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1、教学内容:导数在经济分析中的应用,边际函数 反映了函数 在点 处的变化率。,1.定义:设函数 在点 处可导，则称导数 为函数在x处的边际函数。,一.边际分析,称 为函数 在 处的边际函数值。,例如，,求函数在点处的边际函数值,并说明意义.,解:因,所以,即边际函数值为14.,它表示函数在处，当改变一个单位时，函数(近似地)改变14个单位。,在经济活动分析中，边际函数主要有边际成本、边际收益、边际利润等.,二、边际成本,1.总成本函数,2.边际成本,即增加的这一个单位产品成本是,4、边际分析,经济中经常比较边际成本值与平均成本值的大小关系，以确定产量的变化,即此时应该增加产量，以降低产品的平均成
2、本,即此时应该降低产量，以降低产品的平均成本,例1.设总成本函数为:求：边际成本函数；生产50个单位时的平均单位成本，和边际成本值，并解释后者的经济意义。,解:边际成本函数为,时的平均单位成本为,(3)时的边际成本为,经济意义：当产量达到50个单位时，如果再增加1个产量,成本将增加为17.5元。,某工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C（元）是日产量x（吨）的函数：，求当日产量为100吨时的边际成本，并解释经济意义。,边际成本：经济意义是：当产量是100吨时，每增加1吨产量，成本增加9.5元。,例.设某工厂生产某种产品，固定成本为50个单位，每生产一个单位的产品，成本将增加2个单位；
3、价格与销售量的关系为,其中Q为产量(假定销售量等于产量)，P为产品的价格.,求当Q=10时的边际成本、收益与利润，并说明其经济意义.,解 总成本函数为,边际成本为,总收益函数为,边际收益为,总利润函数为,边际利润为,边际成本为,边际收益为,边际利润为,表示当产量为10个单位时，再生产一个单位的产品，总成本增加2个单位；,表示当产量为10个单位时，再增加一个单位的销售量，总收益增加6个单位；,表示当产量为10个单位时，再增加一个单位的销售量，总利润增加4个单位.,例.设某产品的销售量与价格的关系为,解 总收益函数为,边际收益为,表示当销售量为9个单位时，再增加一个单位的销售量，总收益(约)增加4
4、个单位；,表示当销售量为15个单位时，总收益达到最大值，再增加销售量总收益不会再增加；,表示当销售量为18个单位时，再增加一个单位的销售量，总收益反而(约)减少2个单位.,设函数 在点 处可导，称极限为函数 的弹性函数，记为，即,二.弹性分析,1.定义:,2.在点 处，弹性函数值 称为函数 在点 处的弹性值，简称弹性。,它表示在点 处，当 变动1%时，的值(近似地)变动,例.设函数，求其弹性函数以及在 处的弹性。,解:,所以弹性函数,(3)在 处的需求弹性，记作,设某商品的市场需求量,称为需求函数.一般情况下为减函数.,(2)需求弹性,在经济学中,规定需求弹性为,表示当价格为 时,价格每上升1
5、%时,需求量将减少,例 设某种商品的需求函数为,Q为需求量，,求当价格,时的需求弹性，并说明其经济意义.,解,其经济意义是，当价格为 P=3 时,价格再上涨 1%,需求量就减少 0.6%.,而销售量 Q 是价格 P 的函数 Q=Q(P)，,(1)若,需求变动的幅度小于价格变动的幅度；即价格上涨（或下跌），收益增加(或减少),(2)若,需求变动的幅度大于价格变动的幅度；价格上涨（或下跌），收益减少(或增加),(3)若，需求变动的幅度等于价格变动的幅度；价格变动，收益不变。,例.设某商品的需求函数为，求 需求弹性函数；P=4 时的需求弹性，并说明其经济意义；P=4 时，价格上涨1%，其总收益增加还
6、是减少？变化的幅度是多少？当 P 取多少时，总收益最大？,解:需求弹性函数：,当 P=4 时的需求弹性,这说明，在P=4时，价格每上涨1%，则需求量减少0.54%；或价格若下降1%,则需求量增加0.54%。,(3)当P=4时的收益弹性:,所以，当P=4时，价格上涨1%，总收益增加0.46%。,要使总收益R(P)最大，应有需求弹性 即,得P=5,P=-5（舍去），故当P=5时，总收益取得最大值。,例.设某商品的需求函数为，求 需求弹性函数;P=4 时的需求弹性，并说明其经济意义；P=4 时，价格上涨1%，其总收益增加还是减少？变化的幅度是多少？当 P 取多少时，总收益最大？,1.设某商品的供给函数为，求供给弹性函数以及 时的供给弹性 2.某产品的需求量Q与价格p之间的关系式为，求需求弹性。如果价格为0.5，试确定此时需求弹性的值。,答案：1.2.,
