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1、1,邬晓红,信号与系统,2,1.LTI系统对复指数信号的响应(Ch.3.1)2.连续时间周期信号的傅立叶级数表示(Ch.3.2)3.收敛性和吉伯斯现象(Ch.3.3)4.傅立叶级数与LTI系统(Ch.3.8)5.滤波(Ch.3.9),第三章 周期信号的傅立叶级数表示(Fourier Series Representation of Periodic Signals),3,傅里叶(17681830),周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和。非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示。,最重要的两个贡献：,4,第三章 傅立叶级数,3.1 LTI系统对复指数信号的响应,The Respon
2、se of LTI Systems to Complex Exponentials,时域基本信号单元单位：脉冲和单位冲击信号本章所关心的基本信号单元是：LTI系统的特征函数(Eigenfunctions)。,2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。,1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。,从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：,5,一.连续时间LTI 系统：,其中：,S,复变量,上式为 的拉普拉斯变换,证明：,LTI,6,对固定 值的特征值,系统的特征函数,注：若,则,如果：,因：,输入,输出,7,输入,输出,则：,8,二.离散时间系统：,LTI,其中：,复变量,上
3、式为 的 变换,证明：,9,系统特征值（对固定 值）,系统特征函数,注：若,则,如果：,输入,输出,因为,10,3.2 连续时间周期信号的傅里叶级数表示,一.成谐波关系的复指数信号的线性组合：,1.,周期信号,基波周期,基波频率,令：,为一组成谐波关系的复指数信号，频率为 整数倍,任意连续周期信号,傅里叶级数（FS),FS系数,11,2.对,周期信号,且：,为周期实信号,令,令,（2）,（1）,由（1）（2）,或,共轭对称,12,3.傅里叶级数的三角函数表示（实信号）,设,为周期实信号,13,（1）令,（2）令,14,二.连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定：,1.令,（1）对,15,（2）对
4、,16,17,则：傅里叶级数公式,称为傅里叶系数或 的频谱系数,可表示为：,傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。,18,例3.1：对连续时间周期信号,确定其傅里叶级数的系数,解：,19,第三章 傅立叶级数,其中,例3.2 已知一周期方波信号 见下图，求 的傅里叶级数,20,第三章 傅立叶级数,3.2 连续时间周期信号的傅立叶级数表示,根据 可绘出 的频谱图。称为占空比,21,第三章 傅立叶级数,3.2 连续时间周期信号的傅立叶级数表示,不变 时,22,第三章 傅立叶级数,3.2 连续时间周期信号的傅立叶级数表示,不变 时,23,第三章 傅立叶
5、级数,3.2 连续时间周期信号的傅立叶级数表示,周期性矩形脉冲信号的频谱特征：1.离散性 2.谐波性 3.收敛性,考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化：,当 不变，改变 时，随 使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2.当 改变，不变时，随 使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。,24,第三章 傅立叶级数,3.3 连续时间傅立叶级数的收敛,25,第三章 傅立叶级数,3.3 连续时间傅立叶级数的收敛,几个不满足Dirichlet条件的信号,26,第三章 傅立叶级数,3.3 连续时间傅
6、立叶级数的收敛,二.Gibbs现象,27,第三章 傅立叶级数,3.3 连续时间傅立叶级数的收敛,用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。,28,3.4 连续时间傅里叶级数性质,一.线性性：,若,是两个周期 T的周期信号：,则：,二.时移性：,若,则,（自证）,29,三.反折：,若,则,证：,令,30,四.尺度变换:,如果 的周期为，则 的周期为 且,五.乘积特性：,若 周期为T,则：,六.共轭与共轭对称性：,若,则,31,实信号,证：,令,
7、32,七.微分性:,若,则,证：,得证,33,例3.3 确定下列信号的傅里叶级数系数,34,解1：在例3.2中,令,35,由上图，在例3.2中，令,得,36,其中：,令,要使上等式成立，有：,37,38,2.令,39,八.帕斯瓦尔定理,说明：一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均,功率之和。,40,3.5 离散时间周期信号的傅里叶级数表示（DFS),周期信号：,是周期,41,3.6 FS和LTI系统,已知：,其中：,为复数,系统函数,取 则,其中：,频响,42,即：,输入,输出,令,即傅里叶级数：,43,例3.4 已知,求：,44,解：,其它,45,46,3.7 滤波,一.频率成形
8、滤波器：用于改变各频谱分量的相对大小。,如：微分滤波器,令,且,（1）,（2）,由（1）（2）,47,48,第三章 傅立叶级数,微分滤波器在一幅图象上的效果(边缘增晰),49,第三章 傅立叶级数,二.频率选择滤波器：,(1)低通滤波器(Lowpass filter)(2)高通滤波器(Highpass filter)（3)带通滤波器(Bandpass filter)（4）带阻滤波器（5）全通滤波器,用于基本上无失真地通过某些频率，而,显著地衰减掉或消除掉另一些频率的系统。,分类：,50,第三章 傅立叶级数,51,理想带阻,全通,当截止频率相同时：,高通低通1,带通带阻1,52,例3.5 已知：一连续系统，其频响为,其它,输入，周期 其傅氏系数为,且,问 能保证,解：,53,（1）,（2）,其它,其它,其它,（3）,54,因：,比较（1）（2）得,（4）,希望,由（4）：,由（3）时能满足,
