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1、Ch1-39,1.3 频率与概率,设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，,则称 为事件A发生的频率,Ch1-40,频率的性质,事件 A,B互斥，则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,Ch1-41,投一枚硬币观察正面向上的次数,n=4040,nH=2048,f n(H)=0.5069,n=12000,nH=6019,f n(H)=0.5016,n=24000,nH=12012,f n(H)=0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰(Buffon)投币,皮尔森(Pearson)投币,Ch1-42,例 Dewey G.统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率,发现各字母出现 的频率不同
2、：,A:0.0788 B:0.0156 C:0.0268 D:0.0389E:0.1268 F:0.0256 G:0.0187 H:0.0573I:0.0707 J:0.0010 K:0.0060 L:0.0394M:0.0244 N:0.0706 O:0.0776 P:0.0186Q:0.0009 R:0.0594 S:0.0634 T:0.0987U:0.0280 V:0.0102 W:0.0214 X:0.0016Y:0.0202 Z:0.0006,Ch1-43,概率的统计定义,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中,事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动,且随 n 越大摆
3、动幅度越,小,则称 p 为事件 A 的概率,记作 P(A).,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便使用,Ch1-44,设 是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使对于E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为P(A),称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：,非负性：,归一性：,可列可加性：,其中 为两两互斥事件，,概率的公理化定义,公理化定义,Ch1-45,概率的性质,若,Ch1-46,对任意两个事件A,B,有,B,B=AB+(B A),P(B)=P(AB)+P(B A),Ch1-47,加法公式：对任意两个事件A,B,有,推广：,Ch1-48,一般：,右端共有 项.,Ch1
4、-49,例1 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王,解 事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率(2)至少有一类问题能答出的概率(3)两类问题都答不出的概率,(2),(3),例1,Ch1-50,课后同学问：,例1 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.为什么不是？,若是的话,则应有,而现在题中并未给出这一条件.,在1.4中将告诉我们上述等式成立的,条件是：事件 相互独立.,Ch1-51,例2 设A,B满足
5、P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下，P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得,最小值,最大值,最大值在 时取得,例2,Ch1-52,课上有同学提问,最小值是否正确？,例2 中回答当 时,取得,这相当于问如下命题是否成立,答：不成立！,式是“羊肉包子打狗”有去路,没回路,为什么呢？学了几何概型便会明白.,Ch1-53,设 随机试验E 具有下列特点：,基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生,则称 E 为 古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,记,则,概率的古典定义,古典概型,1.4 等可能(古典)概型,Ch1-54,例3 袋中有a 只白球，b
6、只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m个球（),求其中恰有 k 个（）白球的概率,解（1）不放回情形,设 E:球编号,任取一球,记下颜色,放在一边，重复 m 次,记事件 A 为m个球中恰有k个白球，则,例3,Ch1-55,则,Ch1-56,又解 设 E1:一次取 m 个球,记下颜色,记事件 A 为 m 个球中有 k 个白球，则,不放回地逐次取 m 个球,与一次任取 m 个球算得的结果相同.,因此,称 超几 何分布,Ch1-57,（2）放回情形,E2:球编号,任取一球,记下颜色,放回去,重复 m 次,记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球,则,称二项分布,Ch1-58,设有 k 个不同的球
7、,每个球等可能地落入 N 个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球(),（5）至少有两个球在同一盒子中；,（6）每个盒子至多有一个球.,例4（分房模型）,例4,Ch1-59,解,设(1)(6)的各事件分别为,则,Ch1-60,例5“分房模型”的应用,生物系二年级有 n 个人，求至少有两,人生日相同（设为事件A)的概率.,解,为 n 个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”，365天为,365只“盒子”,若 n=64，,每
8、个盒子至多有一个球.由例4（6）,例5,Ch1-61,解,例6 在0,1,2,3,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.,设 A为“能排成首位非零的四位偶数”,四位偶数的末位为偶数,故有 种可能,而前三位数有 种取法,由于首位为零的四,位数有 种取法,所以有利于A发生的取,法共有 种.,例6,Ch1-62,解,设 A 表示事件“n 次取到的数字的乘积能被10整除”,设 A1 表示事件“n 次取到的数字中有偶数”A2表示事件“n 次取到的数字中有5”,A=A1 A2,例7 在1,2,3,9中重复地任取 n()个数,求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.,例7,Ch1-6
9、3,Ch1-64,1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验,使其成为等可能概型.,3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式,将复杂问题简单化.如例7.,2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而不同,如 例3不放回试验的两种不同设计.一般 越小越好.,Ch1-65,若P(A)0.01,则称A为小概率事件.,小概率事件,一次试验中小概率事件一般是不,会发生的.若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.,小概率原理,小概率原理,(即实际推断原理),Ch1-66,例8 区长办公室某一周内曾接待过9次来,访,这些来访都是周三或周日进行的,是
10、否,可以断定接待时间是有规定的？,解 假定办公室每天都接待，则,P(9次来访都在周三、日)=0.0000127,这是小概率事件,一般在一次试验中不会发,发生.现居然发生了,故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的.,例8,Ch1-67,柯尔莫哥洛夫,(A.H.1903-1987),1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员.为 20 世纪最有影响的俄国数学家.,俄国数学家,柯尔莫哥洛夫,Ch1-68,柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献.,他建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础.,他又是随机过程论的
11、奠基人之一,其主要工作包括:,20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作;,Ch1-69,1933年在概率论的基本概念一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题),30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程;,用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论;,40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;,Ch1-70,在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理论;,50年代中期开创了研究函数特征的,信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德,的工作解决并深化了希尔伯特第13问题,用较少变量的函数表示较多变量的函数;,60年代后又创立了信息算法理论;,Ch1-71,
12、1980年由于它在调和分析,概率论,遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖;,他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括.M.盖尔范德,B.阿诺尔德,.西奈依等人.,他还非常重视基础教育,亲自领导了中学 数学教科书的编写工作.,Ch1-72,每周一题(2),问 题,已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,通过做此题 你能发现什么问题？,第 2 周,Ch1-73,例9 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率,9点,10点,10分钟,例9,Ch
13、1-74,几何概型 设样本空间为有限区域,若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比,则样本点落入G内的概率为,Ch1-75,例10 设两船到达同一码头的时间是随机的且各不相干.两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 与 2 小 时,试求一昼夜内,任一船到达时,需要等待空出码头的概率.,解 设船 1 与船 2 到达码头的瞬时为 x 与 y，0 x 24，0 y 24,设 事件A 表示“任一船到达时需要等待空出码头”.,例10,Ch1-76,Ch1-77,用几何概型可以回答例 2 中提出的“概率为 1 的事件为什么不一定发生?”这一问题.,Ch1-78,设试验为“随机地向边长为
14、1 的,正方形内投点”.事件A 为“点投,由于点可能投在正方形的对角线上,所以事件 A 未必一定发生.,求,在黄、蓝两三角形内”,如图，,Ch1-79,完全可加性,随机地向区间(0,1 投掷一个质点，,令事件 A 为该质点落入区间,事件 Ak 为该质点落入区间,A,附录,附录,Ch1-80,Ch1-81,排列组合有关知识复习,Ch1-82,排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列,Ch1-83,Ch1-84,，不同的分法共有,多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组（组编号），各组分别有 个元素，,种,组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组，不同的分法共有,Ch1-85,将15 名同学(含3 名女同学),平均分成三组.求(1)每组有1 名女同学(设为事件A)的概率；(2)3 名女同学同组(设为事件B)的概率,解,（1）,（2）,例11,Ch1-86,例12 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率,解 设 A 为所求的事件,设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒，i=1,2,3,4,则,Ch1-87,由广义加法公式,
