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1、1,请默写：常用函数的幂级数展开式：,2,回 顾,3,第七节,一、三角级数及三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第十二章,傅里叶级数,4,傅里叶简介(17681830)法国数学家、物理学家,他出身平民家庭,父亲是位裁缝.9岁时父母双亡,他被当地教堂收养,12岁时主教送他到镇上的军校读书,表现出对数学的特殊爱好,之后,他想当炮兵或工程兵,但因家庭地位低贫而遭拒绝。1789年回到家乡奥赛尔的母校教书.傅里叶因热心地方的公益事务而知名,还曾因替当时恐怖行为的受害人申辩而入狱,出狱后,他又去巴黎师范读书,为期甚短,但他的数学才华给人以深刻的印象.1795年,正好成立一
2、个新学校：巴黎综合工科学校,即被任命为拉格朗日,蒙日的助教从事教学工作,这一年还被讽刺性地作为恐怖分子的支持者再次入狱,后经同事营救而,5,释.1798年,蒙日把他推荐给拿破仑远征埃及,任军中文书和埃及研究院秘书,并从事外交活动,但同时他仍不断进行个人的业余研究,即数学物理方面的研究.1801年回国后,傅里叶希望继续在巴黎综合工科学校教书,但因拿破仑赏识他的行政才能,任命他为伊泽尔地区首府格列诺布尔的高级官员,由于政绩卓著,1808年拿破仑又授予他男爵称号,1815 傅里叶终于辞去爵位与官职,毅然返回巴黎以图全力投入学术研究,后来,随着政治局势的动荡，也几经沉浮,当傅里叶处于一生中最艰难的时期
3、时,得到了昔日同事与学生的关怀,为他谋得统计局主管之职,使他在工作之余有时间继续从事研究.1816年,傅里叶被提名为法国科学院的成员,开始因,6,他曾效力过拿破仑而被路易18所据,后来,事实澄清,于1817年就职科学院,其声誉又随之迅速上升,他的任职得到了拉普拉斯的支持,却不断受到泊松的反对,1822年,终于成为科学院的终身秘书,这是极有权利的职位.傅里叶一生为人正直,他曾对许多年轻的数学家和科学家给予无私的支持和帮助,人缘极好,从而得到他们的忠诚爱戴,并成为他们的至交好友.如：奥斯特、狄里克雷、阿贝尔等.傅里叶的主要成就在于他的热传导问题的研究,以及使用的数学方法.他的著作热的解析理论(18
4、22)是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.他深信数学是解决实际问题最卓越的工具.,7,一、问题的提出,简单的周期运动:,(谐波函数),(A为振幅,复杂的周期运动:,令,得函数项级数,为角频率,(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,8,二、三角级数及三角函数系的正交性,1.三角级数的定义,其中 都是常数.,2.三角函数系的正交性,(1)三角函数系的定义：组成三角级数的函数系,(2)三角函数系的正交性,正交,上的积分等于0.,即其中任两个不同的函数之积在,9,证:,同理可证:,10,上的积分不等于 0.,且,但是在三角函数系中两
5、个相同的函数的乘积在,11,三、函数展开成傅里叶级数,问题:,1)若能展开为三角级数,怎样确定,与f(x)有何关系?,2)展开的条件是什么?,收敛时其和函数是f(x)吗？,收敛吗？,12,定理 1.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,且,若右端级数可逐项积分,则有,1.傅里叶系数及傅里叶级数,13,14,15,16,傅里叶系数;,以,的傅里叶系数为系数的三角级数,的傅里叶级数.,称为,(欧拉公式),17,(欧拉公式),问题:,条件？,18,2.收敛定理（狄利克雷Dirichlet 充分条件）,定理2(收敛定理,展开定理),设 f(x)是周期为2的,周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet
6、)条件:,x 为f(x)的间断点,x 为f(x)的连续点,注意到：函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,19,若f(x)的图形：,则S(x)的图形：,20,注意:,1.请熟记收敛定理的条件与结论.,条件：,1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2)在一个周期内只有有限个极值点,f(x)的傅里叶级数处处收敛,且有和函数,结论：,x 为f(x)的间断点,x 为f(x)的连续点,设 f(x)是周期为2的周期函数,x 为f(x)的连续点时,21,2.f(x)的傅里叶级数的和函数 S(x)与f(x)的关系：,(1)S(x)与f(x)的定义域相同，,(2)S(x)与f(x)的周期性
7、相同,周期相等.,但函数值不一定相等.,x 为f(x)的连续点时,3.将周期为2的周期函数f(x)展开为傅氏级数的步骤：,第一步：判断f(x)是否满足收敛定理的条件并,确定f(x)的间断点（最好做出的图形）.,第二步：计算f(x)的傅里叶系数,（用欧拉公式）.,第三步：写出f(x)的傅氏级数，并注明等式成立的范围.,22,例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在,)上的表达式,解:,如图：,23,例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在,)上的表达式,和函数如图,24,例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在,)上的表达式,25,例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在,)上的表达式,
8、26,1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2)傅氏级数的部分和逼近,说明:,f(x)的情况见右图.,27,注意:,作法:,28,延拓前,延拓后,周期延拓,其它,傅里叶展开,上的傅里叶级数,29,例2.将函数,则,解:将 f(x)延拓成以,展成傅里叶级数.,2为周期的函数 F(x),F(x)满足收敛定理的条件,且在整个实数范围内连续.,30,所求函数的傅里叶级数展开式为:,31,利用此展式可求出几个特殊的级数的和.,当 x=0 时,f(0)=0,得,说明:,32,设,已知,又,33,解:,(92考研),在,处收敛于.,34,则,例4.设,提示:,(03 考研),回顾：多次分部积分的公式及 规 律,特别:当 u 为 n-1 次多项式时,计算大为简便.,35,(欧拉公式),3.收敛定理：,周期为2的函数f(x)若满足狄利克雷充分条件,(周期为2的函数f(x),内容小结,练习：P316 4.,预习：P310-P319,
