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1、-1-,第三节 傅里叶级数,三角函数系及其正交性函数展开成傅立叶级数一般周期函数展开成傅立叶级数,-2-,一 三角函数系及其正交性,简单的周期运动:,(谐波函数),(A为振幅,复杂的周期运动:,令,得函数项级数,为角频率,为初相),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,-3-,函数系,称为三角函数系。,定义,设函数系,是一簇定义在,上的平方可积的函数，,如果满足条件：,1),2),则称函数系,是区间,上正交函,数系。,-4-,同理,由于,-5-,因此，,三角函数系是区间,上的正交函数系。,同理，,三角函数系是区间,上的正交函数系。,-6-,二 函数展开成傅立叶级数,1 傅立叶系数,设 f
2、(x)是周期为 2 的周期函数,且,则由条件,对在,逐项积分,右端级数可逐项积分,-7-,(利用正交性),类似地,用 sin k x 乘 式两边,再逐项积分可得,-8-,因此,叶系数为系数的三角级数 称为,的傅里叶系数;,由公式 确定的,以,的傅里,的傅里叶级数.,称为函数,-9-,2 傅立叶级数的收敛性,定理(收敛定理,展开定理),设 f(x)是周期为2的,周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:,1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里叶级数收敛,且有,x 为间断点,其中,(证明略),为 f(x)的傅里叶系数.,x 为
3、连续点,注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,-10-,例1.,设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在,上的表达式为,解:,S(x)为f(x)的傅立叶级数的和函数，,求,的表达式,及,在,连续，,所以,在,连续，,所以,-11-,所以由周期性可知,-12-,3 函数展开成傅立叶级数,例2.,上的表达式为,将 f(x)展成傅里叶级数.,解:,设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在,1)以2为周期 的周期函数的傅立叶级数,在,连续，,因此其傅立叶级数,收敛到,当,时，,收敛到,-13-,-14-,例3.设,解:,将函数,且,展开成傅立叶级数。,-15-,利用此展式可求出
4、几个特殊的级数的和.,当 x=0 时,f(0)=0,得,设,-16-,已知,又,-17-,例4.设,的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成傅里叶级数.,是周期为2 的周期函数,它在,解:,在,连续，,因此其傅立叶级数,收敛到,当,时，,收敛到,-18-,-19-,2)定义在,上函数展开成傅立叶级数,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数,其它,最后在,上讨论级数的收敛性。,-20-,例5 将定义在,上函数,展开成傅里叶级数。,解,在,上满足收敛定理的条件，,周期延拓，,延拓后的函数在,处不连续，,因此其傅立叶级数,在,收敛到,在,上收敛到,并求级数,的和。,-21-,令,-22-,例6 将定义
5、在,上函数,展开成傅里叶级数。,解,在,上满足收敛定理的条件，,周期延拓，,延拓后的函数在,处不连续，,其傅立叶,级数在,收敛到,在,上收敛到,-23-,-24-,3)定义在,上函数展开成正弦、余弦级数,定理 对周期为 2 的奇函数 f(x),其傅里叶级数为,周期为2的偶函数 f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,-25-,周期延拓 F(x),f(x)在 0,上展成,周期延拓 F(x),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f(x)在 0,上展成,-26-,例7 将定义在,展成余弦级数,其中E 为正常数.,解:,上函数,将函数,先进行,偶延拓，,在进行周
6、期延拓，,延拓后函数在,连续，,因此展开后的余弦级数收敛到,-27-,-28-,例8.将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数.,解:先求正弦级数.,去掉端点,将 f(x)作奇周期延拓,注意:,在端点 x=0,级数的和为0,与给定函数,f(x)=x+1 的值不同.,-29-,再求余弦级数.,将,则有,作偶周期延拓,-30-,说明:令 x=0 可得,即,-31-,三 一般周期函数展开成傅立叶级数,设周期为2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在 f(x)的连续点处),其中,定理.,-32-,证明:令,则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将它展成傅里叶级数:,(在
7、F(z)的连续点处),变成,是以 2 为周期的周期函数,-33-,其中,令,(在 f(x)的 连续点处),证毕,-34-,说明:,其中,(在 f(x)的连续点处),如果 f(x)为偶函数,则有,(在 f(x)的连续点处),其中,注:无论哪种情况,在 f(x)的间断点 x 处,傅里叶级数,收敛于,如果 f(x)为奇函数,则有,-35-,例9.交流电压,经半波整流后负压消,失,试求半波整流函数的,解:这个半波整流函数,它在,傅里叶级数.,上的表达式为,的周期是,-36-,-37-,n 1 时,-38-,由于半波整流函数 f(t),直流部分,说明:,交流部分,由收,敛定理可得,2 k 次谐波的振幅为,k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x)了.,上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.,-39-,例10 将定义在,上函数,展开成傅立叶级数.,解,将函数进行周期延拓,延拓后函数在,上,连续，,-40-,-41-,例11 把,展开成,(1)正弦级数;(2)余弦级数.,解:(1)将 f(x)作奇周期延拓,则有,-42-,(2)将,作偶周期延拓,则有,
