面八方的表面力之间要达成平衡，就必须全部相同。,2.1 流体的受力分析,右图帆船上所受的力，包括风给予帆船推进力，帆船前进的阻力

3、主要由水产生，同时帆船浮在水面上，浮力与重力平衡。在这些力之中，只有重力是体积力，浮力、推进力、阻力都是表面力的合力。当风突然加大时，推进力增大，与当时水的阻力之间不平衡，船就会加速前进，这时推进力除需要克服阻力外，还需要克服船本身的惯性。以运动的船为参照物，惯性表示为惯性力，惯性力是体积力。,体积力直接作用于流体体积上的力称为体积力,体积力与该流体微团周围有无流体无关。体积力又称质量力。流体力学中经常采用的是单位质量的体积力，用 表示。如作用于 体积上的体积力为，体积中的流体密度为，则,外界作用于该团流体上的体积力为。绝大多数流体力学问题中，流体是处于重力场中，令 为重力加速度，则,2.1

4、流体的受力分析,2.1 流体的受力分析,表面力为具有直接分子起因的所谓短程力。它们随着互相作用的微元间距离的增大而急剧减小，而且仅仅在量级为流体的分子间距的距离上它们才是显著的。因此，除非在两个互相接触的微元间存在直接的机械接触，如同两个刚体互相作用那样，短程力都是可以忽略不计的。如果流体质元受到此微元以外的物质的反作用产生的短程力作用，这些短程力仅仅能够作用在紧贴该流体微元边界的很薄一层内，薄层厚度等于力的穿透深度。因而作用在微元上的总的短程力就决定于微元的表面积，而与微元的体积没有直接关系。,2.1 流体的受力分析,只要短程力的穿透深度与此面元的线性尺度相比是小量，通过此面元作用的总力就正

5、比于其面积，在时刻，位置为的 面元上这个力的值可写为向量一般来说，体力对于固体或流体局部特性的影响是明显的，至少对重力或由于采用加速坐标参照系引起的虚拟力而言是如此的，但是面力对于流体局部性质及运动的影响则需要仔细加以考虑。,2.1 流体的受力分析,物体由于外因而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。,静止流体保持恒定的变形，不存在任何方向的变形速率，所以没有用以抵抗不断变形的切向应力，流体表面的作用力只有法向应力。由于流体除承受很小的表面张力外，不能承受切应力，所以法向应

6、力只能是压应力，于是静止流体的应力只有法向的压应力。,2.1 流体的受力分析,再看一个有点诡异的实验,2.1 流体的受力分析,“诸位，我只用一点水，就可以把这个木桶撑裂”,你可以给出解释吗?,还是从看起来简单一些的处于静止状态的流体的受力开始,2.1 流体的受力分析,流体的静止状态指的是流体各部分之间没有相对运动，或者说流体的形状不发生改变。根据流体的定义可知，这时粘性完全不发生作用，流体中的表面力只有压力，因此流体静力学的核心问题就是压力与体积力的平衡关系。,2.2 流体静止时的受力分析,流体静力学研究处于静止状态的流体（简称静止流体）应遵循的规律，它主要讨论静止流体的压力以及静止流体与它的

7、边界之间的作用力。,因为体积力一般为重力和惯性力，所以静力学的问题主要分两类：一类是重力场中静止的流体的问题；另一类是流体不变形地做变速运动的问题。,2.2 流体静止时的受力分析,当流体处于静止状态时，流体内部没有相对运动，根据牛顿内摩擦定律，静止流体的切应力为零，显然，这时流体也不呈现粘性。因此流体静力学所得出的结论对理想流体（）或实际流体（）都是适用的。,2.2 流体静止时的受力分析,对于任何一个静止的处于其他微团包围之下的流体微团而言，四周流体给予它的表面力（压力）之和必然和它所受的体积力相互抵消。在直角坐标系中，压力产生的合力沿任一坐标方向的投影都与那个方向的体积力大小相等方向相反。下

8、面我们将针对一个流体微团进行分析，并导出一般形式的关系式。,2.2 流体静止时的受力分析,如图所示，在静止的流体内部取一个六面体，让其六个面分别垂直于3个坐标轴。3个方向的边长分别为dx，dy和dz，于是该六面体的体积为dxdydz，质量为dxdydz。如果用Fb表示体积力，用fb表示单位质量的体积力，则有如下关系式：,在直角坐标系中，上式可以写成分量形式，即：,2.2 流体静止时的受力分析,与体积力平衡的压力具有标量属性。也就是说对于一点来说，压力沿任何方向的大小都是一样的。压力与其作用的面积相乘是表面力，表面力是有方向的，因为压力的作用面是有方向的。比如对于浸入水中的物体来说，只有作用在朝

9、下的面的水压力才能产生向上的浮力，而朝上的面上作用的水压力都是向下的。由于要平衡作用于其内部的体积力，环绕微元体外表面的压力不能相同，而是有压差，正是这个压差产生的力与体积力实现平衡。,2.2 流体静止时的受力分析,对于图中所示的流体微团来说，如果在x方向上有图中所示向右的体积力的话，则微团右侧面的表面力一定要大于左侧面的力才能平衡。假定微团中心处的压力是p，则其左侧面上的压力小于p，右侧面上的压力大于p。那如何将侧面上的压力用中心点处的压力表示出来呢？这就要用到一种数学中常用的方法泰勒展开，如右上图。即使物理量的变化规律不是线性，只要两点距离足够近，只用线性来表示，泰勒展开也是足够精确的。应

10、用泰勒展开，并忽略二阶以上小量后，左、右侧面的压力可以写为,2.2 流体静止时的受力分析,结合我们已经得到的体积力和表面力，就可以的得到相应的x方向的力的平衡关系式：,2.2 流体静止时的受力分析,结合我们已经得到的体积力和表面力，就可以的得到相应的x方向的力的平衡关系式：,化简x方向的力的平衡关系式得：,类似地，可得到y和z方向的平衡关系式，于是我们就得到了直角坐标系下分量形式的力平衡关系式：,2.2 流体静止时的受力分析,直角坐标系下分量形式的力平衡关系式：,可将上述分量形式的力平衡关系式写成矢量形式：,根据梯度的定义：,无论是分量形式还是矢量形式，反映的是静止的流体内部压力与体积力的关系

11、，称为欧拉静平衡方程，是欧拉最先得出的。,2.2 流体静止时的受力分析,直角坐标系下的力平衡关系式：,即欧拉静平衡方程。,可以看到，当流体处于静止状态时，其内部的压力分布只与体积力相关，压力沿体积力作用方向增加。,在重力场中下层流体的压力比上层的高，在离心力场中旋转半径大的地方的流体压力比旋转半径小的地方的大。,这也可以这样理解：在重力场中上层流体的重量全靠下层流体来支撑，在离心力场中内层流体的向心力全靠外层流体提供。,下面讨论重力场中的静止流体,2.3重力场中的静止流体,当静止或做匀速运动（内部无相对运动）的流体处于重力场中时，其内部的压力分布只受到重力的影响。对于右图所示的处于重力场中的液

12、体而言，根据欧拉静平衡方程,若取垂直向上为坐标z的正向，则欧拉静平衡方程可以写为,当认为重力加速度g与流体密度都为常数时，上式积分得到液体内的压力公式：,式中，p0为液面处的大气压力，h为深度。,2.3重力场中的静止流体,当静止或做匀速运动（内部无相对运动）的流体处于重力场中时，其内部的压力分布只受到重力的影响。液体内的压力公式,式中，p0为液面处的大气压力，h为深度。,可见，液体内的压力只与大气压、液体密度和深度有关。根据该公式可以有如下的论述：形状不同而底面积相等的容器，内装有深度相等的水，虽然容器中水的重量不同，但水对底面的力却是相同的。例如右下图给出了四种不同形状的容器，水对底面的力都

13、是相等的。,2.3重力场中的静止流体,可见，液体内的压力只与大气压、液体密度和深度有关。,图中四种不同形状的容器，水对底面的力都是相等的。帕斯卡提出的，在当时是令人迷惑的，后被人们称为“流体静力学悖论”,很显然，图中的各个容器内水的重量相差很大，因此对桌面施加的力也各不相同。然而其内部的水对容器底部的力却是相同的，均为(P0+gh)A，这两者是不是矛盾呢？,2.3重力场中的静止流体,图中的各个容器内水的重量相差很大，而其内部的水对容器底部的力却是相同的，均为(P0+gh)A，这两者是不是矛盾呢？,回答是不矛盾。因为水对容器底部施加的力与容器对桌面施加的力并无直接关系。设想容器如果是密封的，其内

14、部的水是上百个大气压，显然水对容器底部施加的力是很大的，但水对容器的上部也施加力。这两者方向相反，大部分都相互抵消了，最终水对容器的作用力的合力也就是水的重量而已。敞口容器也是一样的道理。,2.3重力场中的静止流体,敞口容器也是一样的道理。图中用小箭头表示了各壁面上的水压力作用方向，可见容器(b)中的水虽然多，但在底面积投影之外部分的水是被杯壁支撑着的，容器(c)和(d)中的水虽然少，但其容器内部有被水向上支撑的表面，这部分的力会抵消一部分水对庶部的力。,还记得本章开始时的那个神奇的实验吗？,2.3重力场中的静止流体,帕斯卡曾经利用液体压力的特性进行过一个有趣的表演：,在一个密闭的葡萄酒桶的桶

15、盖上插入一根细高的管子，事先在桶内装满水，细管内也预装一定高度的水。表演时，他站在梯子上向细管内灌水，结果只用一杯水就把桶压裂了，这就是历史上有名的帕斯卡桶裂实验。对当时的人们这是不可思议的，即使是现在，这个实验也颇具表演性。,这个实验的关键是管子要比较细，一杯水就可以让水增加足够的深度，从而在桶内产生很大的压力。,2.3重力场中的静止流体,帕斯卡桶裂实验,这个实验的关键是管子要比较细，一杯水就可以让水增加足够的深度，从而在桶内产生很大的压力。,还记得我们前面给出的静止流体的压力公式（欧拉静平衡方程）吗,上述公式是不是可以解释这个不可思议的实验呢！,2.3重力场中的静止流体,帕斯卡桶裂实验，我

16、再提一个问题：,实验所用到的额外的那一点水能不能少到极致（充分少）？也就是说当细管的直径充分小时，帕斯卡桶裂实验能否成功？,回答是当直径小到一定程度时，水 的表面张力将不可忽略，并抵消重力场中的压力，从而管中的水根本不会流出。也许，你在生活中也利用过表面张力来达到目的呢！能想起来吗？可以用实验的方法，也可以用理论推导的方法得出当细管的直径小到一定程度时，帕斯卡桶裂实验将失败！,2.3重力场中的静止流体,我们身边的大气压力和深海中的压力是两个由重力引起的巨大压力的例子。空气的密度虽然很小，但厚厚的大气层还是会在地面附近产生很大的压力。计算大气压力不能使用简单的P=gh，因为大气的密度与压力和温度

17、都相关，不同高度的密度相差是很大的。一般来讲，认为平流层的大气温度是恒定的，在对流层内温度则随着高度线性降低。根据这个关系，以及完全气体的状态方程，就可以使用欧拉静平衡方程式计算得到不同高度的大气压力。,2.3重力场中的静止流体,当一个民航客机在1.1万米的高度飞行对，飞机外面大概是0.2个大气压多一点。人是无法适应这样的低压缺氧环境的，于是机舱内要进行增压。我们坐过飞机就会知道，起降过程中机舱内的压力是变化的，也就是说在高空飞行时机舱内并没有增压到地面的大气压力，而是要低一些。一般现代的飞机可增压到0.8个大气压左右，这大概相当于2km高度的压力。可以大概认为，2km以上时飞机内的压力恒定为

18、0.8个大气压，当飞机降落到高度低于2km时，机舱开始逐步与外界压力趋于相同，这会引起很多人在降落时耳朵不适。之所以客舱不增压到一个大气压显然是出于对机体强度的考虑，随着材料和强度设计的进步，新型的客机有望提高在高空飞行时的机舱压力，让人们在进行空中旅行时更舒适。,2.3重力场中的静止流体,有一种说法，深海与太空一样对人类是神秘莫测的，其中的主要原因就是海水在深处产生的巨大压力使人们到达那里十分困难。如果不考虑往返的旅程，只考虑当地的情况的话，深海甚至比外太空还要危险得多。在外太空，飞船内外的压差也就是一个大气压，在深海，这个压差可以有几百甚至上千个大气压，这对潜水艇的密封和强度都是巨大的挑战

19、。,2.3重力场中的静止流体,关于重力场中流体受到的力，有一种叫做“浮力”的力要请大家课后思考并给出解释。当然，为了使问题更有现实意义，我们并不假定流体是静止的！,2.4惯性力作用下流体内部的压力分布,当流体做加减速运动时，只要加速度恒定，其内部就不会发生相对运动。这时如果与流体一起运动，则可以把加速度转化为惯性力，因此这一类问题也属于流体静力学问题。这类问题只有两种：即沿直线的恒加速运动和围绕某一中心的恒速转动。下图表示了这两种情况下流体内部微团上的压力分布。,在图中，表示了这两种情况下流体内部微团上的压力分布。在这两种运动中，惯性力与重力同时作为体积力发生作用。计算中只要把这两个力进行矢量

20、叠加，再应用欧拉静平衡方程进行求解就行了。,2.4惯性力作用下流体内部的压力分布,对匀加速直线运动的情况(a)，我们可以看出，沿任一方向压力的变化只取决于沿那个方向的体积力。因此求解具体问题时，沿哪个方向的体积力和深度容易得到，就可以沿哪个方向进行计算，而不必求解完整的欧拉静平衡方程。仿照重力场下液体内部的压力分布公式，重力和惯性力共同作用下的液体内部任一点的压力为 p=P0+ah,式中，h为沿加速度a方向从自由液面到该点的距离。,2.4惯性力作用下流体内部的压力分布,对匀加速直线运动的情况(a)，仿照重力场下液体内部的压力分布公式，重力和惯性力共同作用下的液体内部任一点的压力为p=P0+ah

21、。式中，h为沿加速度a方向从自由液面到该点的距离。,这里的加速度a并不一定指的是总的加速度，而是指沿任何方向的加速度。如图所示，水中一点处的压力可以使用欧拉静平衡方程沿任何方向和路径积分来求解，结果都是一样的。,2.4惯性力作用下流体内部的压力分布,下图表示了一种典型的流体静力学问题，当水箱沿斜面下滑时，水箱受到重力、支撑力和摩擦力三者的共同作用。如果摩擦力与重力沿斜面的分力平衡，如图(a)，则水箱静止或匀速下滑，这时其内部的水只受重力作用，水面是水平的。如果水箱与斜面间无摩擦力，如图(b)，则水箱自由下滑，这时沿斜面方向无体积力的作用，水面是平行于斜面的。对于最一般的有摩擦的情况，如图(c)

22、，水面介于上述两种情况之间。,2.5流体与固体对力的传递的异同,最后，请思考流体与固体对力的传递的异同。作为启发，我们看看下图。,2.5流体与固体对力的传递的异同,一个人最大可以发出和自己体重同等数量级的力，如果要搬动更重的东西，则可以利用杠杆和滑轮等省力装置。理论上，使用了这类省力装置后，想要多大的力都是可以的，但是要耗费更长的作用距离，原则是功或者功率不变。这类原理在流体里面也是一样的。使用液压传动装置，可以用很小的力来产生巨大的力，比如一个小孩子就可以用液压千斤顶轻松抬起一辆汽车，这需要足够长的作用距离才能做到，体现为多次按压把柄。不仅功不会凭空产生，力也是不会凭空产生的，省力装置增加的

23、力都是有来源的。如图(a)所示的杠杆，如果长的力臂是短的力臂的3倍，则在长端向下按的力为F时，另一端向上抬起的力是3F。分析杠杆的受力可知，在支点上杠杆受到向上的力为4F。可见，增加这部分力来源于支点。,2.5流体与固体对力的传递的异同,对于流体，图(b)显示了液压省力装置的示意图，如果大活塞截面积是小活塞的3倍，当向下按小活塞的力为F时，大活塞获得的向上抬起的力是3F。这个力也不是凭空产生的，实际上整个容器给予内部液体的合力是向上的，大小为4F。,流体与固体的本质差别是流体在静止时其内部没有剪切力。就是这个差异使流体和固体对力的传递有着本质的不同。可以概括为：“固体传递同等大小的力，流体传递

24、同等大小的压力（单位面积的力）”。,2.5流体与固体对力的传递的异同,下图形象地表示了人们是如何利用流体和固体的这种差异的。按图钉的时候，手用多大的力，图钉就获得多大的力，由于图钉的帽和尖的面积相差很乡，手并不会受伤，但比手坚固得多的木板却会被图钉穿透。这是因为单位面积的力才是引起材料破坏的关键。如图(a)。,2.5流体与固体对力的传递的异同,流体与固体不同，图(b)所示的装置中，手施加的力在流体中并不会被同等地传递到前端，等量传递的是压力。因此这时手推动小活塞时，在大活塞端产生更大的力，这部分多出来的力是由包围流体的容器来承受的。,固体中力的等量传递容易理解，流体中压力的等量传递怎么理解呢？

25、,2.5流体与固体对力的传递的异同,实际情况是，为保证压力在流体内向各个方向的传递，必须有固体容器的包裹才行。从外部看，这个容器和其内部的流体一起可以看作是一个固体，对这个固体来说力也是等量传递的。内部的流体对容器内壁各处的力都垂直于当地壁面，这种可以把力改变方向进行传递的根本原因就是流体内部没有剪切力。,固体中力的等量传递容易理解，流体中压力的等量传递怎么理解呢？,2.5流体与固体对力的传递的异同,为了便于理解，用光滑小球来代替流体充满一个容器，如图所示。在不考虑球的重量的情况下，只要球与球之间没有摩擦力，这些小球就会把某处的力传遍整个容器内部，并保持力的大小不变，这与流体的情况是完全一样的

26、。借助于其他小球和壁面，力在传递中可以改变方向。,固体中力的等量传递容易理解，流体中压力的等量传递怎么理解呢？,2.6 流体静压强及其特性,在流体内部或流体与壁面间存在的单位面积上的法向作用力,一、静压强定义,流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强,流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间存在的单位面积上负的法向表面力,没有给出方向,没有给出方向、大小,给出方向负法向给出大小表面力,压强定义,一、静压强定义,流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间存在的单位面积上负的法向表面力,2.6 流体静压强及其特性,一、静压强定义,流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间存

27、在的单位面积上负的法向表面力,说明：,表面力：外界 流体内部,静压强：流体内部 外界,2.6 流体静压强及其特性,流体静压强方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。,二、静压强两个特征,静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。,2.6 流体静压强及其特性,流体静压强方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。,二、静压强两个特征（证明）,假 设：,在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，与作用面的切线方向成角,切向压强pt,法向压强pn,则存在,流体要流动,与假设静止流体相矛盾,2.6 流体静压强及其特性,pn,pt,p,切向压强,

28、静压强,法向压强,2.6 流体静压强及其特性,二、静压强两个特征（证明）,取一微元四面体的流体微团ABCD，边长分别为dx，dy和dz,2.,证 明：,由于流体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意 轴上投影的总和等于零。,2.6 流体静压强及其特性,py,px,pz,pn,作用在ACD面上的流体静压强,作用在ABC面上的流体静压强,作用在BCD面上的静压强,作用在ABD面上的静压强,2.6 流体静压强及其特性,二、静压强两个特征（证明）,流体微团受力分析,x方向受力分析,表面力：,质量力：,2.6 流体静压强及其特性,二、静压强两个特征（证明）,因为流体平衡,在轴方向上力的平衡方程为,把

29、Px，Pn和Wx的各式代入得,2.6 流体静压强及其特性,二、静压强两个特征（证明）,化简得,由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得,同理可得,所以,n的方向可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。,结论,2.6 流体静压强及其特性,二、静压强两个特征（几点说明）,（1）静止流体中不同点的静压强一般是不等的，是空间坐标的连续 函数。同一点的各向静压强大小相等。,（2）运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘 性 会产生切应力，这时同一点上各法向应力不再相等。,流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值，即,（3）运动流体是理想流体时，由

30、于，不会产生切应力，所以理 想流体动压强呈静水压强分布特性，即,2.6 流体静压强及其特性,静压强是空间坐标的连续函数,求静压强分布规律,研究平衡状态的一般情况 推导平衡微分方程式,流体静力学最基本方程组,2.7 流体平衡微分方程,一、流体平衡微分方程式(推导),在静止流体中任取一平行六面体的流体微团，边长为 dx，dy，dz的微元，中心点静压强为p(x,y,z),x方向受力分析,表面力,质量力,只有静压强,如何求解是关键,2.7 流体平衡微分方程,p,图2-3 微元平行六面体x方向的受力分析,2.7 流体平衡微分方程,一、流体平衡微分方程式(推导),作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒级数

31、展开,2.7 流体平衡微分方程,一、流体平衡微分方程式(推导),在垂直于x轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为,略去二阶以上无穷小量后，分别等于,2.7 流体平衡微分方程,一、流体平衡微分方程式(推导),垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为,因为流体平衡,2.7 流体平衡微分方程,一、流体平衡微分方程式(推导),将质量力和表面力代入上式，则,整理上式，并把各项都除以dxdydz，则得,2.7 流体平衡微分方程,一、流体平衡微分方程式(推导),同理得,写成矢量形式,流体平衡微分方程式,欧拉平衡微分方程式,2.7 流体平衡微分方程,一、流体平衡微分方程式(推导),物理意义,在静止流体中，

32、某点单位质量流体的质量力 与静压强的合力相平衡。,静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。,适用范围,它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。,2.7 流体平衡微分方程,一、流体平衡微分方程式,三式相加，整理,2.7 流体平衡微分方程,一、流体平衡微分方程式,所以,流体静压强是空间坐标的连续函数，它的全微分为,压强差公式,在静止流体中，空间点的坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp，压强的增量取决于质量力。,2.7 流体平衡微分方程,二、流体平衡条件,例：,1.,2.7 流体平衡微分方程,二、流体平衡条件,2.,仍然是流体平衡微分方程,

33、平衡时，数学上质量力满足左式,是质量力存在势函数的充要条件,2.7 流体平衡微分方程,二、流体平衡条件,理论力学中，上式是 fx、fy、fz 具有力的势函数 的充分必要条件,3.,力的势函数与单位质量力的关系,2.7 流体平衡微分方程,二、流体平衡条件,3.,既然 能满足下式,就是有势的力,代入压强差公式，得,2.7 流体平衡微分方程,二、流体平衡条件,有势函数存在的力称为有势的力,流体平衡条件：,只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体 才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。,4.,2.7 流体平衡微分方程,三、等压面,定义,在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面,几点说明,对不同

34、的等压面，其常数值是不同的,流体中任意一点只能有一个等压面通过。,2.7 流体平衡微分方程,三、等压面,举例说明,液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面，其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。,互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。,等压面,2.7 流体平衡微分方程,三、等压面,证明,分界面上取两点1和2,点1点2的压强增量,两式相减,因为,dp=0,2.7 流体平衡微分方程,三、等压面,等压面微分方程式,在等压面上各处的压强都一样，即dp=0,由压差公式,矢量形式,平衡流体的等压面微分方程,2.7 流体平衡微分方程,三、等压面,等压面微分方程式,数学含义:,物理含义:,等压面与

35、质量力互相垂直,单位质量流体中的质量力沿等压面移动微小距离所做的功等于0,2.7 流体平衡微分方程,三、等压面,等压面特征,等压面也是等势面,等压面与质量力互相垂直,质量力只有重力，等压面处处与重力方向正交，是一个与地球同心的近似球面。但是，通常我们所研究的仅是这个球面上非常小的一部分，所以可以看成是水平面,dp=0,平衡状态，互不掺混的两种液体的分界面也是等压面,2.7 流体平衡微分方程,f,作用在等压面上A点的单位质量力,2.7 流体平衡微分方程,想一想：下图所示那个断面是等压面？,自由液面两种流体互不掺混的分界面,答案：B-B,2.7 流体平衡微分方程,P0,单位质量力在各坐标轴上的分力

36、为,假设,a.质量力只有重力b.均质不可压缩流体,一、重力作用下的静力学基本方程式,方程推导,静止容器上取直角坐标系,2.7 流体平衡微分方程,方程推导,流体静力学基本方程,适用范围,重力作用下的平衡状态均质不可压缩流体,2.7 流体平衡微分方程,物理意义,单位重量流体对某一基准面的位势能,单位重量流体的压强势能,位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能,z,c,在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。,2.7 流体平衡微分方程,P0,P1,P2,Z1,Z2,1,2,在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。,2.7 流体平衡微分方程,2.7 流体平衡微分

37、方程,几何意义,单位重量流体的位置水头,单位重量流体的压强水头,位置水头和压强水头之和称为静水头,z,c,在重力作用下静止流体中各点的静水头都是相等的。,单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头。,2.7 流体平衡微分方程,静水头线,在重力作用下静止流体中各点的静水头都是相等的静水头线是水平直线,2.7 流体平衡微分方程,P0,P1,P2,Z1,Z2,推导静力学基本方程式用图,1,2,在静止液体中任取两点l和2,点1和点2压强各为p1和p2，位置坐标各为z1和z2,静力学基本方程的另一种形式,2.7 流体平衡微分方程,1,(a),(b),正确答案（b）,思考一下,2.7 流体平衡微分方程

38、,A点与自由液面之间有,根据,静力学基本方程的另一种形式,h=z0-z 静止流体中任意点在自由液面下的深度,2.7 流体平衡微分方程,静力学基本方程的另一种形式(续）,(1)在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。,三个重要结论,(2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：,自由液面上的压强p0；,该点到自由液面的单位面积上的液柱重量gh。,(3)在静止液体中，位于同一深度(h常数)的各点的静压强相等，即任一水平面都是等压面。,2.7 流体平衡微分方程,想一想：下图所示那个断面是等压面？,答案：B-B,重力、静止、连续、均质不可压、水平面

39、,2.7 流体平衡微分方程,静止流体的基本特征由静止流体基本微分方程p/=f 可得到静止流场的基本特性：（1）静止流场中质量力必满足f f=0，否则流场不会处于静止。（2）质量力有势的静止流场必是正压或不可压流场，其等压面必是等势面。如几种不同密度流体组成的流场，其交界面（又称自由面）必是等压面。（3）重力场（f=g）中的静止流体，除具有上述性质外，不同介质形成的自由面必是水平面。同一介质连通的水平面必是等压面。,2.7 流体平衡微分方程,平面静水总压力,2.7 流体平衡微分方程,2.7 流体平衡微分方程,曲面静水总压力,2.7 流体平衡微分方程,2.7 流体平衡微分方程,2.7 流体平衡微分方程,2.7 流体平衡微分方程,2.7 流体平衡微分方程,平面上的静水总压力,2.7 流体平衡微分方程,平面上的静水总压力,2.7 流体平衡微分方程,