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1、第七章,参 数 估 计,二、估计量的评选标准,一、点估计,三、区间估计,四、正态总体均值与方差的区间估计,问题：如何估计未知参数？,由大数定律,把样本平均值作为总体平均值的一个估计。,即用,估计,点 估 计,第七章,第一节,二、矩估计法,一、点估计问题的一般提法,三、最大似然估计法,一、点估计问题的一般提法,是相应的一个样本值。,点估计就是,构造一个适当的统计量,用它的观察值,作为未知参数的近似值。,称,为估计量,为估计值,未知参数估计的两种方法:矩估计法、最大似然估计法,二、矩估计法,其基本思想是用样本矩估计总体矩。,它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法。,是英国统计学家K.
2、皮尔逊最早提出的。,基本思想:,Eg.若X为连续型随机变量，设概率密度为,令,解出,若X为离散型随机变量，设其分布律为,令,，其中,为样本，,为样本值，,解出,例1设总体,解:令,其中,所以的矩估计量为,为X的一个样本，,估计量,估计值,例2设总体X 的概率密度为,解,即,X1,X2,Xn是取自X 的样本,求参数的矩估计量.,令,，则,从而的矩估计量,为X 的一个样本，求,的矩估计量。,例3设总体,解,令,例4 设,解：,令,其中,则,解得数学期望,的矩估计量分别为,总结：任何分布的均值和方差的矩估计量的表达式都不变,例5设总体,解 由,所以由上例可得,三、最大似然估计法,这是在总体类型已知条
3、件下使用的一种参数估计方法.,它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,Gauss,Fisher,然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇。,费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.,最大似然法的基本思想：,假定一个盒子中有白、黑球共3个，但不知各有几个，,如果有放回的抽取3次球，发现第1，3次是黑球，第2次,是白球，试估计黑球所占的比例？,准备内容：,当总体X是离散型，,分布律改写为：,以泊松分布为例，,分布律为,，其中未知。,为X 的样本，,为X 的样本值，,X 为离散型,记为,样本的似然函数,为的最大似然估计量；,为的最大似然估计值；,满足条件:,具体算法：,
4、令,设x1,x2,xn是取自总体 Xb(1,p)的一个,解,例1,似然函数为:,样本值，求参数p的最大似然估计值。,所以,为 p 的最大似然估计值。,解,例2,似然函数为:,X 为连续型,似然函数为,利用,或,得,例3,设 X1,X2,Xn 是取自总体 X 的一个样本,X 服从参数 的指数分布，求的最大似然估计值。,解,似然函数,当,令,所以,设 x1,x2,xn 是取自总体 X 的一个样本值,解,例4,令,所以,的最大似然估计值为,例5,解,似然函数,则要使得,取最大值,注：特殊的似然函数通过求导得不到其最大，需要从函数本身入手。,所以，最大似然估计量为,估计量的评选标准,第七章,第二节,二
5、、有效性,一、无偏性,三、一致性,一、无偏性,定义,结论：,无论X 服从什么分布,只要它的数学期望存在，,总是,的无偏估计量。,例1,设 X1,X2,Xn 是取自总体 X 的一个样本,解,故当,时结论成立.,一个未知数可以有不同的无偏估计量。,解,例3,二、有效性,定义：,都是参数,的无偏估计量，如果,注：比较有效性，必须是在无偏估计量的前提。,例4,设 X1,X2,Xn 是取自总体 X 的一个样本,问那个估计量最有效?,解,因为,三、一致性,定义：,区 间 估 计,第七章,第三节,二、正态总体均值与方差的区间估计,一、置信区间,三、两个正态总体均值与方差 的区间估计,一、置信区间,定义1 设
6、总体,含一待估参数,为一样本，,满足,则称,为,的置信度为 的置信区间，,的分布函数为,，其中,若由样本确定的两个统计量,下限,上限,通常,采用95%的置信度,有时也取99%或 90%.,即置信度为,这时重复,抽样 100次,则在得到的100个数值区间中包含,真值,的有95个左右,不包含,真值的有5个左右。,含义：若,具体的计算方法,由样本,寻找一个样本函数,，不含其他任何未知参数，,分布已知，且只含有一个未知参数。,不等式,是的置信度为,的置信区间。,对于给定的置信水平,，找 a,b 使得,二、正态总体均值与方差的区间估计,设,为总体,的一个样本,置信度,下，来确定,的置信区间,对于给定的,
7、，有,可得,所以的置信水平为1-的置信区间为,简记为,已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼,儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110 cm;假设标准差,置信度为95%;试求总体均值的置信区间,解 已知,由样本值算得：,查正态分布表得,，由此得置信区间,例1,设总体,问需要抽取容量为多,的长度不大于 0.49?,解 设需要抽取容量为n,的样本,其样本均值为,查表得,于是的置,信水平为0.95的置信区间为,该区间长度,例2,解得,取,所以的置信水平为1-的置信区间为,简记为,用仪器测量温度,重复测量7次,测得温度分,别为:115,120,131,115,109,115,115;设温度,在置信度为95%时,试求温度均值,所在范围。,例3,查表得,已知,由样本值算得：,解,得区间：,（均值未知）,设,为总体,的一个样本,并且样本函数：,置信区间,即,标准差的置信水平为,的置信区间,例4,某自动车床加工零件，抽查16个测得长,加工零件长度的方差。,解 先求,度（毫米）,，怎样估计该车床,查表,所求2的置信度为0.95的置信区间,例5,假设总体,求,未知，X的样本为,的置信度为95%的置信区间。,解,的置信区间为,2的置信区间为,所以2的置信区间为,第七章结束,请注意复习！,
