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1、实验二材料的切变模量与刚体转动惯量的测定（扭摆法）【实验目的】本实验通过用扭摆法测量钢丝及铜丝材料的切变模量，了解测量材料切变模量的基本方法， 进一步掌握基本长度量和时间测量仪器的正确使用方法，同时还可以用扭摆法测量各种形状 刚体绕同一轴转动的转动惯量以及同一刚体绕不同轴转动的转动惯量，加深对转动惯量的概 念及对垂直轴定理和平行轴定理的理解。【仪器和用具】1、切变模量与转动惯量实验仪图2-1切变模量与转动惯量实验仪简图（其中2表示环状刚体垂直和水平二种状态放置）1、爪手2、环状刚体3、待测材料4、霍耳开关5、铷铁硼小磁钢6、底座7、数字式计数计时仪8、标志旋钮9、扭动旋钮2、仪器使用方法（1）
2、取下仪器上端夹头，并把它拧松，将钢丝一端插入夹头孔中，然后把夹头拧紧， 再把夹头放回横梁上。用同样的方法，把钢丝的下端固定在爪手的夹头上。（2）转动上端的“扭动旋钮（9）使爪手一端的铷铁硼小磁钢（5）对准固定在立柱上 的霍耳开关（4）。同时调整霍耳开关的位置，使之高度与小磁钢一致。（3）调节立柱的两个底脚螺丝。使小磁钢靠近霍耳开关，并使它们之间相距为8毫米 左右。（4）转动横梁上的“标致旋钮”（8），使它的刻线与“扭动旋钮”（9）上的刻线相一致 当旋转“扭动旋钮”（9）一个角度后，即刻又恢复到起始位置。此时爪手将绕钢丝作摆动。（5）爪手有多种功能。圆环可水平放在爪手上面作振动。也可以垂直装在爪
3、手下面作 振动。爪手还可以安置条形棒或柱形棒作振动，以测得不同的周期值，并求出钢丝材料的切 变模量或刚体的转动惯量。3、数字式计数计时仪使用（1）开启电源开关，使仪器预热10分钟。（2）按住上升键，使预置计数值达到实验要求。（3）使爪手作扭转振动。当铷铁硼小磁钢靠近霍耳开关约1.0cm距离时，霍耳开关将 导通，即产生计时触发脉冲信号。（4）数字式计数计时仪有延时功能。当扭摆作第一周期振动时，将不计时，计数为0。 当计数显示1时，才显示计时半个周期。（5）计数计时结束，可以读出由于爪手振动在霍耳开关上产生计时脉冲的计数值和总时 间，其中计数2次为一个周期。要查阅每半个周期时间，只要按一次下降键即
4、可。4、另外，还需要螺旋测微仪，游标卡尺，米尺，电子天平（公用）。图2-2实验装置实物照片【实验原理】材料在弹性限度内应力同应变的比值是 度量物体受力时变形大小重要参量。正应力同 线应变的比值，称为杨氏模量；剪应力同剪应 变的比值，称剪切弹性模量，又简称切变模量。 与杨氏模量相似，切变模量在各行各业有着广 泛的应用。直至和人民大众日常生活密切相关 的建筑物抗震等性能都与切变模量参量有 关。图2-3设有某一弹性固体的一个长方形体积元， 顶面（底面）面积为A，它的顶面固定，如图2-3所示。在它底面上作用着一个与平面平行而且均匀分布的切力F，在这个力作用下，两 个侧面将转过一定角度a，见图3,通常称
5、这样一种弹性形变为切变。在切变角a较小的情 况下，作用在单位面积上的切力F / A与切变角a成正比。F 八=G a（2-1）A式中G是一个物质常数，称为切变模量。G的单位为Nm -2，大多数材料的切变模量约为 杨氏模量的1/3到1/2,在实验中，待测样品是一根上下均匀而细长的钢丝或铜丝，从几何 上说，就是一个细长圆柱体，如图4所示。设圆柱体的半径为R，高为L，其上端固定， 下端面受到一个外加扭转力矩的作用，于是圆柱体中各体积元（取半径为r、厚为dr，高为 L的圆环状柱体为体积元），每个体积元上端固定，下端受一扭转力矩作用，根据公式（2-1）， 每个体积元受到的外力矩为dM = raG 2兀 r
6、dr = 2兀aGr 2 dr（2-2）夕卜设圆柱体底部绕轴转动了40角，如果a 1。，则弧长s - La，而s = r4，所以（2-3）02兀r3dr八 dM外=lG中（2-4）（2-2）式代入（2-3）式，得到对（2-4）式积分，可等到总力矩G R ，兀八R4M外 = 2兀 j r dr=- G （2-5）o圆柱体内的弹性力矩为M 0，平衡时有M外=-M0-兀一R 4令D = G，则有M = D2 L外 0称为扭转系数。图2-4对于一定的物体D是常数，扭摆的结构如图2-5所示，爪手及圆环安放位置如图2-5所示，若使爪手绕中心轴转过某一角度40，然后放开，则爪手将在弹性扭转力矩M作用下作周期
7、性的自由振动，这就构成一个扭摆。若钢丝（或铜丝）在扭转振动中的角位移以4表示，爪手整个装置对其中心轴的转动惯量为I，根据转动定律则有d 2甲D 八一 +甲=0 dt 2I0它的振动周期应是M = D中=/竺 0 dt 20上述方程是一个常见的简谐振动微分方程，（2-6）To= D由图2-6所示，将一个已知内外半径、厚度和质量的环状刚体、分别水平放在爪手上及垂直 放在爪手上，绕同一轴（钢丝）转动测得的振动周期分别为T和T。而环状刚体在绕轴（环心）作水平转动时转动惯量为I，环状刚体处于垂直状态绕同一直径作转动时转动惯量为爪手绕中心轴转动螺丝Ocd53* 圆环圆环图2-5时转动惯量为10O扎具爪手图
8、2-6那么由（2-6）式可以知道手圆环（b）4兀2T12 =万（10 +）从两式中消去1。并将代入，可以得到切变模量G的表达式为由理论计算可知G _ 8 兀 L % -1一玄. T2 - T212环状刚体绕中心轴作水平转动的转动惯量I ,环状刚体绕任一直径转动的1（2-7）转动惯量12分别为b 2 + c 2I _ m2(b 2 + c 2 d 2 ) 项+正1)（2-8）（2-9）上式中，b为环的内半径，c为环的外半径，m为环的质量。d为环状刚体的厚度。因此， 根据公式（2-8）、（2-9）计算得到I1、12。测量出、孔，通过公式（2-7）就能得到材料的切变模量G。另外，公式（2-6）又可以
9、写成.I . I LT 2 = 4兀2为=8兀Rg（2-10）GR 4T 2I =008兀L由上式可以看到，如果已知1 o就可以得到切变模量G，反之，知道了切变模量G,可以得到转动惯量为10。由于10是不规则的刚体，很难得到其过中心轴的转动惯量10， 此可以利用,I c I L4兀 2、 c L（I +1）T 2 = 4 兀 2O = 8 兀一o.T 2 = （I +1） = 8 兀 o 10 D R 4 Gi D 0 iR 4G两式相减，得到T 2 一 T 2 = 8 兀 RGLIG = 8 兀1R4（2 -T02）转动惯量的平行轴定理理论分析证明，若质量为m的刚体绕质心轴的转动惯量为10，
10、若转轴平行移动距离为x 时，则物体对新轴转动惯量为I = I + mx2（2-12）垂直轴定理若已知一块薄板（或薄环）绕位于板（或环）上相互垂直轴（X和Y轴）的转动惯量 为I*和I,，则薄板（或环）绕Z轴的转动惯量为I = I +I（2-13）此即垂直轴定理，由此定理可知：圆盘（或环）通过中心且垂直盘面的转轴的转动惯量为圆 盘绕其直径的转动惯量的两倍。【实验内容和要求】必做部分1、安装实验装置，调整数字式计数计时仪仪器使用使用注意事项（1）请勿用手将爪手托起又突然放下，铁制爪手自由下落冲力易将钢丝或铜丝拉断（往 往在钢丝与扎头连接处断）。（2）实验结束请将环放在桌上，以减轻钢丝负重。（3）材料
11、的切变模量与杨氏模量相似，与材料的成份、热处理工艺等均有关。如用树 脂漆包线测得切变模量与纯铜丝的切变模量不相同。各种钢丝加工、热处理工艺不相同，切 变模量也差异很大。（4）如果当磁钢靠近霍耳开关时，此时触发指示灯无反应时则是磁钢的磁极放反了， 取下来换个方向，就可以了。（此时触发指示灯为暗）2、用电子天平称圆环的质量m。用游标卡尺测圆环内直径2b、外直径2c和高度d， 用螺旋测微仪测量钢丝直径2R，用米尺测量钢丝长度L （上下固定点O、O距离）。注：钢丝直径、圆环内直径2b、外直径2c和高度d的测量采用多次测量取平均的方法，L的测量采用单次测量的方法。3、计算钢丝的切变模量G ,(用两种方法
12、计算并比较)(1) 测量爪手空载时摆动周期T ；金属圆环水平放置在爪手上时的摆动周期广；金属01圆环竖直吊置在爪手上时的摆动周期T。(测量周期应该采用多周期多次测量的方法，要测 2量56次，每次测量10个周期)。(2) 利用(2-7)、(2-8)、(2-9)式计算钢丝的切变模量G。4、测量方柱体绕中心轴转动的转动惯量。(1) 分别测量抓手空载时和加载方柱体的转动周期孔和T3。(2) 利用I、= G4*T计算方柱体绕中心轴转动的转动惯量，并和理论值比较，万8兀L计算百分误差。5、验证平行轴定理(1) 用电子天平称重钢珠质量m，用螺旋测微仪测量小钢珠的直径2r，将两颗钢珠 放置在爪手上跟爪手中心轴
13、对称的位置上，并用游标卡尺测量这两个位置的距离2d，测量 系统(爪手加两颗钢珠) 绕中心轴的摆动周期T，代入公式方柱体绕中心轴转动的转动44兀2惯量 T42 =3(10 +14)可以得到系统通过爪手中心轴的转动惯量(/0+14)。(2) 利用内容3测得的钢丝的切变模量G及空载时测得的爪手通过中心轴的摆动周期 匕，代入公式(2-10)，可得到爪手空载时通过中心轴的转动惯量10，代入上面得到的 (/ +1 )，可以得到一个钢珠通过爪手中心轴的转动惯量I，验证I是否满足平行轴定理：04332,、I = 21 = 2(5 mr 2 + md 2)式中|mr2为一颗钢珠绕任一直径的转动惯量。选做部分1、测量铜丝的切变模量，并与钢丝切变模量进行比较。2、用扭摆测量柱状刚体的绕钢丝轴转动惯量，并与理论计算值进行比较。3、验证刚体转动的垂直轴定理。
