第三章随机向量.ppt

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1、第三章 随机向量,3.1 随机向量的分布,一、随机向量及其分布函数,n维随机向量：书P72定义3.1,联合分布函数：书P72定义3.2,我们主要讨论二维情形,1、二维随机变量 设X和Y是定义在(,P)上的两个随机变量,则称（X，Y）为二维随机变量或二维随机向量。,二维随机变量的例子,2、联合分布函数 定义：设（X，Y）是二维随机变量，x、y是任意实数，函数F（x,y）=PXx,Yy称为（X，Y）的分布函数，或称随机变量X与Y的联合分布函数,x,y,(x,y),y,Xx,(x,y),X,Y,x,y,Yy,二元分布函数的几何意义,边缘分布函数,FX（x）=PXx,Y+,FY（y）=PX+,Yy,x

2、,x,y,x,y,y,联合分布函数的性质,(1)0F（x,y）1;,(2)F(-,-)=0 F(+,+)=1;,对于任意固定的 Y,对于任意固定的 X,(4)F（x，y）关于x右连续，关于y右连续，即 F（x+0，y）=F（x，y)F（x，y+0）=F（x，y）,(3)F(x,y)对x和y分别是不减函数.,对于任意固定的 y,当 x1 x2时，对于任意固定的 x,当 y1 y2时,x,y,说 明,上述五条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这五条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数具有这五条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证

3、明略）,例1已知二元函数,判断它是否为某二维随机变量的分布函数,故它不是某二维随机变量的分布函数,二、二维离散型随机变量及分布,定义：如果二维随机变量(X，Y)所有可能取的数对为有限个或可数个，则称（X，Y）为二维离散型随机变量并且称,为（，）的概率分布，或称做与的联合概率分布简称联合分布，联合分布也可用表格列出,联合分布的性质：,例2袋内有四张卡片，分别写有、，每次从中任取两张，记，分别表示取到的两张卡片中的最小数字与最大数字，求与的联合分布。,例3.X表示随机的在14的4个整数中取出的一个数,Y表示在1X个整数中随机地取出的一个数,求与的联合分布,解：,由题意知，X=i，Y=j的取值情况是

4、：i=1,2,3,4，且是等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求得(X,Y)的分布律。,X,1 2 3 4,Y,1234,例4 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:,求:(1)常数a的取值;(2)P(X0,Y1);(3)P(X1,Y1),解(1)由pij=1得:a=0.1,(2)由P(X,Y)D=,(2)P(X0,Y1)=,P(X=0,Y=0)+,P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.1+0.2+0.1+0.2,=0.6,(3)P(X1,Y1),=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0),+P(X=0,Y=1)

5、+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.75,例5.将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.,解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:,X Y0 41 3 2 23 14 0,P(X=0,Y=4)=,0.54=1/16,P(X=1,Y=3)=,=1/4,P(X=2,Y=2)=,=6/16,P(X=3,Y=1)=,=1/4,P(X=4,Y=0)=0.54=1/16,联合概率分布表为:,Y 0 1 2 3 4,X01234,0 0 0 0 1/

6、160 0 0 1/4 00 0 6/16 0 00 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0,例6.设随机变量YN(0，1),令,求(X1,X2)的联合概率分布。,解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),P(X1=0,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|2),=1-P(|Y|2),P(X1=0,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(1|Y|2),=P(-2Y-1)+P(1Y2),=2P(1Y2),P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2),=0,P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|1),联合概率分

7、布表为:,X2 0 1,X101,0.0455 0.2719 0 0.6826,二维离散型随机变量的边缘分布,例7.书P75 例3.1,例8.书P75 例3.2,边缘分布具有一元随机变量分布列的性质,联合分布唯一决定边缘分布,例9.设(X,Y)的联合概率分布为:,求:(1)X,Y的边缘分布;(2)X+Y的概率分布.,X-1 0 1P 0.25 0.4 0.35,Y 0 1 2P 0.25 0.5 0.25,解（1）得,(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05,P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2,P(X+Y

8、=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=-1,Y=2)=0.4,同理,P(X+Y=2)=0.3,P(X+Y=3)=0.05,所以,X+Y-1 0 1 2 3 P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05,例10.已知随机变量X和Y的分布列分别为,且已知PXY=0=1,求X与Y的联合分布,解:,由于PXY=0=1,所以PXY0=0,X-101,Y 0 1,0.250.50.25,0.5 0.5,三.连 续型随机向量的联合概率密度,边缘概率密度,1、书P76定义3.5,2、性质(1)f(x,y)0，(x,y)R2,在几何上 z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示 P(

9、X,Y)G的值等于以 G 为底，以曲面 z=f(x,y)为顶的柱体体积,3边缘概率密度函数及边缘分布函数,边缘分布函数,边缘密度具有一元随机变量密度函数的性质,联合密度函数唯一决定边缘密度函数,4、二维连续型常见分布,二维均匀分布,对于G中任意可度量子区域D有,二维均匀分布几何意义,二维正态分布,（书P79）,可以证明 若,则X,Y的边缘概率密度分别为 XN(1,12),Y N(2,22);,即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布.由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概率密度,反之不一定成立.,例11.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为,求(X,Y)关于X,Y

10、的边缘概率密度.,X,Y的边缘概率密度为一维正态分布.,所以,边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一定是二维正态分布.,例1.书例.先求待定参数,1,y=x,1,x=y,o,y=x,y,1,x,y,o,1,y=x2,x,y,o,x,y,0,y=x,1,y,x,0,1,x=y,3.2随机变量的独立性,说 明,例1.书P113习题7,二、离散型随机变量的独立性,例2.(X,Y)的联合概率分布为:,(1)求X,Y的边缘分布;(2)判断X,Y是否独立.(3)求F(0,2).,解:(1)X,Y的概率分布分别为:,X 0 1P 0.7 0.3,Y 0 1P 0.5 0.5,(2)P(X=0,Y=0)

11、=0.3,P(X=0)P(Y=0),=0.70.5,=0.35,X,Y不独立,注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.,(3)F(0,2)=P(X0,Y2)=0.3+0.4=0.7,例4 设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整.,1/24,1/4,1/12,3/4,1/2,3/8,1/4,1/3,三.连续型随机变量的独立性,说 明,例5.设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中(1)D=(x,y),|x|1,|y|1;(2)D=(x,y),x2+y21,解(1),fX(x)=,|x|1,0,|x|1,同理,fY(y)=,所以,X,Y独立.,(2),X,Y不

12、独立,x,y,0,1,y=1-x,例 9.（正态随机变量的独立性）,四、n维随机变量的独立性,注意：若 X,Y 独立，f(x),g(y)是连续函数，则 f(X),g(Y)也独立。,3.3 随机向量函数的分布与数学期望,一、离散型随机向量函数的分布,例1.书P89例3.12,-1 0 1 2 3 4,p,-2-1 0 2 4,p,0.15,0.3,0.35,0.1,0.1,例2.设随机变量X1与X2相互独立，分别服从二项分布B(n1,p)和B(n1,p)，求Y=X1+X2的概率分布.,解 依题知X+Y的可能取值为0,1,2,.,n1+n2,因此对于k(k=0,1,2,.,n1+n2)，由独立性有

13、,所以Y=X1+X2服从二项分布B(n1+n2,p),即:,若X与Y相互独立，XB(n1,p)，B(n,p)，则X+YB(n1+n2,p),二项分布的可加性,类似可得(书P91例3.13):若X,Y相互独立,XP(1),YP(2),则 X+YP(1+2),Possion分布的可加性,二.连续型随机变量和的概率密度函数,x+y=z,三.随机向量函数的数学期望,设g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,Eg(X,Y)存在,(1)若(X,Y)为离散型随机向量,P(X=xi,Y=yj)=pij,(i,j=1,2),则,(2)若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)f(x,y),则,例4.设(X,Y)的联合

14、概率分布为,求EX,EY,E(XY).,解 X,Y的边缘分布为,所以 EX=3/2,EY=3/2,例5.书P95例3.19,例6.书P95例3.20,例7.书P95例3.21,x=y,x,0,y,四.数学期望的性质,1.如果(X,Y)是二维随机向量,则,2.若(X,Y)是二维随机向量,且X与Y独立,则E(XY)=EXEY,证明:,由X,Y相互独立得,注 性质1和2可推广到有限个随机变量情形.书P97,3.4随机向量的数字特征,一.协方差,定义(书P97定义3.8)对两个随机向量(X,Y),若E(X-EX)(Y-EY)存在，则称 cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)为X和Y的协方差。,特

15、别,若X=Y,则 cov(X,X)=E(X-EX)2=DX,因此,方差是协方差的特例,协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系.,性质,1.cov(X,Y)=cov(Y,X)；,2.cov(aX,bY)=abcov(X,Y),a,b为任意常数；,3.cov(C,X)=0,C为任意常数；,4.cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y),推论 D(XY)=DX+DY2cov(X,Y),可以证明 若(X,Y)服从二维正态分布,即,则,二.相关系数,书P101定义3.10 设随机变量X和Y的方差为正值,称,注,若(X,Y)服从二维正态分布,则,例1.设(X,Y)服从二维正态分布,

16、且XN(1,9),YN(0,16),解,所以,性质,a0时,XY=1a0时,XY=-1,(4)若X,Y相互独立,则XY=0,证明,(2)cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)(aX+b)-E(aX+b),=E(X-EX)(aX-aEX),=aE(X-EX)2,=aDX,DY=D(aX+b)=a2DX,故,注意|XY|的大小反映了X,Y之间线性关系的密切程度:XY=0时,X,Y之间无线性关系;|XY|=1时,X,Y之间具有线性关系.,XY 0,X,Y相关XY=0,X,Y不相关,XY0,X,Y正相关XY0,X,Y负相关,XY=1,X,Y完全正相关,XY=-1,X,Y完全负相关

17、,显然,X,Y独立,注 X,Y不相关,不一定有X,Y独立.若(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y独立X,Y 不相关.,例2.(X,Y)的联合分布为:,求相关系数XY,并判断X,Y是否相关,是否独立.,解,=0,=3/4,由对称性得,EY=EX=0 EY2=EX2=3/4,另外,=1/8-1/8-1/8+1/8,=0,所以,cov(X,Y)=EXY-EXEY=0,即 X与Y不相关.,亦即 XY=0,另一方面,P(X=-1,Y=-1)=1/8P(X=-1)P(Y=-1)=(3/8)(3/8),所以X与Y不独立.,3.5 大数定律与中心极限定理,一.依概率收敛,书P107定义3.12,设随机变量序列

18、Xn,如果存在一个常数a,使得对任意的0，有,则称Xn依概率收敛于a,记作,二.大数定律,在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性，还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。,切比雪夫大数定律:设随机变量序列Xn相互独立,数学期望和方差均存在,E(Xn)=un,D(Xn)=n2 0,有,书P108定理3.9,推论：设Xn为相互独立的随机变量序列,且有相同期望与方差:E(Xi)=u,方差D(Xi)=2(i=1,2,.),则对任意的0,有,注：辛钦大数定理其实是将推论中要求方差存在这一条件去掉,书P107定理3.8（贝努里利大数定律）设每次试验中事件A发生的概率为p，n次重复独立试验中事件A发生的次数

19、为un，则对任意0,事件的频率 有,此定理说明了频率的稳定性。,三.中心极限定理,书P109定理3.11 林德贝格-勒维定理,例1.用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率?,解：,设一箱净重为X,箱中第i袋味精净重为Xi,(i=1,2,200),则 X1,X2,X200独立同分布,EXi=100,DXi=102=100,且,由中心极限定理得X近似服从正态分布,所求为P(X20500)=,1-P(X20500),=0.0002,故一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.,例3.一生产线生产的产品

20、成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.,例2.书P110例3.30,解:,设Xi(i=1,2,n)为装运的第i箱的重量,n是所求的箱数.则,X1,X2,Xn独立同分布,由中心极限定理得,所以,即最多可以装98箱.,书P111定理3.12(ab有,棣莫弗拉普拉斯中心极限定理,说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。,例1.从次品率为0.05的一批产品中随机地取200件产品。分别用二项分布，泊松分布，棣莫佛拉普拉斯中心极限定理计算取出的产品中

21、至少有3个次品的概率.,解：（1）用二项分布计算,(2)用泊松分布进行近似计算,(3)用棣莫佛拉普拉斯中心极限定理计算,例1例2.一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一人死亡的概率为0.006，死亡后其家属可向保险公司领得1000元。（1）(1)保险公司亏本的概率是多少？（2）(2)保险公司一年的利润不少于元40000，60000元，80000元的概率是多少？,解：设X为一年内死亡的人数，则由题设知,(1)保险公司亏本，即,由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理得,(2)利润不少于40000元，即,同理,例3.某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话

22、。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？,解：设有X部分机同时使用外线，则有,设有N条外线。由题意有,由德莫佛-拉普拉斯定理有,例4假设根据统计资料，男孩出生率为0.515，女孩出生率为0.485，试用中心极限定理求在10000个新生婴儿中男孩不多于女孩的概率。,解：用X表示10000个新生婴儿中男孩的人数，则,Xb(10000，0.515),男孩不多于女孩,即,例5.一条自动生产线上生产的产品次品率为20%，连续生产5000件，用中心极限定理估计次品率19%到21%之间的概率。,解：设X表示5000件产品中的次品数，则,XB(5000，0.2),例6一学校有1000名住校学生，每人都以80%的概率去图书馆上自习，问图书馆至少应设多少个座位才能以99%的概率保证上自习的同学有座位？,解：X表示同时去图书馆的人数，则,XB(1000，0.8),设至少设K个座位才能以99%的概率保证上自习的同学有座位，即,从而应设823个座位才能以99%的概率保证上自习的同学有座位。,