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1、,第三节 全微分,一 全微分的概念,二 可微的必要和充分条件,三 全微分在近似计算中的应用,一 全微分的概念,如图，,一边长分别为x、y的长方形金属薄片，,受热后在长和宽两个方向上都发生变化，分别为x、y，那么,该金属薄片的面积A改变了多少？,A称为面积函数A=xy的全增量，,由两部分组成：,x，y的线性部分,当(x,y)(0,0)时，是一个比,高阶无穷小。,定义 设函数 在点（x，y）的某个邻域内有定义，点（x+x，y+y）在该邻域内，如果函数 在点（x，y）的全增量,可以表示为,其中A，B与x,y无关，,0时比高阶的无穷小。,则称函数 在点,（x，y）处可微，,称函数为在点(x,y),处的
2、全微分，记作dz，即,显然，dzz,是当,二 可微的必要和充分条件,定理（可微的必要条件）,如果函数 在点（x，y）处可微，则它在该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且,证明：,由函数 在点（x，y）处可微有,所以,即,因此，函数 在点（x，y）连续。,又因为 中的A，B与,x，y无关，也就是该式对任意的x，y都成立。,不妨取y=0，则有,上式两边同除以x，再令x0，则有,即说明 存在，且,故有,注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也不能保证函数 在点（x，y）可微。,讨论函数：,由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。,定理（
3、可微的充分条件）,如果函数 的两个偏导数 在点（x，y）都存在且连续，则该函数再给点可微。,以上有关概念和定理均可以退到三元及三元以上的函数中去。,由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元函数 的全微分习惯上可写为,类似地，三元函数 的全微分为,例1 求函数 的全微分。,解：先求函数的两个偏导数：,所以,例2 求函数 在点（2，-1）的全微分。,解：,所以,例3 设函数 在点（0，0）有增量x=0.2，y=0.3，求全微分dz。,解：,所以,此题可理解为：在点（0，0）处x，y分别有增量x=0.2，y=0.3时，函数也产生增量z，并且zdz=1.8。,三 全微分在近似计算中的应用,应用的公式：
4、,例4 设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的20cm变到20.1cm，高由原来的40cm减少到39.5cm，求该金属体体积变化的近似值。,解：,设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V,则有,所以,其中r=20，h=40，r=0.1，h=-0.5,由公式（1）得,即金属体受压后体积减少了125.6cm3。,由公式（1）还可得,例5 计算 的近似值。,解：,构造函数，则,取,则,所以,例5 设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的20厘米变到20.1厘米，高由原来的40厘米减少到39.5厘米，求该金属体体积变化的近似值。,解：如下图所示。,设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V，则有,此时,其中r=20，h=40，r=0.1，h=-0.5,故有,即金属体受压后体积减少了125.6cm3。,
