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1、第三章 导 数,一 导 数,3.1 导数的概念,(1),1.曲线的切线,求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率。,设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点P(x0,y0)及邻近的一点Q(x0+x,y0+y)，过P、Q两点作割线，并分别过P,Q两点作x轴与y轴的平行线MP，MQ，又设割线PQ的倾斜角为。那么,M,当x0时，动点Q将沿曲线趋向于定点P，从而割线PQ也将随之变动而趋向于切线PT。,此时割线PQ的斜率趋向于切线PT的斜率：,设切线PT的倾斜角为，那么当x0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即,切线问题,割线的极限位置切线位置,播放,例如，曲
2、线的方程为y=x2+1,那么此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率,设物体作直线运动所经过的路程为s=s(t)。以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为,就是物体在t0时刻的瞬时速度，即,v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值，,t 越小，,近似的程度就越好。,所以当t0时，极限,2.瞬时速度,3.导数的概念,由定义求导数（三步法）,步骤:,例1.求y=x2在点x=1处的导数,解：,函数在一区间上的导数：,如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导这时，对于开区间(a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作,即,f(x0)与f(x)之间的关系：,当x0(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)等于函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f(x)在点x0处的函数值,如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点X0处连续.,注意:,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,播放,例2.已知,解:,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,播放,
