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1、Ch2-12,2.2离散型随机变量及其概率分布,定义,若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个,则称 X 为离散型随机变量,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,Ch2-13,分布律的性质,X,或,Ch2-14,F(x)是分段阶梯函数,在 X 的可能取值 xk 处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度 pk.,其中.,Ch2-15,解,例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯,每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过.,首次停下时已通过的信号灯盏数,求 X 的概率分布与 p=0.4 时的分布函数.,令 X 表示,Ch2-16,当,Ch2-17,1,Ch2-1
2、8,用分布律或分布函数来计算事件的概率,例2 在上例中,分别用分布律与分布函数计算下述事件的概率：,解,或,Ch2-19,或,Ch2-20,例3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r 次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p(0 p 1),且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数 X 的概率分布.,帕斯卡分 布,Ch2-21,注,利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质,当,Ch2-22,归纳地,令,Ch2-23,(1)0 1 分布,注 其分布律可写成,0 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统,计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.,Ch2-24,(2)二项分布
3、,n 重伯努利Bernoulli 试验中,X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数,P(A)=p,若,则称 X 服从参数为n,p 的二项分布，记作,01 分布是 n=1 的二项分布,Ch2-25,二项分布的取值情况,设,由图表可见,当 时，,分布取得最大值,此时的 称为最可能成功次数,Ch2-26,Ch2-27,设,由图表可见,当 时，,分布取得最大值,Ch2-28,Ch2-29,二项分布中最可能出现次数的定义与推导,则称 为最可能出现的次数,Ch2-30,当(n+1)p 整数时,在 k=(n+1)p 处的概率取得最大值,Ch2-31,例4 独立射击5000次,每次命中率为0.001,解(1)
4、k=(n+1)p,=(5000+1)0.001=5,求(1)最可能命中次数及相应的概率；,(2)命中次数不少于1 次的概率.,Ch2-32,(2)令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001),本例启示,Ch2-33,由此可见日常生活中“提高警惕,防火,由于时间无限,自然界发生地震、海,啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的,同样,人生中发生车祸、失恋、患绝,症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常,现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而,防盗”的重要性.,事，不用奇怪，不用惊慌.,跳物理楼(交大闵行校区最高楼)自杀.,Ch2-34,Poisson定理说明若X B(n,p),则当n 较大，p
5、 较小,而 适中,则可以用近似公式,问题 如何计算？,Ch2-35,证,记,Ch2-36,类似地,从装有 a 个白球，b 个红球的袋中不放回地任取 n 个球,其中恰有k 个白球的概率为,对每个 n 有,结 论,超几何分布的极限分布是二项分布,二项分布的极限分布是 Poisson 分布,Ch2-37,解 令X 表示命中次数,则,令,此结果也可直接查 P.378 附表2 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万分之一.,利用Poisson定理再求例4(2),X B(5000,0.001),Ch2-38,由题意,多少个产品？,Ch2-39,得 n+1=6,n=5,故每箱至少应
6、装105个产品,才能符合要求.,应用Poisson定理,Ch2-40,在实际计算中,当 n 20,p 0.05时,可用上述公式近似计算;而当 n 100,np 10 时,精度更好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,Ch2-41,解(1)设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台,设备中发生故障的台数，则 X
7、 B(90,0.01),自学（详解见教材 P.61例6),Ch2-42,令,则,查附表2得 N=4,Ch2-43,三个人共同负责90台设备发生故障不能 及时维修的概率为,Ch2-44,设每个人独立负责30台设备，第 i 个人负责的 30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai,则,三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件,故 三个人共同负责90 台设备比各自负责好！,Ch2-45,在Poisson 定理中，,由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 Poisson 分布,Ch2-46,(3)Poisson 分布,若,的Poisson 分布.,Ch2-47,在某个时段内：,大卖场的顾客数
8、；,某地区拨错号的电话呼唤次数；,市级医院急诊病人数；,某地区发生的交通事故的次数.,一个容器中的细菌数；,一本书一页中的印刷错误数；,一匹布上的疵点个数；,放射性物质发出的 粒子数；,Ch2-48,都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件,则称为 Poisson 流,在 长为 t 的时间内出现的质点数 Xt P(t),Ch2-49,例7 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X,设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的.,已知X P()，且每个虫卵发育,成幼虫的概率为 p.,求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布.,Ch2-50,解,昆虫,X 个虫卵,Y 个幼虫,已知,由全
9、概率公式,Ch2-51,故,Ch2-52,为X 的分布函数.,设 X 为随机变量,x 是任意实数,称函数,定义,由定义知 X 落在区间(a,b 里的概率可用分布函数来计算：,2.3随机变量的分布函数,Ch2-53,分布函数的性质,F(x)单调不减，即,且,F(x)右连续，即,Ch2-54,用分布函数表示概率,Ch2-55,已知运载火箭在飞行中进入其仪,器舱的宇宙粒子数服从参数为 2 的泊,松分布.而进入仪器舱的粒子随机落,到仪器重要部位的概率为 0.1，求有,3 个粒子落到仪器重要部位的概率.,第五周,问题,Blaise Pascal 1623-1662,帕斯卡,法国数学家物理学家 思想家,帕
10、斯卡四岁丧母,在父亲精心培养下,16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成圆锥曲线论,由此定理导出400余条推论,这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步.,帕斯卡简介,1642年发明世界上第一台机械加法计算机帕斯卡计算器.,他应用此方法解决了摆线问题.,1654年研究二项系数性质,写出论算术三角形一文,还深入讨论不可分原理,这实际上相当于已知道,1647年他发现了流体静力学的帕斯卡原理.,三十岁时他曾研究过赌博问题,对早期概率论的发展颇有影响.,1658年完成了摆线论,这给 G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微 积分的建立.,在离散型随机变量的分布中有个以帕斯卡名字命名的分布，它应用于重复独立试验中，事件发生 次的场,帕斯卡还写过不少文学著作.,1654年他进入修道院,献身于哲学,合.而有名的几何分布正是其 时的特例.,和宗教.,Ch2-61,自动生产线调整以后出现废品的概率为 p,当生产过程中出现废品时立即重新进行调整,问两次调整之间的合格品数服从什么分布？,思考题,附录,
