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1、第二章 轴向拉伸和压缩,Chapter2 Axial Tension and Compression,2-1 轴向拉压的概念及实例(Concepts and examples of axial tension&compression),第二章 轴向拉伸和压缩 Chapter2 Axial Tension and Compression,2-2 内力计算(Calculation of internal force),2-3 应力及强度条件(Stress and strength condition),2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能(Material properties in axial
2、tension and compression),2-5 拉压杆的变形计算(Calculation of axial deformation),2-6 拉压超静定问题(Statically indeterminate problem of axially loaded members),2-7 剪切变形(Shear deformation),2-1 轴向拉压的概念及实例(Concepts and example problems of axial tension&compression),一、工程实例(Engineering examples),三、变形特点(Character of defo
3、rmation)沿轴向伸长或缩短,二、受力特点(Character of external force)外力的合力作用线与杆的轴线重合,四、计算简图(Simple diagram for calculating),轴向压缩(axial compression),轴向拉伸(axial tension),一、求内力(Calculating internal force),设一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡,欲求杆件 横截面 m-m 上的内力.,22 内力计算(Calculation of internal force),在求内力的截面m-m 处，假想地将杆截为两部分.,取左部分部分作为
4、研究对象.弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替，合力为FN.,1.截面法(Method of sections),（1）截开,（2）代替,对研究对象列平衡方程,FN=F,式中：FN 为杆件任一横截面 m-m上的内力.与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心,称为轴力(axial force).,（3）平衡,若取 右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指向相反.,m,m,F,F,2.轴力符号的规定(Sign convention for axial force),m,F,F,（1）若轴力的指向背离截面，则规定为正的，称为拉力(tensile force).,（2
5、）若轴力的指向指向截面，则规定为负的，称为压力(compressive force).,二、轴力图(Axial force diagram),用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置,用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值,从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线,称为轴力图.将正的轴力画在x轴上侧,负的画在x轴下侧.,例题 1 一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图.,C,A,B,D,600,300,500,400,E,40kN,55kN,25kN,20kN,解:求支座反力,求AB段内的轴力,FN1,求BC段内的轴力,20kN,求CD段内的轴力,C,A,B,D,E,求DE段内的轴力,FN1=
6、10kN（拉力）FN2=50kN（拉力）FN3=-5kN（压力）FN4=20kN（拉力）,发生在BC段内任一横截面上,2-3 应力及强度条件(Stress and strength condition),一、横截面上的正应力(Normal stress on cross section),1.变形现象(Deformation phenomenon),（1）横向线ab和cd仍为直线,且仍然垂直于轴线;,（2）ab和cd分别平行移至ab和cd,且伸长量相等.,结论：各纤维的伸长相同,所以它们所受的力也相同.,2.平面假设(Plane assumption)变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平
7、面,且仍垂直于轴线.,3.内力的分布(The distribution of internal force),FN,均匀分布(uniform distribution),式中,FN 为轴力,A 为杆的横截面面积,的符号与轴力FN 的符号相同.,当轴力为正号时（拉伸）,正应力也为正号,称为拉应力;,当轴力为负号时（压缩）,正应力也为负号,称为压应力.,4.正应力公式(Formula for normal stress),二、斜截面上的应力（Stress on an inclined plane),1.斜截面上的应力（Stress on an inclined plane）,以 p表示斜截面 k-
8、k上的 应力，于是有,沿截面法线方向的正应力,沿截面切线方向的切应力,将应力 p分解为两个分量：,p,（1）角,2.符号的规定(Sign convention),（3）切应力 对研究对象任一点取矩,p,（1）当=0 时，,（2）当=45时，,（3）当=-45 时，,（4）当=90时，,讨 论,三、强度条件(Strength condition)杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力,1.数学表达式(Mathematical formula),2.强度条件的应用(Application of strength condition),（2）设计截面,（1）强度校核,（3）确定许可荷载,例题2 一横
9、截面为正方形的砖柱分上、下两段,其受力情况,各段长度及横截面面积如图所示.已知F=50kN，试求荷载引起的最大工作应力.,解：（1）作轴力图,（2）求应力,结论：在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力.,例题3 简易起重设备中，AC杆由两根 80807等边角钢组成，AB杆由两根 10号工字钢组成.材料为Q235钢，许用应力=170MPa.求许可荷载 F.,解：（1）取结点A为研究对象，受力分析如图所示.,结点A的平衡方程为,由型钢表查得,得到,（2）许可轴力为,（3）各杆的许可荷载,（4）结论：许可荷载 F=184.6kN,例题4 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点,B端作用集中力F=25kN
10、,已知CD杆的直径d=20mm,许用应力=160MPa，试校核CD杆的强度,并求：（1）结构的许可荷载F;（2）若F=50kN,设计CD杆的直径.,解：（1）求CD杆的内力,FRAx,（2）结构的许可荷载F,由,得,（3）若F=50kN，设计CD杆的直径,由,得,取d=25mm,FRAx,1.试验条件(Test conditions）,2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能(Mechanical properties of materials in axial tension and compression),一、实验方法(Test method),（1）常温:室内温度（2）静载:以缓慢平稳的方
11、式加载（3）标准试件：采用国家标准统一规定的试件,2.试验设备(Test instruments)（1）微机控制电子万能试验机（2）游标卡尺,二、拉伸试验(Tensile tests),先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为标距 l(original gage length).,l=10d 或 l=5d,1.低碳钢拉伸时的力学性质(Mechanical properties for a low-carbon steel in tension),（1）拉伸试样,（2）拉伸图(F-l 曲线),拉伸图与试样的尺寸有关.为了消除试样尺寸的影响，把拉力F除以试样的原始面积A，得正应力；同时把 l
12、除以标距的原始长度l，得到应变.,表示F和 l关系的曲线，称为拉伸图(tension diagram),（3）应力应变图 表示应力和应变关系的曲线，称为应力-应变图(stress-strain diagram),（a）弹性阶段,试样的变形完全弹性的.此阶段内的直线段材料满足胡克定律(Hookes law),b点是弹性阶段的最高点.,（b）屈服阶段,当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服(yielding).,c点为屈服低限,（c）强化阶段,过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化(hardening),e点是强
13、化阶段的最高点,（d）局部变形阶段,过e点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现 颈缩(necking)现象，一直到试样被拉断.,试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l 变为 l1，横截面积原为 A，断口处的最小横截面积为 A1.,断面收缩率(percent reduction in area),伸长率(percent elongation),5%的材料，称作塑性材料(ductile materials),5%的材料，称作脆性材料(brittle materials),（4）伸长率和端面收缩率,（5）卸载定律及冷作硬化,卸载定律(unloading law),若加栽到
14、强化阶段的某一点d 停止加载,并逐渐卸载,在卸载过程中,荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律(unloading law).,a,b,c,e,f,O,g,f,h,在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载,当再次加载时,试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大.这种现象称为冷作硬化,冷作硬化,e-弹性应变(elastic strain),p-塑性应变(plastic strain),d,Yield Strength and Ultimate Strength,2.无明显屈服极限的塑性材料(Ductile materials without clearing defined yi
15、eld point),3.铸铁拉伸时的机械性能,-铸铁拉伸强度极限,(Mechanical properties for a cast iron in tension),e,s,割线斜率,名义屈服应力用 表示.,Brittle vs.Ductile Behavior,三、材料压缩时的力学性能(Mechanical properties of materials in axial compression),1.实验试样(Test specimen),2.低碳钢压缩时的s-e曲线(Stress-strain curve for a low-carbon steel in compression),
16、压缩的实验结果表明,低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限s都与拉伸时大致相同.屈服阶段后,试样越压越扁,横截面面积不断增大,试样不可能被压断,因此得不到压缩时的强度极限.,3.铸铁压缩时的s-e曲线(Stress-strain curve for cast iron in compression),铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45 55倾角,表明这类试样主要因剪切而破坏,铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的45倍.,以大于1的因数除极限应力,并将所得结果称为许用应力,用表示.,2.许用应力(Allowable stress),1.极限应力(Ultimate stress),四、安全因数和许用应力
17、(Factor of safety&allowable stress),n 安全因数(factor of safety),塑性材料(ductile materials),脆性材料(brittle materials),材料的两个强度指标s 和 b 称作极限应力或危险应力,并用 u 表示.,五、应力集中(Stress concentrations),开有圆孔的板条,因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中(stress concentrations).,带有切口的板条,应力集中因数(stress-concentration factor),六、蠕变及松弛(creeping&r
18、elaxation),固体材料在保持应力不变的情况下，应变随时间缓慢增长的现象称为蠕变(creeping),粘弹性材料在总应变不变的条件下,变形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降低的现象称为松弛(relaxation),2-5 拉压杆的变形计算(Calculation of axial deformation),一、纵向变形(Axial deformation),2.纵向应变(Axial strain),1.纵向变形(Axial deformation),二、横向变形(Lateral deformation),三、泊松比(Poissons ratio),称为泊松比(Poissons ratio),
19、2.横向应变(Lateral strain),1.横向变形(Lateral deformation),四、胡克定律(Hookes law),式中 E 称为弹性模量(modulus of elasticity)，EA称为抗拉（压）刚度(rigidity).,实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比.,上式改写为,由,例题5 图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.试求：,（1）-、-、III-III截面的轴力并作轴力图,（2）杆的最
20、大正应力max,（3）B截面的位移及AD杆的变形,解：求支座反力 FRD=-50kN,（1）-、-、III-III截面的轴力并作轴力图,（2）杆的最大正应力max,AB段,DC段,BC段,max=176.8MPa 发生在AB段.,（3）B截面的位移及AD杆的变形,例题6 图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成.已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成=30 的角度,长度均为 l=2m,直径均为 d=25mm,钢的弹性模量为 E=210GPa.设在点处悬挂一重物 F=100 kN,试求 A点的位移 A.,解：（1）列平衡方程,求杆的轴力,（2）两杆的变形为,变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起.
21、,（伸长）,以两杆伸长后的长度BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A,即为A点的新位置.AA 就是A点的位移.,因变形很小,故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A,可认为,例题7 图示三角形架AB和AC 杆的弹性模量 E=200GPaA1=2172mm2，A2=2548mm2.求 当F=130kN时节点的位移.,解：(1)由平衡方程得两杆的轴力,1 杆受拉,2 杆受压,（2）两杆的变形,AA3 为所求A点的位移,一、静定与超静定问题(Statically determinate&indeterminate problem),2-6 拉压超静定问题(Statically indet
22、erminate problem of axially loaded members),1.静定问题(Statically determinate problem)杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题.,2.超静定问题(Statically indeterminate problem)只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题.,1.超静定的次数(Degrees of statically indeterminate problem)未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数.,二、超静定问题求解方法(Solution methods for sta
23、tically indeterminate problem）,2.求解超静定问题的步骤(Procedure for solving a statically indeterminate),（1）确定静不定次数；列静力平衡方程（2）根据变形协调条件列变形几何方程（3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程（4）联立补充方程与静力平衡方程求解,n=未知力的个数 独立平衡方程的数目,例题8 设 1，2，3 三杆用绞链连结如图所示，l1=l2=l，A1=A2=A，E1=E2=E，3杆的长度 l3,横截面积 A3,弹性模量E3。试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力.,三、一般超静
24、定问题举例(Examples for general statically indeterminate problem),这是一次超静定问题,（2）变形几何方程,由于问题在几何,物理及 受力方面都是对称,所以变形后A点将沿铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起,变形几何方程为,（3）补充方程,物理方程为,（4）联立平衡方程与补充方程求解,例题9 图示平行杆系1、2、3 悬吊着刚性横梁AB，在横梁上作用着荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E.试求三杆的轴力 FN1,FN2,FN3.,F,解：（1）平衡方程,这是一次超静定问题,且假设均为拉杆.,（2）变形几何方
25、程,物理方程,（3）补充方程,（4）联立平衡方程与补充方程求解,图示杆系,若3杆尺寸有微小误差,则在杆系装配好后,各杆将处于图中位置,因而产生轴力.3杆的轴力为拉力,1.2杆的轴力为压力.这种附加的内力就称为装配内力.与之相对应的应力称为装配应力(initial stresses).,四、装配应力(Initial stresses),(Statically indeterminate structure with a misfit),代表杆3的伸长,代表杆1或杆2的缩短,代表装配后A点的位移,（1）变形几何方程,（2）物理方程,（3）补充方程,（4）平衡方程,FN1，FN2，FN3,（5）联立
26、平衡方程与补充方程求解,例题10 两铸件用两根钢杆 1.2 连接,其间距为 l=200mm.现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间,并保持三根杆的轴线平行且等间距 a,试计算各杆内的装配应力.已知：钢杆直径 d=10mm,铜杆横截面积为2030mm的矩形,钢的弹性模量E=210GPa,铜的弹性模量E3=100GPa.铸件很厚,其变形可略去不计,故可看作刚体.,A,B,C,1,2,a,a,B1,A1,C1,l,3,C1,C,e,（1）变形几何方程为,C,（3）补充方程,（4）平衡方程,（2）物理方程,C,A,B,FN3,FN1,FN2,联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内
27、力，进而求出装配应力.,五、温度应力(Thermal stresses or temperature stresses),例题11 图 示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结.设两支承的距离（即杆长）为 l,杆的横截面面积为 A,材料的弹性模量为 E,线膨胀系数为.试求温度升高 T 时杆内的温度应力.,温度变化将引起物体的膨胀或收缩.静定结构可以自由变形,不会引起构件的内力,但在超静定结构中变形将受到部分或全部约束,温度变化时往往就要引起内力,与之相对应的应力称为热应力(thermal stresses)或温度应力(temperature stresses).,解:这是一次超静定问题,变形相
28、容条件是杆的总长度不变.,杆的变形为两部分,即由温度升高引起的变形 lT 以及与轴向压力FR相应的弹性变形 lF,（1）变形几何方程,（3）补充方程,（4）温度内力,（2）物理方程,由此得温度应力,一、基本概念和实例(Basic concepts and examples),1.工程实例(Engineering examples),（1）螺栓连接(Bolted connections),2-7 剪切变形(Shear deformation),（2）铆钉连接(Riveted connections),（3）键块联接(Keyed connection),（4）销轴联接(Pinned connect
29、ion),2.受力特点(Character of external force),以铆钉为例,构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用.,3.变形特点(Character of deformation)构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动.,4.连接处破坏三种形式:(Three types of failure in connections)（1）剪切破坏 沿铆钉的剪切面剪断，如沿n-n面剪断.（2）挤压破坏 铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使溃压连接松动，发生破坏.（3）拉伸破坏,钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断.,二、剪切的应力分析(Analysis
30、 of shearing stress),1.内力计算(Calculation of internal force),FS-剪力(shearing force),2.切应力（Shearing stress）,式中，FS-剪力(shearing force),A-剪切面的面积(area in shear),3.强度条件(Strength condition),为材料的许用切应力(Allowable shearing stress of a material),(factor of safety),n-安全因数,-剪切极限应力,(ultimate shearing stress),螺栓与钢板相互接
31、触的侧面上,发生的彼此间的局部承压现象,称为挤压(bearing).,三、挤压的应力分析(Analysis of bearing stress),在接触面上的压力,称为挤压力(bearing force),并记为F,1.挤压力(Bearing force)F=FS,（1）螺栓压扁,（2）钢板在孔缘压成椭圆,2.挤压破坏的两种形式(Two types of bearing failure),3.挤压应力(Bearing stress),F-挤压力(bearing force),Abs-挤压面的面积(area in bearing),4.强度条件(Strength condition),bs-许用
32、挤压应力(allowable bearing stress),挤压现象的实际受力如图 所示.,（1）当接触面为圆柱面时,挤压面积Abs为实际接触面在直径平面上的投影面积,挤压面的面积计算,（2）当接触面为平面时,Abs 为实际接触面面积.,四、强度条件的应用(Application of strength conditions),4.破坏条件(failure condition),解：（1）键的受力分析如图,例题12 齿轮与轴由平键连接,已知轴的直径d=70mm,键的尺寸为bhL=20 12 100mm,传递的扭转力偶矩Me=2kNm,键的许用切应力为=60MPa,许用挤压应力为bs=100M
33、Pa.试校核键的强度.,综上，键满足强度要求.,（2）校核剪切强度,（3）校核挤压强度,例题13 一销钉连接如图所示，已知外力 F=18kN,被连接的构件A 和 B 的厚度分别为 d=8mm 和d1=5mm,销钉直径 d=15mm,销钉材料的许用切应力为=60MPa,许用挤压应力为bs=200MPa.试校核销钉的强度.,解:（1）销钉受力如图b所示,（2）校核剪切强度,由截面法得两个面上的剪力,剪切面积为,（3）挤压强度校核,这两部分的挤压力相等，故应取长度为d的中间段进行挤压强度校核.,故销钉是安全的.,（1）销钉的剪切面面积 A,（2）销钉的挤压面面积 Abs,思考题,例14 冲床的最大冲
34、压力F=400kN,冲头材料的许用压应力=440MPa,钢板的剪切强度极限u=360MPa,试求冲头能冲剪的最小孔径d和最大的钢板厚度.,F,解：（1）冲头为轴向压缩变形,d=34mm,F,解：（2）由钢板的剪切破坏条件,=10.4mm,例题15 一铆钉接头用四个铆钉连接两块钢板.钢板与铆钉材料相同.铆钉直径 d=16mm,钢板的尺寸为 b=100mm,d=10mm,F=90kN,铆钉的许用应力是=120MPa,bs=120MPa,钢板的许用拉应力=160MPa.试校核铆钉接头的强度.,解：（1）校核铆钉的剪切强度,每个铆钉受力为 F/4,每个铆钉受剪面上的剪力为,（2）校核铆钉的挤压强度,每个铆钉受挤压力为F/4,（3）校核钢板的拉伸强度,整个接头是安全的,第二章结束,
