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1、教学目的及基本要求:1.正确掌握并理解数列，函数极限的概念.收敛数列的 性质.,第二章 极限与连续2.1 极限,2.能够应用 语言处理数列极限的一些 问题。3.会运用四则运算定理证明 重点与难点：数列。函数极限的概念。课时：4学时,2.1.1 数列极限 一般地,我们把按一定顺序排列的无穷多个数称为一个数列.例如,(1)(2)(3)(4),都是数列.通常也把数列写成,数列中的每一个数叫做数列的项.第n项 叫做数列的通,项或一般项.因此,数列可用通项简记为.,上述数列(1)(4)的通项分别为,对于数列,我们主要关注的是当它的项数 无限增大时它的变化趋势.例如,当 无限增大时,数列(1)中的数也随着
2、无限增大;数列(2)却变得越来越小而接近于0;数列(3)在1与-1之间交替取值;数列(4)不随变化而恒为.为此,我们引入数列收敛的定义.,定义1 如果当 时,数列 无限接近于一个常数,则称数列 为收敛数列,称为 时的极限,记为.不收敛的数列称为发散数列.,显然,这个定义是十分粗糙的,因为没有说明 时与常数A无限接近的精确含义是什么.通俗地讲,所谓“时 与常数A无限接近”指的是当项数 充分大时,与常数A的距离无限小,也就是 的值可以小于任何指定的正数.,例如,对于数列,如果我们指定它与0的距离小于,则只要 时就有,如果指定它与0的距离小于,则只要 就有,同理,若指定它与0的距离小于,则只要,就有
3、,因此,时与常数A无限接近”的精确含义就是:对于无论多么小的正数,可以选择一个充分大的自然数N,使得从N以后数列的所有项，都满足,于是我们重新给出数列收敛的精确定义.定义2 当 时,有,例1：证明.分析：对于 要使得，只须 即可满足要求.证:,当 时,有,故,收敛数列 有如下简单性质:(i)的极限是唯一的.(ii)为有界数列,即,对于一切 均 有.推论:无界数列一定发散,注:数列收敛一定有界,但反之有界数列不一定收敛.例如 是有界数列,可它却是发散的.即数列有界是收 敛的必要条件而非充分条件.,2.1.2 函数极限1.自变量趋于无穷大时的极限 由于数列可看作是定义在自然数集上的特殊函数 从而可
4、仿照数列极限定义给出函数 当 时的极限定义.,定义3如果对于,当 有,则称A为 时 的极限,记为(或）,在上述定义中,如果只当(或)时,有,有,则称A为(或)时的极限.,例3 证明.分析:,要使.只须 即可.证:,当 时有,故.,2.自变量趋于有限值时的极限定义4 如果对于,当 时有,则称A为 时 的极限,记为,注:1)定义中 说明 时 的极限与 在 有无定义及 为何值无关.2)是随 而确定的正数,通常情况是 越小,则 也越小.,3.左(右)极限 当自变量 只从 的左(右)侧单边趋向于 时的极限称为 时的左(右)极限.,左极限:,右极限:,根据定义容易证明:,例4 讨论,当 时的极限.,解:当
5、 时,当 时,因而,故 不存在.,2.1.3 极限的运算法则,四则运算：若函数 与 在 都存在极限，则函数，也存在极限，且(1)(2)(3)(4),例5 求.解:,例六 求.解:原式,教学目的及基本要求：1.深刻理解函数连续、函数左右极限、区间上函数连续、间断点及其分类等概念。2.对一般的函数，特别是初等函数可以讨论其间断点并且 分类。,2.2 函数的连续性,重点与难点：函数连续的定义，间断点的判别及分类。课时：2学时,2.2.1 函数连续的定义,定义9 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果 那么就称函数f(x)在点x0连续.,定义10(左(右)连续),由函数的连续定义可知:在点
6、 连续的充要条件是 在点 左连续且右连续.,定义11 设 函数,当自变量 从初值 变到终值 时,称 为 的改变量(或增量),为函数的改变量.,由定义11,设,则 于是定义9可改写为 或,从几何上看，在 上连续的函数的图形是一条无间断的曲线，即是从点 到点 的一笔画成的曲线（见图2-3）,如果函数 在区间 上每一点都连续,我们就称 在 上连续或称 为 上的连续函数,我们通常把函数的间断点分成以下三类：,二、函数的间断点,定义 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数 f(x)有下列三种情形之一：(1)在x=x0没有定义；(2)虽在x=x0有定义，但 不存在；(3)虽在x=x0有定义，且 存在,但则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.,1.可去间断点:2.第一类间断点:与 均存在但不相等 3.第二类间断点：与 两者至少有一个不 存在,例1指出下列函数的间断点并判别其类型1.2.3.,作业：1、2 四 五,极限与连续极限的概念是微积分学的理论基础,本章介绍数列与函数极限的概念、运算性质，以及函数连续性的概念与简单性质.2.1 极限,
