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1、教学要求1、理解弧坐标、自然轴系、切向加速度、法向加速度、全加速度等概念及有关计算公式。2、掌握用自然坐标法求点的速度、加速度的方法步骤。,第三节 用自然坐标法确定点的位置、速度和加速度,自然坐标法:以点的轨迹作为坐标轴来确定动点的位置、描述点的运动规律的方法。,一、点的弧坐标形式的运动方程,以O点为坐标原点，以轨迹作为自然坐标轴。则动点M在瞬时t的位置可用弧长s来唯一确定。弧长s称为弧坐标。,弧坐标s是时间t的单值连续函数:,s=（t）,点的弧坐标形式的运动方程:s=（t）,1、弧坐标,2、自然轴系,以动点M的切线和法线 为坐标轴，其切向轴的正向为弧坐标的正向，法向轴的正向指向M点的曲率中心
2、。此正交坐标系称为自然（坐标）轴系。矢量在自然轴上的投影为其自然坐标。,切向轴和法向轴的单位矢量用和n表示。,二、用自然坐标表示点的速度,动点的速度沿着轨迹在该点的切线方向，它在切向轴上的投影即为速度的大小，其值等于弧坐标对时间的一阶导数。,当ds/dt0时，速度v与同向；当ds/dt0时，速度v与反向。,三、用自然坐标表示点的加速度在自然轴系中，将动点加速度a向和n轴方向分解，即：a=a+an=a+ann式中：a、an分别称为点的切向加速度和法向加速度。,1、切向加速度a:反映了动点速度的大小随时间的瞬时变化率。,即点的切向加速度的大小等于点的速度的大小对时间的一阶导数，或等于弧坐标对时间的
3、二阶导数。点的切向加速度为矢量。当dv/dt0时，切向加速度a与同向；当dv/dt0时，切向加速度a与反向。,2、法向加速度an:反映了动点速度的方向随时间的瞬时变化率。,点的法向加速度的大小等于点的速度大小的平方除以对应点轨迹的曲率半径；点的法向加速度为矢量，其方向始终指向该点轨迹的曲率中心。,3、全加速度a:在自然轴系中，称点的加速度为全加速度。,全加速度a的大小及方向：,式中：为全加速度a与法向轴n正向所夹的锐角。,四、点的运动的几种特殊情况,1、匀速直线运动v=常量，故a=0，an=0，即a=0。若已知点的运动的初始条件，当t=0时，s=s0，则有v=ds/dt，积分得ss0=vt。2
4、、匀速曲线运动v=常量，故a=0，an 0，即a=an=v2/；a的方向即 an的方向。,3、匀变速直线运动an=0，a=a=dv/dt=常量。若已知点的运动的初始条件，当t=0时，s=s0，v=v0，则积分可得 v=v0+at s=s0+v0t+at/2 由上式消去t 可得 v 2=v0 2+2a（s-s0）,4、匀变速曲线运动,an=v2/，a=dv/dt=常量。若已知点的运动的初始条件，当t=0时，s=s0，v=v0，则积分可得v=v0+at s=s0+v0t+at/2 由上式消去t可得 v2=v02+2a（s-s0）,例3：如图a所示：杆AB的A端铰接固定，环M将AB杆与半径为R的固定
5、圆环套在一起，AB与垂线之夹角为=t，求套环M的运动方程、速度、加速度。,方法一：自然坐标法,分析动点的运动、建立弧坐标轴。,动点套环M的轨迹为沿固定圆环的圆周运动。以圆环上的O点为弧坐标原点，顺时针为弧坐标正向，建立弧坐标轴。列动点的运动方程。图示几何关系：s=R（2）故有：s=2Rt,求点的速度、加速度。由v=ds/dt得 v=d（2Rt）/dt=2R 速度v的方向沿该点的切线方向，且指向运动的一方。由an=v2/，a=dv/dt得 a=dv/dt=0，an=v2/=4R2 即点M的全加速度为：a=an=4R2 a的方向即 an的方向，自M点半径指向圆心。（套环M沿固定圆环作匀速圆周运动。
6、）,方法二：直角坐标法 列动点的运动方程。建立直角坐标系Oxy，如图所示。图示几何关系：x=Rsin2 y=Rcos2 故点M的运动方程为 x=Rsin2t y=Rcos2t求点的速度。vx=dx/dt=2Rcos2t vy=dy/dt=-2Rsin2t 点M速度的大小为：,v=vx2+vy2=2R速度的方向余弦：cos（v，i）=vx/v=cos2t=cos2,求点的加速度ax=dvx/dt=-4R2sin2tay=dvy/dt=-4R2cos2t,点M加速度的大小为a=ax2+ay2=4R2加速度的方向余弦：cos（v，i）=ax/a=-sin2t=-sin2,即a方向沿该点轨迹的半径指向圆心O。,例4：已知点的运动方程x=2t、y=t2，其中，坐标、时间的单位分别为m和s。求t=2s时，动点的曲率半径。,求点的速度。vx=dx/dt=2（m/s），vy=dy/dt=2t速度的大小为：,求点的加速度。ax=dvx/dt=0，ay=dvy/dt=2（m/s2）加速度的大小为：,由a=dv/dt得点的切向加速度关系式：,当t=2s时，,v=25（m/s）a=45/5（m/s2）故有,则有,
