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1、4.6 系统函数(网络函数)H(s),一系统函数,系统的零状态响应:,时域：,复频域：,，其中 h(t)称为单位冲激响应,系统状态为零时，响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数。,2.H(s)的几种情况,策动点函数：激励与响应在同一端口时,策动点导纳,策动点阻抗,转移导纳,转移阻抗,转移电压比,转移电流比,转移函数：激励和响应不在同一端口,4.应用：求系统的响应,3求H(s)的方法,利用网络的s域元件模型图，列s域方程,微分方程两端取拉氏变换,解：直接由分压、分流公式可以得到,例：电路如图，响应分别为，求对应的系统函数,例：,解：,于是得到,4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性,
2、一序言,冲激响应h(t)与系统函数H(s)从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。,在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。,主要优点：,1可以预言系统的时域特性；2便于划分系统的各个分量（自由强迫，瞬态稳态）；3可以用来说明系统的正弦稳态特性。,二H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应,在s平面上，画出H(s)的零极点图：极点：用表示，零点：用表示,1系统函数的零、极点,例：,极点：,零点：,画出零极点图：,2H(s)极点分布与原函数的对应关系,几种典型情况,一阶极点,当
3、，极点在左半平面，衰减振荡当，极点在右半平面，增幅振荡,二阶极点,系统零点分布只影响系统时域响应的幅度和相位,对时域响应模式没有影响。,两系统函数仅是零点不同，它们对应的冲激响应仅是响应幅度和相位不同，响应波形的模式均为衰减振荡模式,零点对时域波形的影响,三H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应,激励：,系统函数：,响应：,自由响应分量 强迫响应分量,几点认识,自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关，然而系数 都有关。,响应函数r(t)由两部分组成：系统函数的极点自由响应分量；激励函数的极点强迫响应分量。,定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率
4、（或称“自然频率”、“自由频率”）。H(s)的极点都是系统的固有频率；H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。,暂态响应和稳态响应,瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着t增大，将消失。稳态响应完全响应瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。,例：,给定系统微分方程,试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。,解：,方程两端取拉氏变换,零输入响应零状态响应,则,稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应,极点位于s左半平面,极点位于虚轴,暂态响应,稳态响应,H(s)的极点,E(s)的极点,自由响
5、应,强迫响应,4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性,一定义,所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况。,系统的响应,其中,系统的稳态响应,H(s)和频响特性的关系,频响特性,幅频特性,相频特性（相移特性）,二几种常见的滤波器,三根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线,令分子中每一项,分母中每一项,画零极点图,当 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。,由矢量图确定频率响应特性,例4-8-1,确定图示系统的频响特性。,例4-8-2,研究下图所示RC低通滤波网络的频响特性。,写出网络转移函数表达式,解:,频响特性,例
6、4-8-3,其转移函数为,相当于低通与高通级联构成的带通系统。,解：,频响特性,例：已知系统的零极点图如图所示，定性画出各系统对应的幅频特性,H(s)极点分布与原函数的对应关系,复 习,例：,给定系统微分方程,试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。,时域求解：,齐次解+特解,(系统函数极点)+（激励函数极点）,当 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。,4.10 全通函数与最小相移函数的零、极点分布,一全通网络,所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按
7、同样的幅度传输系数通过。,零、极点分布,极点位于左半平面，零点位于右半平面，零点与极点对于虚轴互为镜像,频率特性,幅频特性常数相频特性不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。,由于N1N2N3与M1M2M3相消，幅频特性等于常数K，即,二最小相移网络,若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“非最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。,三级联,非最小相移网络可以等效为最小相移网络与全通网络的级联。,非最小相移网络,最小相移网络,全通网络,Z1*,Z2*,*,*,4.11 线性系统的
8、稳定性,一定义（BIBO）,一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系统。,对所有的激励信号e(t),其响应r(t)满足,则称该系统是稳定的。式中，,稳定系统的充分必要条件是：,三证明,对任意有界输入e(t)，系统的零状态响应为：,充分性,充分性得证,必要性,无界,无界,无界,无界,必要性,必要性得证。,无界,无界,选择如下信号：,四由H(s)的极点位置判断系统稳定性,1稳定系统,若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），则可满足,系统是稳定的。,即,2不稳定系统,如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴
9、上有二阶（或以上）极点,系统是不稳定系统。,3临界稳定系统,如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。为非零数值或等幅振荡。,4系统稳定性的判据,从频域看要求H(s)的极点：,极点位于左半平面(稳定),虚轴上极点是单阶的(临界稳定,实际不稳定)。,例4-10-1,当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？,加法器输出端的信号,输出信号,如图所示反馈系统，子系统的系统函数,则反馈系统的系统函数为,为使极点均在s左半平面，必须,4.12 双边拉氏变换,一定义,优点：,收敛域：,单边拉氏变换的收敛域,其拉普拉斯变换存在条件为：,二双边拉氏变换的收敛域,全时域信号,收敛带,所以,不同的函数在各不相同的收敛条件下可能得到同样的拉式变换。,4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,单边拉氏变换的收敛域的情况为：,引言,一,二,衰减函数，傅氏变换是存在:,三,例如：,当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用经典法(定义式)，而是用取极限的方法（矩形脉冲的周期为无穷大）引入了冲激函数而得到的。,对于只有一阶极点的情况，极点位于虚轴,则,四总结,对于有起因信号，求单边拉氏变换中，一般是t0的信号，所以收敛域在收敛轴右边。对F(s)分解因式，找出极点。收敛域中不应有极点，最右边的极点为收敛坐标。,
