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1、1.2.1 排列,BEYOND 说音乐就是我的生命,我说*就是我的*,分类加法原理和分步乘法原理,问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？,把上面问题中被取的对象叫做元素,可以叙述为：,问题1：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？,ab,ac,ba,bc,ca,cb,问题2：从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的
2、排列方法？,abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.,排列：一般地，从n个不同中取出m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。,1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。,2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。,3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。,4、mn时的排列叫选排列，mn时的排列叫全排列。,5、为了使
3、写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。,(1)10名学生中抽2名学生开会(2)10名学生中选2名做正、副组长(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除(5)以圆上的10个点为端点作弦(6)以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线(7)有10个车站，共需要多少种车票？(8)有10个车站，共需要多少种不同的票价？,例1、下列问题中哪些是排列问题？,排列数：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示。,“排列”和“排列数”有什么区别和联系？,问题中是求从个
4、不同元素中取出个元素的排列数，记为,已经算得,问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出,探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数 是多少？,呢？,呢？,排列数公式（1）,当mn时，,排列数公式（2）,说明：,1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。,为了使当mn时上面的公式也成立，规定：,2、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。,排列:从n个不同的元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。,排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
5、，用符号 表示。,例2、解方程：,某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行多少场比赛?,有5本不同的书,从中选出3本给3名同学,每人一本,共有多少种不同的选法?,有5种不同的书,从中选出3本给3名同学,每人一本,共有多少种不同的选法?,排列数,分步乘法计数原理,某段铁路上有12个车站，共需要准备多少种普通客票？,每张票对应着2个车站的一个排列,解,某信号兵用红,绿,蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可挂一面,二面,三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可表示多少种不同的信号?,信号分三类，第一类为3面旗组成的信号，共A33种，第二
6、类为2面旗组成的信号，共A32种，第三类为1面旗组成的信号，共A31种，由加法原理得,解,N=6+6+3=16,3从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有种不同的方法？,1计算：（1）,（2）,课堂练习,2从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有种不同的种植方法？,4信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（）,用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解法一：对排列方法分步思考。,解法二：对排列方法分类思考。,解法三：间接法.,（1）直接计算法：即把符合限制条件的排列数直
7、接计算出来，此种算法又可分为先考虑特殊元素还是先考虑特殊位置两种方法。（2）间接计算法：即先不考虑限制条件，把所有排列种数算出。再从中减去全部不符合条件的排列种数，间接得出符合条件的排列种数。,变式：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中取出不同的5个数字组成一个5位偶数，有多少个这样的数？,直接法：,间接法：,类中分步,问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？,问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，
8、有多少种不同的选法？,问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个数，共多少个不同的取法？,把上面问题中被取的对象叫做元素,可以叙述为：,问题1：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，一共有多少种不同的取法？,ab,ac,ba,问题2：从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，一共有多少种不同的取法？,abc,abd,acb,bcd,组合：一般地，从n个不同中取出m(m n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。,1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。,2、两个组合相同，当且仅当这两个组合中的元素完全相同。,(1)10名学生中抽2名学生开会(2)10名
9、学生中选2名做正、副组长(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除(5)以圆上的10个点为端点作弦(6)以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线(7)有10个车站，共需要多少种车票？(8)有10个车站，共需要多少种不同的票价？,例1、下列问题是排列问题还是组合问题？,组合数：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示。,问题中是求从个不同元素中取出个元素的组合数，记为,已经算得,问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的组合数，记为，已经算出,组合数公式,排列:从
10、n个不同的元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。,组合：一般地，从n个不同中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。,排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示。,组合数：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示。,组合数公式：,n,mN*,并且mn,全排列：,4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法?（1）甲不在中间也不在两端；（
11、间接法-排除法）(优限法）（2）甲、乙两人必须排在两端；（优限法-特殊位置法）（3）男、女生分别排在一起；（捆绑法）（4）男女相间；（插空法）（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定,7名学生站成一排,下列情况各有多少种不同的排法。（1）甲、乙必须排在一起;（2）若甲不在排头，乙不在排尾;（3）甲、乙、丙互不相邻;（4）甲、乙之间须隔一个人;（5）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？,有附加条件的排列应用题的基本解法：,6本不同的书分给甲乙丙3人，求下列条件下各有几种不同的分配（1）甲2本，乙2本，丙2本；（2）甲1本，乙2本，丙3本；（3）甲4本，乙1本，丙1本。,6
12、本不同的书分成3堆，求下列条件下各有几种不同的分配（1）三堆的本数都为2；（2）三堆的本数分别为1本，2本，3本；（3）三堆的本数分别为4本，1本，1本。,6本不同的书分给甲乙丙3人，求下列条件下各有几种不同的分配（2）一人1本，一人2本，一人3本；（3）甲3本，另外两人中有一人1本，另一人2本。,定额分配问题,分组问题,随机分配问题,变式：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中取出不同的5个数字组成一个5位偶数，有多少个这样的数？,直接法：,间接法：,类中分步,课堂小结1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：1）某些元素不能在或必须排列在某一位置；2）某些元素要求连排（即必须相邻）；3）某些元素要求分离（即不能相邻）；2基本的解题方法：1）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；2）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；3）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；4）在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径。,
