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1、第九章 弯曲变形 静不定梁,9-1 概 述一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。,摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。,1.挠曲线,二、弯曲变形的基本概念,挠曲线,2.挠度和转角,规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正,挠曲线方
2、程：,转角方程：,9-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,一、梁的挠曲线近似微分方程式,曲线 的曲率为,梁的挠曲线近似微分方程:,二、用积分法求梁的变形,式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,解：,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,解：,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例：已知
3、梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和 vmax。,解：,由边界条件：,得：,由对称条件：,得：,AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,解：由对称性，只考虑半跨梁ACD,由连续条件：,由边界条件：,由对称条件：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,9-3 用叠加法计算梁的变形梁的刚度计算,一、用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用
4、几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。,例：用叠加法求,解：,例：已知梁的 为常数，今欲使梁的挠曲线在 处出现一拐点，则比值为多少？,解：由梁的挠曲线近似微分方程,知，在梁挠曲线的拐点处有：,从弯矩图可以看出：,例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁、如图示，梁的最大挠度是梁的多少倍？,例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？,例：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。,解：,例：若图示梁B端的转角B=0，则力偶矩等于多少？,解：,例：求图示
5、梁 C、D两点的挠度 vC、vD。,解：,例：求图示梁B、D两处的挠度 vB、vD。,解：,例：求图示梁C点的挠度 vC。,解：,例：用叠加法求图示变截面梁B、C截面的挠度 vB、vC。,解：,例：用叠加法求图示梁端的转角和挠度。,解：,例：用叠加法求图示梁跨中的挠度vC和B点的转角B（为弹簧系数）。,解：弹簧缩短量,例：梁AB，横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁中点的挠度。,例：图示梁处为弹性支座，弹簧刚度。求C端挠度vC。,解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为,(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度
6、为,(3)C点总挠度为,例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。,解：,二、梁的刚度计算,刚度条件：,v、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。,例：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，v=l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。,解：由刚度条件,9-4 提高弯曲刚度的措施,影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度EI二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置,
7、9-5 用变形比较法解静不定梁,一、静不定梁的基本概念,用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统。,二、用变形比较法解静不定梁,例：求图示静不定梁的支反力。,解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：,另解：将支座A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：,例：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求(1)二梁接触处的压力；(2)加固前后AB梁最大弯矩的比值；(3)加固前后B点挠度的比值。,解：(1)变形协调条件为：,(2),例：梁ABC由AB、BC两段组成，两段梁的EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。,解：变形协调条件为：,
